Corrientes de conducción - Arturo Lara (1)

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12- Corrientes de conducción
Se puede tomar como un prototipo conveniente para este caso el de la corriente en un alambre metálico. Para una situación completamente estática, ya se encontró en (6-1) que E = 0 en el interior de un conductor. Cuando existen cargas en movimiento dentro del alambre, ya no se tiene una situación estática aun cuando pudiera ser estacionaria,de modo que es muy posible que E 7^0 en el conductor. De hecho, el movimiento mismo de las cargas implica la existencia de ciertas fuerzas sobre ellas, lo que implica a su vez que el valor de E debe ser diferente de cero. En consecuencia, ya no debe esperarse que el conductor represente un volumen equipotencial.
Por medio de la experimentación se encuentra que si se aplica una diferencia de potencial inicial a un conductor, existirán corrientes en él, pero que si después se le deja solo las corrientes terminarán por cesar, con lo que el conductor llega a un estado de equilibrio electrostático cuyas propiedades ya se estudiaron en el capítulo 6. También se encuentra que es posible mantener una corriente constante en un conductor por medio de una diferencia de potencial constante sólo si se le suministra energía continuamente al sistema desde una fuente externa. Por tanto, en algún lugar se está realizando un trabajo sobre estas cargas en movimiento cuando circulan por las trayectorias cerradas de los circuitos ordinarios. Si se realiza un trabajo total Wq sobre una carga q cuando ésta transita por una trayectoria cerrada, la relación entre ambos recibe el nombre áe fuerza electromotriz, o simplemente, fem, de manera que se tiene, de acuerdo con (3-1),
W	i r	r
g = ^ = -(f)F •t/s = (f)E-í/s	(12-22)
q	qTc q Jc
Pero como se sabe de (5-5), el campo eléctrico conservativo con el que se ha estado trabajando no puede realizar trabajo neto sobre la carga en un caso como éste, de modo que en algún lugar del circuito debe existir una fuente o fuentes de un campo eléctrico no conservativo Enc\ así, (12-22) puede expresarse como
S=(ÍE„/rfs	(12-23)
(Dado que el campo eléctrico puede medirse en volts/metros, se observa que la unidad para fem es el volt -la misma que para el potencial y para la diferencia de potencial). Más adelante se estudia cómo se pueden producir algunos de estos campos no conservativos, pero baste señalar aquí que la fuente más común y familiar de estos campos es la batería. Una batería realiza trabajo sobre una carga que pasa por ella, y la fuente de esta energía se debe esencialmente a las reacciones químicas de un tipo u otro dentro de la batería; por lo tanto, en cierto sentido una batería es como una bomba que puede ejercer trabajo sobre un fluido y levantarlo, por ejemplo, contra el campo conservativo gravitacional. La batería viene a ser un buen ejemplo de una fuente localizada de campo eléctrico no conservativo, de tal manera que Enc en (12-23) es diferente de cero únicamente cuando la trayectoria de la carga pasa por la batería y Enc =0 en todos los demás puntos del circuito. En este caso es posible referirse a la fem de la propia fuente como una cantidad específica, cuyo valor puede obtenerse de (12-23) como
Corrientes de conducción
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Sfuente= f	(12-24)
J fuente
Por lo tanto, y para simplificar, el resto de este estudio se restringirá a aquellas regiones conductoras en las que no existan campos eléctricos no conservativos, de modo que se pueda expresar E = 570 y por tanto VX E =0, mientras se esté fuera de las baterías.
