BertJanssen-RelatividadGeneral-31

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r −r,,
r −r,
φ (r, t)
v
Figura 1.6: Los potenciales retardados: los potenciales electromagnéticos en el punto ~r en t = t0 vienen
dado por la suma de todas las contribuciones de cargas y corrientes en los puntos ~r ′ en el momento
t − |~r − ~r ′|/c.
Al darse cuenta de que existen soluciones de paquetes de campo electomagnético que se pro-
pagan con la velocidad de la luz, Maxwell identificó la luz como ondas electromagnéticas. La
conexión entre el electromagnetismo y la óptica fue uno de los grandes éxitos de la teorı́a de
Maxwell. No sólo era la primera vez que alguien venı́a con una teorı́a fundamental para expli-
car la naturaleza de la luz, sino esa teorı́a también daba una base sólida a la óptica y permitı́a
derivar las leyes empı́ricas de la óptica y calcular ı́ndices de relexión y refracción de materiales.
Pero aparte la teorı́a de Maxwell es capaz de dar una explicación de cómo surgen estas ondas
electromagnéticas. Esto lo veremos en el siguiente apartado.
Potenciales retardados
Resolvemos ahora las ecuaciones generales de Maxwell. Ya hemos visto que, elegiendo el
gauge de Lorenz, se puede escribir las ecuaciones de Maxwell en función de los potenciales elec-
tromagnéticos como
1
c2
∂2t φ − ∆φ = ρ,
1
c2
∂2t ~A − ∆ ~A =
1
c
~. (1.83)
Por la teorı́a de ecuaciones diferenciales sabemos que la solución general de una ecuación lineal
inhomogénea consiste en la suma de las soluciones de la ecuación homogénea y una solución
particular. En el caso de las ecuaciones de Maxwell, las soluciones de las ecuaciones homogéneas
son las ondas electromagnéticas que hemos visto en la subsección anterior.
La derivación de la solución particular en principio no es muy diferente al caso de la elec-
troestática o las corrientes constantes. Para calcular el valor de los potenciales en un punto ~r en
el momento t tenemos que sumar (integrar) todas las contribuciones de cargas y corrientes en
todos los elementos de volumen d3x. La diferencia con el caso estático es que para obtener la
contribución de un elemento de volumen en posición ~r ′ no hay que tomar la densidad de carga
y corriente en el momento t, sino en el momento t− |~r−~r ′|/c, dado que el tiempo |~r−~r ′|/c es el
que necesita una onda electromagnética (y por lo tanto también la contribución a los potenciales)
para viajar de ~r ′ a ~r (véase Figura 1.6). Los potenciales que reflejan esta propiedad se llaman los
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