BertJanssen-RelatividadGeneral-62

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donde en la última igualdad hemos utilizado que en el sistema de laboratorio ρ+ = −ρ− = ρ0. En
otras palabras un electrón en un conductor verá que el otro conductor tiene una carga eléctrica
neta positiva y que su campo eléctrico ejerce una fuerza atractiva sobre él
~F = −e ~E. (3.47)
Obviamente el electrón nota también el campo magnético de la corriente de iones en el otro
conductor, pero ese campo magnético no ejerce ninguna fuerza sobre él, ya que está en reposo en
su propio sistema de referencia.
Si las dos corrientes son antiparalelas, la situación es un poco más complicada: un electrón ve
moverse a los iones en el otro conductor con una velocidad −v y nota por lo tanto una densidad
de carga positiva como en (3.44). Pero también ve, por la regla de sumatorio de velocidades (3.22),
a los electrones moverse con una velocidad V = 2v/(1 + v2/c2) y por lo tanto las distancias entre
éstos aún más Lorentz contraı́dos que los iones. La densidad de carga negativa es por lo tanto
más alta que la positiva, y el otro conductor tiene una densidad de carga global negativa, lo que
resulta en una fuerza electrostática repulsiva.
Por lo tanto vemos que la fuerza que actúa sobre un electrón en un conductor es puramente
magnetostática desde el punto de vista del experimentador en el laboratorio, pero puramente
electrostática en el sistema de referencia de los electrones, aunque ambas fuerzas están descritas
por la misma fuerza de Lorentz. La misma expresión (3.35) es por lo tanto válida en todos los
sistemas inerciales, independientemente del estado de movimiento de la partı́cula en cuestión.
Incluso se puede hacer este análisis demanera cuantitativa, aunque nos limitaremos a calcular
la fuerza actuando sobre un solo electrón en un conductor por los campos eléctricos ymagnéticos
del otro conductor en el caso de las corrientes paralelas. Dejaremos el otro caso como ejercicio
para el estudiante interesado.
Como hemos dicho, el campo magnético de un conductor lineal por el que pasa una corriente
~I = πρ0v R
2
0 ~ez , con R0 el radio del conductor, viene dado por (1.32),
~B =
ρ0vR
2
0
2cr
~eϕ, (3.48)
y por lo tanto un electrón que se mueve en el sistema del laboratorio con una velocidad ~v = −v~ez
antiparalela a la corriente ~I (es decir, forma parte de una corriente que va en el mismo sentido
que I), experimenta una fuerza de Lorentz
~F = −e ~v ×
~B
c
=
−eρ0v2R20
2c2r
~er. (3.49)
Por otro lado, en el sistema de referencia del electrón, un conductor lineal con densidad de
carga ρ′tot crea un campo eléctrico (ejerc.)
~E =
R20 ρ
′
tot
2r
~er, (3.50)
por lo que el electrón experimenta una fuerza de Lorentz
~F ′ = −e ~E = 1√
1 − v2/c2
−eρ0v2R20
2c2r
~er, (3.51)
donde hemos usado la fórmula (3.46) que relaciona la densidad ρ′tot con ρ0. Vemos por lo tanto
que las expresiones para la fuerza de Lorentz en ambos sistemas de referencia están relacionadas
como
F ′ =
1
√
1 − v2/c2
F. (3.52)
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