Dado que E ejercerá fuerzas sobre las cargas en movimiento, debe existir cierta relación funcional entre Jy y E, es decir, debe poder escribirse algo como Jy — Jy(E). Por el momento se tomará como cierto que Jy(O) =0, quedando así excluidos de estas consideraciones los superconductores. La relación entre Jy y E puede llegar a ser muy complicada dependiendo del material de que se trate. Se trató con una situación muy similar en la sección 10-6 cuando se buscaba una relación entre P y E para los dieléctricos, y fue posible diseñar un esquema de clasificación similar. Sin embargo, aquí se pasará directamente al caso de un conductor isotrópico lineal, es decir, se supondrá que es posible escribir
Jy=aE	(12-25)
donde el factor de proporcionalidad o recibe el nombre de conductividad. (Esta es una notación estándar y no debe provocar confusiones; en aquellos pocos casos en los que se presente una densidad superficial de carga junto con una conductividad en la misma expresión, se utilizará el símbolo och para la densidad de carga). La ecuación 12-25 viene a ser otro ejemplo de ecuación constitutiva, como en el caso de D = eE, y únicamente la experimentación podrá decidir si resulta ser apropiada para un material dado. Se puede observar en (12-25) que o es independiente del campo E, aunque puede ser función de la posición y de otras variables tales como la temperatura. La unidad de a recibe el nombre de 1 (ohm-metro)'1 y, dado que Jy está en ampere/metro2 y que E se expresa en volt/me- tro, es fácil encontrar que 1 ohm = 1 volt/ampere.
Cuando se puede aplicar (12-25), la condición de frontera (12-21) para una corriente estacionaria puede expresarse completamente en función de E:
ñ-(a2E2-o,E1) = 0	(12-26)
Seguirá siendo cierto que n X (E2 — Ej) =0, ya que V X E =0 en todas las regiones bajo consideración. De esta manera se tiene una situación similar a la que se encontró para los dieléctricos en la figura 10-14, en la que las líneas de E sufren una refracción al cruzar la superficie limitante entre dos medios de diferente conductividad.
Si el material es también homogéneo, o será constante, es decir, independiente de la posición. A este respecto, a viene a ser una característica del material y debe encontrarse experimentalmente o calcularse por medio de teorías sobre las propiedades atómicas de la materia que se estudian en otras ramas de la física; por lo que aquí concierne, se le toma como una cantidad dada. No todos los materiales son lineales, isotrópicos y homogéneos, pero las suposiciones hechas en (12-25) con o = const. funcionan muy bien para los metales y para las soluciones de electrólitos, por ejemplo.
Si se tiene un conductor i.h. I. y además corrientes estacionarias, se pueden combinar (12-21), (12-25), (5-3) y (1-45) para obtener V • Jy - 0 - V • (a E)= o V *E = - o V2 0. En otras palabras, V 2 0 = 0 y el potencial aún satisface la ecuación de Laplace. Este resultado viene a proporcionar un método experimental para resolver la ecuación de Laplace fijando los valores de frontera de 0 requeridos en las fronteras de la región conductora, pues entonces, midiendo la magnitud y dirección de la densidad de corriente Jy, se pueden encontrar los valores de E a partir de E = Jy/cr.
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Corrientes eléctricas
Figura 12-7 Porción de un conductor que
conduce una corriente total /.
La relación Jy = o E para un conductor i.h.l. es equivalente a la relación empírica macroscópica que se conoce como la ley de Ohm y, de hecho, a menudo recibe el nombre de la versión microscópica de la ley de Ohm. Puede entenderse el porqué de esto si se analiza la situación que se muestra en la figura 12-7. Se trata de una porción de un conductor uniforme de longitud I y sección A que lleva una corriente total I. Si | A0| es la magnitud de la diferencia de potencial entre sus extremos, entonces la magnitud de E =| A0I/Z, de acuerdo con (5-3) y (1-38), ya que V0 es constante en esta región de dimensiones y corriente constante. De manera similar, la densidad de corriente es Jy — I/A, de acuerdo con (12-6) si se supone que la corriente está distribuida uniformemente en toda la sección, lo que viene a ser una aproximación muy exacta. Al sustituir estos valores en (12-25) se obtiene que I/A = o A0 \/l, o sea, l—^oA/P) | A0|. Así se logra una relación entre estas cantidades macroscópicas y se observa que la corriente es proporcional a la diferencia de potencial (o a la inversa). Esta relación generalmente se expresa en la forma
(12-27)
donde el factor de proporcionalidad es
/
oA
(12-28)
La ecuación 12-27 viene a ser el resultado empíricodescubierto por Ohm y conocido como la ley de Ohm, mientras que a la cantidad R se le llama resistencia y se mide en ohms (es decir, volts/amperes). Se ha demostrado así la equivalencia entre (12-25) y (12-27) para un conductor i.h.l. y, al mismo tiempo, se ha obtenido (12-28) como un método para calcular la resistencia. Al recíproco de la conductividad, //o, se le llama resistividad y generalmente se le asigna el símbolo p.
