BertJanssen-RelatividadGeneral-44

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irrelevante. La isotropı́a implica una invariancia bajo rotaciones ortogonales arbitrarias
x′i =
3
∑
j=1
M ijx
j , (2.3)
donde M ij es la matriz ortogonal que representa una rotación SO(3).
Como ya mencionamos antes, estas simetrı́as imponen restricciones en la forma que pueden
tener las leyes fı́sicas. La homogeneidad del tiempo causa que un lagrangiano4 L = T − V , que
describe un sistema de objetos en posiciones qi con velocidades q̇i, no pueda depender explı́cita-
mente de t:
∂tL(qi(t), q̇i(t)) = 0. (2.4)
Como indicado, las variables qi y q̇i sı́ pueden ser dinámicas y depender de t, pero la depen-
dencia del lagrangiano de t sólo puede darse a través de éstas variables. La homogeneidad del
espacio implica que las interacciones permitidas en el potencial V (qi) sólo pueden depender de
las distancias entre dos partı́culas, pero no de las posiciones de las partı́culas con respecto a cierto
origen. Y finalmente la isotropı́a del espacio implica que el potencial V tiene que ser un potencial
central, que depende de la distancia radial r, pero no de los ángulos.
Efectivamente, los potenciales que uno encuentra en teorı́as de gravedad, electromagnetismo,
fı́sica molecular o nuclear son tı́picamente de la forma V = V (|~r1 − ~r2|), que claramente satisface
los requisitos mencionados arriba.
Las simetrı́as no sólo restringen la forma que puede tener una teorı́a, sino también ayudan
a la hora de encontrar soluciones de las ecuaciones de movimiento. Si, por ejemplo, queremos
encontrar la expresión para el campo eléctrico, causado por un electrón en reposo en el origen de
un sistema de coordenadas, tenemos que resolver la ecuación de Laplace (en coordenadas esféricas)
para el potencial φ,
∇2φ ≡ 1
r2
∂r(r
2∂rφ) +
1
r2 sin θ
∂θ(sin θ∂θφ) +
1
r2 sin2 θ
∂2ϕφ = 0. (2.5)
Para resolver la ecuación (2.5), se podrı́a aplicar el método de separación de variables y buscar la
solución más general en función de las funciones armónicas esféricas Ylm(θ, ϕ), pero nos ahorra-
remos mucho trabajo si utilizamos la simetrı́a del sistema. Dado que el electrón en el origen
posee una simetrı́a esférica, el campo eléctrico también tiene que reflejar esta simetrı́a: la solución
dependerá sólo de la coordenada radial r y no de los ángulos θ y ϕ. La ecuación diferencial parcial
(2.5) se reduce por lo tanto a una ecuación diferencial ordinaria en r y es fácil averiguar que la
solución para el campo eléctrico es la solución conocida de la electrostática:
φ(r) =
Q
r
=⇒ ~E = −~∇φ = −Q
r2
~er. (2.6)
Aparte de las simetrı́as bajo traslaciones y rotaciones de arriba, el Principio de la Relatividad
nos proporciona otra simetrı́a, relacionada con observadores en movimiento relativo. Ya que el
Principio de la Relatividad impone que un observador no es capaz demedir la velocidad absoluta
de su sistema de referencia, sino solamente velocidades relativas entre sistemas de referencia,
obviamente esto implica que las leyes de la fı́sica no pueden ser formuladas en términos de
velocidades. Sólo cambios de velocidad son admisibles, ya que estos son independientes de los
obervadores. Efectivamente, las leyes de Newton están formuladas en función de la aceleración
~a, y no de la velocidad ~v.
4A partir de ahora consideraré los conceptos lagrangiano y teorı́a como sinónimos: cada lagrangiano, al ser la integral
de las ecuaciones de movimiento, define los grados de libertad y dinámica en cuestión y por lo tanto la teorı́a entera. Vice
versa consideraré que una teorı́a está bien definida si existe un lagrangiano que describe su dinámica. (No consideraremos
en este libro los casos donde un conjunto de ecuaciones de movimiento no son integrables a una acción.)
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