BertJanssen-RelatividadGeneral-55

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x
z z’
y
v
y’
O’O
x’
Figura 3.3: Dos sistemas de referencia O y O′ se mueven con una velocidad relativa v. Los sistemas
de referencia están orientados tal que los ejes son paralelos y los relojes están sincronizados tal que en
t = t′ = 0 los orı́genes coinciden. Debido a la constancia de la velocidad de la luz, una señal luminosa,
emitida en todas las direcciones desde el origen en el momento t = t′ = 0, será esférica en ambos sistemas
de referencia.
Un evento es algo que ocurre en cierto lugar del espacio en cierto momento. Un observador
O medirá este suceso en su sistema de referencia y puede asignarle 4 coordenadas (x, y, z, t).
Otro observadorO′ verá el mismo suceso y le asignará las coordenadas (x′, y′, z′, t′) en su propio
sistema de referencia. La pregunta es: ¿cómo los dos observadores se pueden poner de acuerdo
sobre sus mediciones? En otras palabras, ¿cómo están relacionadas las coordenadas (x, y, z, t) y
(x′, y′, z′, t′), si O′ se mueve de manera uniforme y rectilı́nea con velocidad ~v con respecto a O?
Por simplicidad supondremos que los sistemas de referencia deO yO′ están orientados demodo
que los ejes son paralelos y queO′ se mueve a lo largo del eje x deO. Además, supondremos que
en t = t′ = 0 los dos orı́genes de los sistemas de referencia coinciden (Véase Fig 3.3).
La mecánica newtoniana (y nuestra intuición) dice que la relación entre los dos sistema de
referencia viene dada por las transformaciones de Galilei (2.8)
x′ = x − vt, y′ = y, z′ = z, t′ = t. (3.8)
Sin embargo, es fácil ver que estas transformaciones no respetan el segundo postulado de la
constancia de la velocidad de la luz. Como consecuencia, las transformaciones de Galilei están
en contradicción con los resultados derivados en la sección anterior, en particular con la fórmula
(3.3) de la dilatación del tiempo. Necesitamos por lo tanto derivar unas transformaciones nuevas
que respeten el segundo postulado y reproduzcan los resultados de la sección anterior.
La transformación lineal más general1 entre (x, t) y (x′, t′) (suponiendo que y′ = y y z′ = z,
dado que la contracción de Lorentz sólo es longitudinal) es
x′ = Ax + Bt, t′ = Cx + Dt, (3.9)
donde los coeficientes A, B, C y D son funciones de v y c. A base de consideraciones generales de
simetrı́a, podemos relacionar algunos de los coeficientes. El origen del sistema O está en reposo
con respecto a este sistema y satisface por lo tanto en cada momento la condición x = 0. Las
transformaciones (3.9) en este caso se reducen a
x′ = Bt, t′ = Dt, (3.10)
1En su famoso artı́culo “Sobre la electrodinámica de cuerpos en movimiento” en que presenta su teorı́a de la relatividad
especial, Einstein decı́a que “está claro que las ecuaciones deben ser lineales debido a las propiedades de homogeneidad
que le asignamos al espacio y al tiempo.” Probablemente lo que querı́a decir es que esperaba que las transformaciones
fueran las mismas en todos los puntos del espacio y por lo tanto la matriz de transformación una matriz constante.
Veremos a partir del Capı́tulo 6 lo que ocurre si en vez de transformaciones globales consideramos transformaciones
locales.
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