El campo H - Arturo Lara (1)

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20- El campo H
Recuérdese que cuando en la sección 14-1 se definió la inducción magnética se hizo notar que, por definición, B está determinada por corrientes de todo tipo. De esta manera, en
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V X B = MoJ dada por (15-12), J representa la densidad total de corriente. En (20-10) se encontró una densidad de corriente = VX M asociada con la presencia de materia y, tal como en el caso de las cargas de la sección 10-5, resulta conveniente dividir las comentes que resultan de las cargas en movimiento en dos grandes clases: corrientes de magnetización y corrientes libres, descritas por las densidades respectivas Jm y Jy. Las comentes de magnetización deben asociarse con los elementos constitutivos de la materia y sobre ellas no se tiene, por lo general, un control real. Como ya se vio casi al final de la sección 12-2, es en las corrientes libres sobre las que se puede ejercer algún tipo de control, por ejemplo, enviando corrientes por medio de conductores y empleando baterías, o bien produciendo corrientes de convección en forma de comentes de partículas cargadas. Por lo tanto, se puede expresar que la densidad total de corriente es la suma de estos dos tipos:
Jtotal “ J — Jy +
(20-26)
Al sustituir esto en (15-12) y utilizando (20-10) se encuentra que vXB=q0 J=ju0(Jy+vM), o sea,
vxí—-m)=j,
\ Mo /
(20-27)
La forma de esta ecuación, en la que únicamente aparece la densidad de comente libre en el miembro derecho, sugiere que podría resultar de utilidad definir un nuevo campo vectorial, H(r), como
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R
H=— M	(20-28)
Mo
pues de esta manera (20-27) queda como
VxH = Jy	(20-29)
El vector H recibe el nombre de campo magnético y a veces de campo H. La principal característica de H, y la razón principal para haberlo introducido, es que su rotacional depende únicamente de la densidad de corriente libre. Las dimensiones de H son las mismas que las de M, por lo que H se mide en ampere/metro. Se puede pensar que (20-29) viene a ser una expresión de la ley de Ampere para la fuerza entre elementos de corriente más los efectos magnéticos de la materia.
Una vez definido H, resulta sencillo determinar algunas de sus propiedades. El comportamiento de sus componentes tangenciales en una superficie de discontinuidad puede encontrarse sustituyendo la ecuación fuente (20-29) en (9-13) y (9-18) y utilizando la análoga de (15-14) para corrientes libres; el resultado es que se pueden expresar las condiciones de frontera de dos maneras equivalentes:
ñXfHj-H^K^	(20-30)
H2í —Hk = KyXñ	(20-31)
donde K; es la densidad superficial de corriente libre. Por lo tanto, existirá una discontinuidad de las componentes tangenciales de H únicamente si existe una densidad superficial (es decir, de conducción). Esto contrasta con B en el sentido de que las componentes tangenciales de este último serán discontinuas si existe densidad de corriente superficial Je cualquier tipo, como ya se vio en (15-15) y (15-16).
La forma integral de la ley de Ampere para H puede encontrarse a partir de (20-29), (1-67) y (12-6), resultando que
<ÍH-rfs= (}fda=ILm	(20-32)
donde If,enc es Ia corriente libre neta que pasa a través de la superficie S encerrada por la trayectoria de integración arbitraria C.
Se puede utilizar la ecuación 20-29 para desarrollar una definición de cavidad de H, de modo que se puede encontrar el valor de H en el material a partir de mediciones realizadas en el vacío de una cavidad de forma apropiada. Supóngase que no existen corrientes libres dentro del material. Entonces, V XH = 0 y sus componentes tangenciales son continuas debido a (20-31). Esta condición de frontera es exactamente del mismo tipo de la que sirvió de base para obtener la definición de cavidad de E en (10-26), por lo que salta a la vista lo que debe hacerse a continuación. Como se muestra en la figura 20-12, se toma una cavidad larga tipo aguja que se perfora en el material con su eje paralelo a la dirección
Figura 20-12 Cavidad utilizada para medir H en el interior del material.
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de H en ese lugar. Así, por construcción, únicamente quedan las componentes tangenciales y, dado que son continuas, el campo magnético en la cavidad, Hc., es igual al que existe en el material, Hc = H. Se puede medir la inducción en la cavidad, B¿, midiendo la fuerza sobre una carga en movimiento o el momento sobre una pequeña espira de corriente. Dado que no existe metería en la cavidad, Mc = 0, y de (20-28) se desprende que Hc = Bc/ju0, por lo que el campo en el material estará dado por
B
11 = 11 =	(20-33)
Mo
Como indica el teorema de Helmholtz de la sección 1-18, se requiere de otra ecuación diferencial fuente para el campo magnético, es decir, su divergencia. Resulta sencillo encontrarla si se combina (20-28) con (16-3), de lo que se desprende que VB = 0 = v [Mo(H+M)]=aio(V.H+VM) y, por lo tanto,
V-H=—V-M	(20-34)
lo que viene a demostrar que Hpwerfe tener fuentes asociadas con las corrientes de Ampere de la materia, así como con las corrientes libres. Más adelante se regresará a este punto.
