BertJanssen-RelatividadGeneral-36

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Maxwell
S1 Λ (x) n=1n=0
n=−1 n=2
...
...
Figura 1.9: La topologı́a del efecto Aharonov-Bohm: el grupo gauge de la teorı́a de Maxwell tiene la to-
pologı́a de un cı́rculo S1 (izquierda), mientras que el espacio de configuraciones tiene la topologı́a de un
cilindro, R × S1 (los 4 casos de la derecha). Una transformación gauge Λ(x) es una función de S1Maxwell a
la S1config del cilindro y las distintas transformaciones se dividen en distintas clases, caracterizadas por el
número n de veces que la S1Maxwell enrolla la S
1
config en una dirección o en la otra. Funciones de distintas
clases no son deformables unas en otras de manera continua, de modo que el número n es un invariante
topológico.
Por lo tanto, ¿cuál es al final el estatus fı́sico del potencial en el problema de Aharonov-Bohm?
¿Corresponde a un campo “real”, con efectos fı́sicos? Como ya hemos dicho, el efecto fı́sico es
proporcional a Φ, el flujo magnético a través del solenoide, que depende de ~B y no de ~A. Todavı́a
podemos hacer las transformaciones gauge ~A → ~A−c~∇Λ que queramos, siempre y cuando respe-
temos las condiciones de contorno, es decir la estructura topológica del espacio R2\{0}. Al ser el
efecto fı́sico proporcional a ~B y al tener aún cierta libertad gauge, podemos decir tranquilamente
que tampoco en el efecto Aharonov-Bohm los potenciales tienen significado fı́sico.
Por último, existe una explicación matemática elegante del efecto Aharonov-Bohm en térmi-
nos de estructuras topológicas. Matemáticamente hablando el efecto es debido a que ni el espacio
de configuraciones, ni el grupo gauge son simplemente conexos. Por un lado el grupo gauge de
la teorı́a de Maxwell es U(1) (el grupo de multiplicación por una fase eiα), cuyo espacio de grupo
es el cı́rculo S1. Por otro lado, el espacio de configuraciones R2\{0}, que es topológicamente igual
a R × S1, pero dado que (1.96) no depende de r, la parte (topológicamente) relevante del espacio
de configuraciones es S1. El parámetro Λ de una transformación gauge es por lo tanto una fun-
ción del espacio de grupo S1 al espacio (relevante) de configuraciones S1 (véase Figura 1.9). Las
diferentes funciones Λ se distinguen por el número de veces que la primera S1 recorre (enrolla) a
la segunda en una dirección o en la otra. Funciones con distinto número de enrollamiento no son
continuamente deformables unas en otras y funciones con número de enrollamiento distinto de
cero no son contraı́bles. El número de enrollamiento (lo que fı́sicamente corresponde al número
de vueltas que da el electrón alrededor del solenoide) es por lo tanto un invariante topológico
y la clasificación de las distintas funciones Λ : S1 → S1 se hace a través del (primer) grupo de
homotopı́a π1. Para el caso del grupo U(1), el grupo de homotopı́a π1(U(1)) = π1(S
1) = Z.
El monopolo de Dirac
Ya hemos comentado antes que las ecuaciones del vacı́o (1.71)-(1.72)
~∇ · ~E = 0, ~∇ · ~B = 0, (1.97)
~∇× ~E = −1
c
∂t ~B, ~∇× ~B =
1
c
∂t ~E. (1.98)
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