Como se puede apreciar en la figura, Jy está dirigido longitudinalmente a lo largo de este conductor uniforme, como es el caso de E, ya que son paralelos entre sí. Así, en la superficie, E es tangencial, y ya que según (9-21) las componentes tangenciales de E son continuas, existirá un campo tangencial en el exterior del conductor, que está dado por E = 3j-/o. Esto representa un marcado contraste con el caso estático, en el que no solamente E — 0 en el interior del conductor, sino que además era necesariamente normal a su superficie, tal como se vio en (6-2) y en la figura 6-l¿>.
Para concluir esta sección se utilizan algunos de los resultados anteriores para obtener una relación interesante e inesperada.
Ejemplo
Relación entre resistencia y capacitancia. Supóngase que se tienen dos conductores de la misma forma. Existen dos maneras en que se les puede utilizar.
Corrientes de conducción
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Figura 12-8 Dos conductores usados (a) como un capacitor y, (b) como una resistencia.
1. Como un capacitor —supóngase que se llena la región entre estos dos conductores con un dieléctrico i.h.l. de capacidad inductiva específica e, y que se colocan cargas iguales y opuestas en ellos como se muestra en la figura 12-8a. Se desea encontrar a la capacitancia. De acuerdo con (6-38), se sabe que es posible encontrar la diferencia de potencial evaluando la integral
Á<¡> = J E-Js	(12-29)
sobre cualquier trayectoria conveniente entre las placas. Se puede expresar la carga libre Q en la placa positiva como una integral sobre su superficie S:
Q = ojda — cEíía= cj* E-t/a	(12-30)
usando (2-16), (10-56) y (6-1). Al sustituir esto en (6-38) se tiene que la capacitancia puede expresarse como
(12-31)
2. Como una resistencia —esta vez no se llena el espacio entre las placas con un dieléctrico, sino con un conductor i.h.l. de conductividad o, tal como se ilustra en la figura 12-8&. Aquí también se mantiene la misma diferencia de potencial Adentre las placas, haciendo que cada una de ellas tenga el mismo potencial que antes. Como se vio antes, 0 satisface la ecuación de Laplace bajo estas circunstancias, y dado que las condiciones de frontera son exactamente las mismas en ambos casos, 0 (r) será idéntico para los dos, de acuerdo con el teorema de unicidad de la sección 11-1. En otras palabras, (12-29) representa aquí también la diferencia de potencial con exactamente los mismos valores de E para cada punto de la trayectoria de integración. La corriente total, I, que pasa entre las placas puede expresarse como la integral de superficie sobre la misma placa superior, por medio de (12-6) y (12-25); el resultado es
7 = f Jy í/a= f aE ¿Za = a f E-¿7a	(12-32)
•¡s	J s	J s
Cuando se sustituyen (12-29) y (12-32) en (12-27) se encuentra que la resistencia de este sistema es
(12-33)
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Corrientes eléctricas
Por comparación entre (12-31) y (12-33) se puede observar que l/R o —C/e, o sea,
RC=~	(12-34)
lo que viene a demostrar que estas dos propiedades del sistema no son independientes entre sí, sino que, de hecho, se encuentran relacionadas de esta manera simple. [ La relación (12-34) se asemeja a un típico resultado de la termodinámica, yaque expresa una relación entre propiedades macroscópicas de un sistema sin dar una indicación del valor absoluto de ninguna de ellas]. Este resultado tan general puede también ser usado como una manera de medir C indirectamente, puesto que las mediciones de resistencia son comparativamente más fáciles de realizar por medio de un amperímetro y un voltímetro, mientras que la medición directa electrostática de C es, por lo general, algo bastante más complicado.