Las condiciones de frontera que deben satisfacer las componentes normales de H se encuentran may fácilmente a partir del hecho de que las componentes de B son continuas, de modo que al sustituir (20-28) en (16-4) se obtiene
ñ-(H2-HI)= — ñ-(M2 —Mj	(20-35)
o sea,
H2n-Hln=-(M2n-Mln)	(20-36)
A pesar de la aparente simplicidad de los resultados obtenidos, particularmente en el caso de (20-29), no resultan ser de gran utilidad en este momento, ya que antes se hace necesario poder relacionar los tres vectores B, M y H entre sí. Sin embargo, es posible revisar algunos de los ejemplos anteriores desde este nuevo punto de vista.
Ejemplo
Solenoide ideal infinitamente largo. Aquí los campos están producidos por corrientes libres. Dado que existe vacío en todos los demás puntos, M = 0 y H = B//z0. Así, es posible utilizar los resultados previos (15-25) y (15-26), observando que Ko = 0, mientras que en el interior del solenoide
B;
H, = — = nli	(20-37)
Mo
donde n es el número devueltas por metro y z se encuentra a lo largo del eje del solenoide. (Este resultado es básicamente la razón por la cual a menudo se le asigna a H las unidades ampere-vue/to/metro.) Se tiene una discontinuidad en las componentes tangenciales de H; si se toma ñ apuntando desde el interior 1) hacia el exterior 2) y se expresa Ky = nlf, como en (15-22) y en la figura 15-11, resulta que (20-31) se vuelve H2í ~ Hj t = 0 - Hz - nl^PX ñ = - nli y, por lo tanto, Hj - nlz, en concordancia con (20-37); nótese que al utilizar las condiciones de frontera de esta manera se logra obtener un método rápido para calcular H, en este caso.
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Ejemplo
Cilindro infinitamente largo y uniformemente magnetizado. Aquí no hay corrientes libres. Ya se obtuvo poco antes B, resultando Bo = 0 mientras que Bz = p0M. En el exterior del cilindro Mo = 0 y, por lo tanto, Ho = 0. En el interior del cilindro se encuentra que, por (20-28), Hz = (Bz/¿u0) - Mz = M - M = 0. Por tanto, H = 0 en todo lugar, a pesar de la gran semejanza que existe entre este ejemplo y el solenoide, como ya se vio antes. La diferencia real entre los dos ejemplos consiste en que el primero existen corrientes libres y en el segundo no. Dado que M es uniforme, V-M = 0, por lo que, según (20-34), V-H - 0; M tampoco tiene componentes normales; por lo tanto, estos resultados con consistentes con (20-36). [Si el cilindro no fuera infinitamente largo existiría una discontinuidad en las componentes normales de M en sus extremos, en la superficie que separa la materia del vacío. En ese caso, de acuerdo con (20-36), sería de esperar que hubiera fuentes de Hy que H 0 para un cilindro de longitud finita.]
Ejemplo
Esfera uniformemente magnetizada. Tampoco hay corrientes libres en este ejemplo. En la sección anterior se encontraron los valores de B a lo largo del eje, por cálculo directo a partir de las corrientes de magnetización. Se pueden utilizar estos resultados para obtener H por medio de (20-28). En el exteriorde la esfera Mo = 0 y, de (20-24) y (20-22) se obtiene que
„ ( A Bzo 1 2m 2Ma3
(20-38)
En el interior de la esfera Mz = Mi y de (20-25) se obtiene que
H
Figura 20-13 Campo magnético sobre el eje, producido
por una esfera uniformemente magnetizada.
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^W)= —(20-39)
Por lo tanto, en este caso H A 0 tanto dentro como afuera de la esfera y, de hecho, su dirección es opuesta a la de B y M en el interior de la esfera, como se ilustra en la figura
20- 13. En la superficie de la esfera (z = a), de (20-38) resulta que Hzo (a) = (j)M, por lo que existe una discontinuidad en las componentes normales de H. Pero si para este caso se toma ñ = z, (20-36) se convierte en H2n ~ Hín -Hzo a) = 2M- ( -3M) =M 9 (0- M) = - (M2n ~ -^m), como era de esperarse.
