BertJanssen-RelatividadGeneral-224

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k=−1
k=1
S3
t
k=0
Figura 13.5: El universo estático de Einstein (izquierda) y el espacio de De Sitter (derecha): En el universo
estático de Einstein, las secciones espaciales son tres-esferas S3 y la luz da la vuelta al universo en un
tiempo finito. El espacio de De Sitter se puede describir en coordenadas FRW tanto con secciones espaciales
planas (k = 0), esféricas (k = 1) o hiperboloides (k = −1), dependiendo del sistema de coordenadas que se
elija.
donde R0 =
√
3/κΛ es el radio de De Sitter, que es una medida para la curvatura de este espacio.
El espacio de De Sitter,
ds2 = dt2 − e2t/R0 δij dxidxj , (13.67)
representa un universo vacı́o en expansión exponencial (el parámetro de deceleración (13.44) va-
le q = −1), por causa de la fuerza repulsiva de la constante cosmológica. Dos observadores, que
inicialmente están arbitrariamente cercanos, se alejarán cada vez más, hasta perderse literalmen-
te de vista. Llegará un momento en que la expansión es tan grande, que a la luz no le da tiempo
de llegar de un observador a otro y los observadores ya no tendránmanera de comunicarse. Efec-
tivamente no es difı́cil ver que el espacio de De Sitter tiene un horizonte cósmico a una distancia
ℓHE = R0e
−t/R0 del observador. Es decir la parte del espacio que un observador puede llegar a
influenciar decrece exponencialmente con el tiempo.
Sin embargo, a la vez es un espacio donde nada cambia: la aceleración es constante a lo largo
del tiempo y no tiene materia o radiación que pueda diluirse, de modo que en cada instante el
espacio de De Sitter es un rescaleo de los momentos anteriores.10 Igual que el universo estático,
el espacio de De Sitter no tiene principio, ni fin, ha existido siempre y seguirá existiendo eterna-
mente.
Es interesante calcular el tensor de Riemann del espacio de De Sitter:
Rtitj = −R−20 e2t/R0 g̃ij , Rijkl = −R−20 e4t/R0 (g̃ilg̃jk − g̃ikg̃jl), (13.68)
puesto que satisface la condición (13.1) de una métrica lorentziana con curvatura constante po-
sitiva con radio R0. Efectivamente, al ser máximamente simétrico, el espacio de De Sitter es el
análogo cuadrimensional y lorentziano de una esfera. Podemos por lo tanto pensar en este es-
pacio como la solución del vacı́o de la acción (13.61) en presencia de una constante cosmológica
positiva, igual que el espacio de Minkowski es el vacı́o de la acción de Einstein-Hilbert.
Uno se podrı́a preguntar cuál serı́a la solución correspondiente a un universo vacı́o con cons-
tante cosmológica positiva, pero con secciones espaciales con k = ±1. Un cálculo bastante directo
10En el lenguaje de los Capı́tulos ?? y ??: ∂t no es un vector de Killing, pero sı́ un vector de Killing conforme.
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