BertJanssen-RelatividadGeneral-221

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dondew(α) es el parámetro de la ecuación de estado.
8 En principiow(α) no tiene porqué ser constante,
pero la homogeneidad y la isotropı́a de la métrica de FRW obliga a w(α) sea independiente de las
coordenadas x. Además se suele tomar w(α) también independiente de t: cada fluido perfecto
está caracterizado por un valor de w(α) y, como veremos en breve, diluye de manera diferente
con la expansión del universo. Si en distintas épocas el universo está dominado por distintos
tipos de energı́a, es preferible caracterizar estas por varios fluidos perfectos, que por uno solo
con un parámetro de estado variable en el tiempo.
Como hemos dicho ya, cada valor de w(α) define un tipo de fluido perfecto. Por ejemplo,
w = 0 corresponde a un fluido perfecto con solamente densidad demateria, sin presión y describe
por lo tanto materia frı́a, sin interacciones, o polvo. Por otro lado w = 1/3 corresponde a materia
muy caliente, materia relativista o radiación y w = −1 corresponde a una constante cosmológica.
El hecho de que estos valores de w correspondan a estos tipo de fluidos se deriva a través de
las leyes de la termodinámica, lo que nos llevarı́a fuera del ámbito de este curso, pero sı́ hay
argumentos que nos dan cierta intuición de que sea ası́.
Sustituyendo la ecuación de estado (13.52) en la ecuación de conservación de energı́a (13.49),
encontramos la siguiente ecuación diferencial para ρα en términos de a,
ρ̇α + 3(w(α) + 1)
ȧ
a
ρα = 0, (13.53)
que sı́ podemos resolver. En general tenemos que la densidad varı́a con el tiempo como
ρα(t) = ρ0 a
−3(w(α)+1)(t), (13.54)
donde ρ0 es la densidad en un momento dado t = t0 (por ejemplo en la actualidad) en que
normalizamos el factor de escala como a(t0) ≡ 1. Vemos por la tanto que cada tipo de fluido
perfecto evoluciona de manera distinta en la expansión del universo. En particular, para materia
frı́a (w = 0) vemos que la densidad va como a−3, es decir, la materia se diluye de manera inver-
samente proporcional al volumen. Por otro lado, la densidad de energı́a de radiación (w = 1/3)
evoluciona como a−4, es decir aparte de diluirse inversamente proporcional al volumen, pierde
energı́a en el corrimiento hacia el rojo de la radiación, ya que al expandirse el universo, también
aumenta la longitud de las ondas de la radiación demanera lineal en a. Por último, una constante
cosmológica (w = −1) proporciona una densidad de energı́a constante por unidad de volumen.
En este sentido, una constante cosmológica realmente corresponde a la energı́a del vacı́o.
Una observación interesante surge al sustituir la ecuación de estado en la ecuación de acele-
ración:
ä
a
= −1
6
κ (1 + 3w) ρ. (13.55)
Una expansión acelerada del universo sólo es posible cuando el universo está dominado por un
fluido perfecto con parámetro de estado w < −1/3.9 Un universo con materia frı́a o radiación
sufrirá una deceleración, debido a la atracción gravitatoria del contenido de energı́a y materia.
Otra observación importante sacamos de la ecuación de Friedmann: para que las secciones
espaciales sean planas (k = 0), es preciso que la densidad de energı́a en el universo sea igual a
una densidad crı́tica
ρc =
3
κ
( ȧ
a
)2
. (13.56)
Si la densidad es menor (mayor) que la densidad crı́tica, necesariamente tenemos que k = −1
(k = +1) y por lo tanto las secciones espaciales tienen necesariamente que tener curvatura nega-
tiva (positiva). En este caso se suele hablar de un universo abierto (cerrado), mientras que k = 0
8Anotamos w(α) con el ı́ndice entre paréntesis, para enfatizar que en la ecuación de estado no estamos asumiendo una
sumación sobre α.
9Siempre y cuando la densidad de energı́a es positiva, como en la gran mayoria de los fluidos realistas. Para una
constante cosmológica negativa sin embargo, las conclusiones son justo al revés.
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