Los dos últimos ejemplos se caracterizaron por la ausencia de corrientes libres y la presencia de una magnetización uniforme; sin embargo, H = 0 en uno de los casos mientras que H 0 en el otro. ¿En qué consiste la diferencia real entre ambos? Aunque V’M = 0 en el interior para ambos casos, la diferencia consiste en que mientras que en el caso de la esfera es claro que existe discontinuidad en las componentes normales de M, en el caso del cilindro esto no ocurre así, como ya se puntualizó antes, y el hecho de que M^0 para la esfera debe estar relacionado de alguna manera con esta diferencia; es de desearse que existe una manera de escribir esto en forma más sistemática y conveniente que por medio de (20-36). Además, no se debe olvidar la semejanza entre estos ejemplos y los que se vieron para el caso electrostático en el capítulo 10, particularmente en el caso de las esferas uniformemente magnetizadas y polarizadas, por lo que se puede presentir que estos problemas se encuentran relacionados entre sí de alguna manera. En efecto, ese resulta ser el caso.
En ausencia de corrientes libres, los resultados (20-29), (20-31), (20-34) y (20-35) se convierten en
VXH=O VH=-VM	(2(M0)
H2,-H„=0 ñ (H2-H,) = ñ-M,
donde, por simplicidad, se ha tomado la región 2 como el vacío, de modo que M2 = 0. De manera similar, en ausencia de carga libre los resultados electrostáticos (5-4), (9-21), (10-39), (10-10), (9-26) y (10-12) pueden escribirse en la forma
vx(£oe)=0 V .(£oE)= -v-p=p¿
(20-41) (€oE2í) - (€oE1z) = 0 ñ (¿oE2 - eoEj) = ñ • Pi =
Recuérdese también que P y M representan respectivamente los momentos dipolares por unidad de volumen. Al compararlos dos conjuntos de ecuaciones se observa que, por analogía pueden definirse análogas magnéticas de las densidades de carga mediante
pm = -V-M a„=ñ-M	(20-42)
de manera que dos de las ecuaciones del conjunto (20-40) quedan
V-H=pm ñ-(H2-H,) = am	(20-43)
y se ve que anora la forma de sus correspondientes de (20-41). Por tanto, es posible llamar a pm la densidad volumétrica de cargas (“polos”) magnéticas y a am densidad superficial de cargas (“polos”) magnéticas y considerarlas como las fuentes del campo magnético H; ambas desempeñan la misma función que desempeñaron las cargas eléctricas en el cálculo de e0E. Como se vio en la sección 16-1, en realidad no existen cargas magnéticas, de mo
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do que las densidades definidas en (20-42) representan cargas ficticias; sin embargo, eso no quiere decir que no resulten de gran utilidad para estudiar este tipo restringido de problemas.
Esta analogía puede extenderse aún más. Recuérdese que el hecho de que vXE = 0 resultó de la posibilidad de expresar E en función del potencial electrostático escalar en (5-3), es decir, E = - V0. De manera similar, el hecho de que vXH = 0 aquí, hace posible, con la ayuda de (1-48), introducir un potencial magnético escalar, , de manera que
H=-V<(>„	(20-44)
Al sustituir esto en (20-43) y usar (1-45), se encuentra que (¡)m satisface la ecuación de Poisson
V2<í.,„=-P,„	(20-45)
mientras que, en regiones donde pw sea cero, satisface la ecuación de Laplace
V2'/>,„ = 0	(20-46)
en forma análoga con (11-1) y (11-3) se la primera de éstas se expresa como V2(eo0)=- p=- p¿>, dado que únicamente se están considerando casos para los que py = 0. El teorema de unicidad de la sección 11-1 que se encontró para 0 será también para 0m, ya que el único requisito fue que la función implicada satisficiera la ecuación de Laplace.
Así, lo que se ha encontrado es que muchos de los problemas magnetostáticos pueden resolverse exactamente como se hizo con los problemas electrostáticos y, por lo tanto, muchos de los métodos que se desarrollaron en el capítulo 11 pueden también ser aplicados aquí. Más aún, si ya se ha resuelto el problema análogo electrostático, se puede simplemente tomar el resultado y hacer los remplazos eoE^H,eo0-^0m, P-*M, y así sucesivamente. Por ejemplo, se puede escribir la integral para obtener 0W con una distribución de magnetización dada cambiando (5-7) y (5-8) de la siguiente manera:
R
1 f
477 Js> R
1 r	+ 1 r (ñ'-M)¿fa'
477 J y’ R 4?r Js R
(20-47)
Ejemplo
Esfera uniformemente magnetizada. Considérese este ejemplo desde este nuevo punto de vista donde M - mi = const, pm - - Á.M = 0 y existe densidad volumétrica de polos. Sin embargo, dado que la ñ de (20-42) es la n = i’ de la figura 20-8, se observa que habrá una densidad superficial de polos, en general no nula, dada por
om = Mi-i' = M cosO'
(20-48)
la cual es de exactamente la misma forma que se encontró en (10-27) para la densidad superficial de carga ligada de la esfera uniformemente polarizada y que se ilustra en la figura
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10-9. Es claro ahora que en este ejemplo las fuentes de H se pueden adjudicar a las discontinuidades normales de M en la superficie de la esfera y, al comparar las figuras 20-13 y 10-11, se entiende por qué Hz es de dirección opuesta a M en el interior. En el último ejemplo de la sección 11-5 se encontró la solución completa (11-133) para la esfera uniformemente polarizada, resultando que el campo eléctrico en todos los puntos en el exterior de ella era un campo dipolar que correspondía al momento dipolar total de la esfera, mientras que era uniforme en todos los puntos de su interior y dado por (11-134) como E¿ - - (P/3e0 )■ Se puede ahora decir exactamente lo mismo acerca de la esfera uniformemente magnetizada: en el exterior, el campo es dipolar y corresponde al momento de (20-23), y los vectores del campo magnético en todos los puntos del interior son constantes e iguales a
B, = | /AoM H, = - |M	(20-49)
en acuerdo coii los resultados (20-25) y (20-39) que se encontraron para puntos sobre el eje.
