BertJanssen-RelatividadGeneral-26

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tes. Utilizando las propiedades de divergencias y rotacionales, no es difı́cil de ver que se puede
escribir éstas como
−∆φ − 1
c
∂t(~∇ · ~A) = ρ,
1
c2
∂2t ~A − ∆ ~A + ~∇(
1
c
∂tφ + ~∇ · ~A) =
1
c
~, (1.55)
para la ley de Gauss (1.21) y la ley de Ampère-Maxwell (1.24) repectivamente. Aquı́ el operador
diferencial ∆ =
∑3
k=1 ∂k∂k es el laplaciano. A primera vista estas relaciones no parecen mucho
más simples que las ecuaciones de Maxwell de donde las hemos derivado, sobre todo debido a
los últimos términos en el lado izquierdo. Si no fuera por este término, la segunda ecuación de
(1.55) se convertirı́a en una ecuación de ondas inhomogénea.
Sin embargo la invariancia gauge nos proporciona la libertad de poder cambiar los potencia-
les φ y ~A según (1.50), de modo que podemos elegir los potenciales de forma que satisfagan la
condición
~∇ · ~A + 1
c
∂tφ = 0, (1.56)
tal que las ecuaciones (1.55) se reducen a
1
c2
∂2t φ − ∆φ = ρ,
1
c2
∂2t ~A − ∆ ~A =
1
c
~, (1.57)
o sea la ecuación de ondas inhomogénea en tres dimensiones.
Aquı́ hemos visto otro ejemplo más de cómo la ambigüedad de los potenciales electromag-
néticos, más que ser un problema, se convierte en una gran ventaja: una buena elección de φ
y ~A puede simplificar mucho un problema dado. Concretamente la condición (1.56) se llama el
gauge de Lorenz. Elegir unos potenciales u otros para un problema concreto se llama fijar el gauge
y muchas elecciones de gauge son tı́picas para ciertas situaciones fı́sicas. Por ejemplo, el gauge
de Coulomb, ~∇ · ~A = 0, es idóneo para problemas de electrostática, pero veremos en breve que
el gauge de Lorenz es más útil en relatividad especial. Otras elecciones de gauge comunes son el
gauge temporal φ = 0, el gauge de radiación ~A = 0 (en ausencia de cargas) y el gauge axial ~A · ~n = 0,
donde ~n es un vector de unidad en una dirección especı́fica.
Resumiendo podemos escribir las ecuaciones de Maxwell como
~E = −~∇φ − 1
c
∂t ~A, ~B = ~∇× ~A, (1.58)
1
c2
∂2t φ − ∆φ = ρ,
1
c2
∂2t ~A − ∆ ~A =
1
c
~, (1.59)
siempre y cuando asumamos que φ y ~A están relacionados a través de (1.56). Las ecuaciones
(1.58) nos dicen cómo los potenciales interaccionan con las cargas y las corrientes, mientras (1.59)
nos da la relación entre los potenciales y los campos fı́sicos ~E y ~B. Se puede demostrar que la
invariancia gauge está ı́ntimamente ligada con la teorı́a matemática de formas y que las ecuacio-
nes homogéneas (1.58) son en realidad una identidad de Bianchi, que dice que el tensor electro-
magnético es (localmente) exacto.
1.5. La teorı́a de Maxwell a través del principio variacional
De la mecánica analı́tica conocemos las ventajas del formalismo lagrangiano para estudiar
las leyes de la fı́sica: un lagrangiano es básicamente la integral de las ecuaciones de movimiento
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	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	Breve repaso de la teoría de Maxwell
	La teoría de Maxwell a través del principio variacional