BertJanssen-RelatividadGeneral-229

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ω=1/3
ω=0
ω<−1/3 ω=−1/3
t
1
a(t)
t0
tH
Figura 13.7: La evolución del factor de escala para distintos valores de w (para universos espacialmente
planos): un universo dominado por materia frı́a (linea fina continua) inicialmente crece más lentamente
que un universo dominado por radiación (linea discontinua), pero decelera menos rápido, de modo que
después de un cierto tiempo crecerá más rápido. Todos los universos con w > − 13 deceleran, el universo
con w = − 13 (linea punteada) crece de manera constante y universos con w < − 13 (linea continua en
negrita) son acelerados. Los universos tienen una edad más elevada, cuanto más bajo sea w. Por otro lado,
puesto que todos tienen el mismo valor para H0, el tiempo de Hubble tH es el mismo para todos.
y por lo tanto el universo es más joven, cuanto más alto el valor de w.
La métrica general para universos espacialmente planos (con w 6= −1)
ds2 = dt2 −
[3(1 + w)
2
H0 t
]
4
3(1+w)
δijdx
idxj , (13.82)
tiene una singularidad del tipo Big Bang para t = 0: el escalar de Ricci viene dado por
R = −4(w −
1
3 )
(w + 1)2
t−2, (13.83)
lo que efectivamente es divergente para todo w, salvo w = 13 . Para saber qué es lo que pasa en
este último caso, tenemos que calcular otro escalar de curvatura. Por ejemplo, vemos que para
estas métricas el invariante de curvatura
RµνR
µν =
16(1 + 3w2)
9(w + 1)4
t−4, (13.84)
es singular para cualquier valor de w, y en particular para w = 13 . Todos estos universos empeza-
ron por lo tanto con un Big Bang, salvow 6= −1, que como hemos visto ha existido desde siempre.
Universos dominados por materia con k general
Por último miraremos a los modelos para universos con materia frı́a, que no tengan necesa-
riamente la densidad crı́tica. Ya hemos dicho en la sección 13.5 que si la densidad es menor que la
crı́tica, las secciones espaciales tienen curvatura negativa, mientras que si la densidad es mayor,
las secciones espaciales son cerradas.
Calcular la métrica de estas soluciones resulta más fácil en las coordenadas conformes (13.32).
En estas coordenadas, las ecuaciones de Friedmann (13.34) para un fluido perfecto con w = 0 se
pueden escribir como
3(h2 + k) = κa−1ρ0, 2h
′ + h2 + k = 0, (13.85)
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