Tal como se vio en (11-135), muchos campos eléctricos internos o locales resultan ser proporcionales y de dirección contraria a la polarización. Es obvio que un resultado similar es válido para los problemas magnetostáticos de tipo similar y, de acuerdo con ello, es práctica común escribir
Hloc=-VmM	(20-50)
donde Nm es una constante sin dimensiones denominada factor de desmagnetización. De (20-49) se desprende que Nm = 3 para la esfera. En los ejercicios se podrá demostrar que Nm = 1 para una placa infinita de caras paralelas y que Nm =2 para un cilindro, exactamente como en el caso electrostático.
Esta estrategia para tratar los problemas magnetostáticos se utilizó muchísimo en otros años de modo que se utilizaron los polos en muchos de los cálculos realizados; esta es la razón por la cual H obtuvo tanta importancia en un principio y por la que se le asignó el nombre de campo magnético, que hubiera sido más lógico asignar a B. Sin embargo, es importante recordar que el uso de los polos funciona consistentemente sólo en ausencia de corrientes libres y que, desde luego, no existe evidencia experimental de la existencia de polos magnéticos. Desde el punto de vista moderno, todos los efectos magnéticos son debidos en última instancia a las corrientes, y el uso de los polos en la forma en que se ilustró antes resulta a veces una herramienta ficticia útil, aplicable solamente en algunos casos, por lo general relacionados con cálculos que implican imanes permanentes. En principio, cualquier problema que pueda sersolucionado por medio del uso de polos puede ser resuelto por medio de corrientes de magnetización, como ya se vio en algunos ejemplos; puede parecer más difícil, pero puede lograrse. (A pesar de lo dicho anteriormente acerca de la necesidad de la ausencia de corrientes libres, resulta posible extender el uso del potencial magnético escalar a casos que implican corrientes libres filamentales. Sin embargo, resulta que en estos casos (¡>m depende del ángulo sólido subtendido por la corriente en el punto de campo. Dado que los ángulos sólidos pueden ser funciones de valores múltiples, esto provoca graves problemas en la utilización de , con lo que rápidamente pierde de la simplicidad que se implicaba arriba; por lo tanto no se continuará usando.)
Considérese ahora otro ejemplo simple que conducirá de manera natural al siguiente tema principal.
Ejemplo
Corriente constante recta infinitamente larga. Se toma la corriente libre/en coincidencia con el eje z y en la dirección positiva de z. Para empezar, supóngase que no existe materia
Materiales magnéticos isotrópicos homogéneos lineales
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presente. Por lo argumentos de simetría ya familiares, H será de la forma H = Htp(p)<py resulta posible utilizar la forma integral de Ampere (20-32), integrando con respecto a un círculo de radio p sobre el plano xy. Así, $ Hds = 2'npH{p=Ifenc=I, de manera que Htp = II2np y, por lo tanto,
H=2^ y B=^	<20'51’
ya que M = 0. Ahora, como un ejemplo extremo se supone que todo el espacio se llena con un material obviamente magnético como el hierro. (Es necesario suponer la existencia de un material delgado, aislante, alrededor del cable porque el hierro es conductor.) ¿Qué ocurrirá en este caso? Si se mantiene la corriente libre I sin cambios y si el material es lo suficientemente homogéneo para que se mantenga la simetría axial, se puede aplicar (20-32) de exactamente la misma manera para obtener precisamente el mismo valor de H que en (20-51). Err otras palabras, en este caso H no se afecta por la presencia de materia. Sin embargo, es lógico esperar quexM ya no sea igual a cero y según (20-28) indica, el valor de B sí se afectará; de hecho, su alteración es considerable. .Resulta evidente también que no se podra evaluar B exactamente hasta no conocer cómo depende Ja magnetización de los campos, que es precisamente lo que se'estudia a continuación.