BertJanssen-RelatividadGeneral-64

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y
I
III
x
ct
II
Figura 3.5: Los conos de luz en el espacio de Minkowski: los conos representan la trayectoria de los rayos
de luz que pasan por el punto x = y = z = 0 en el momento t = 0. El interior de los conos de luz (las zonas
I y II) representan posibles trayectorias de observadores inerciales que se mueven con velocidad constante
pasando por el origen (linea discontinua). El exterior de los conos (la zona III) no está en conexión causal
con el origen.
zona III o vice versa. Esta estructura causal es igual para todos los observadores, dado que las
transformaciones de Lorentz dejan la cantidad s2 invariante.
Matemáticamente el espacio de Minkowski tiene la esctructura de un espacio vectorial, de
modo que podemos pensar en las coordenadas (ct, x, y, z) de un suceso como un vector cuadri-
mensional x̂ en este espacio vectorial y en la cantidad s2 como el cuadrado de la norma del vector.
Fı́jese que para esto hemos tenido que introducir una nueva definición para el producto escalar
entre dos vectores â y b̂ en el espacio de Minkowski como
â · b̂ = atbt − axbx − ayby − azbz. (3.55)
Esta definición proporciona un producto escalar y una norma que no es definida positiva. El
espacio de Minkowski por lo tanto no tiene una geometrı́a euclı́dea, sino lo que se llama pseudo-
euclı́dea o lorentziana. Volveremos a esto en más detalle en el Capı́tulo 5.
Por lo tanto la cantidad s2 = c2t2 − x2 − y2 − z2 representa el cuadrado de la distancia entre
un suceso (ct, x, y, z) y el origen. En general, la cantidad
∆s2 = c(t2 − t1)2 − (x2 − x1)2 − (y2 − y1)2 − (z2 − z1)2 (3.56)
es el cuadrado de la distancia entre dos sucesos (ct1, x1, y1, z1) y (ct2, x2, y2, z2) en el espacio
de Minkowski. Si la distancia ∆s2 > 0, los sucesos están separados por un intervalo temporal,
si la distancia ∆s2 = 0 por un intervalo nulo o tipo luz y si la distancia ∆s2 < 0 por un intervalo
espacial. Como hemos visto antes, sólo hay conexión causal entre sucesos separados por intervalos
temporales o nulos.
Una transformación de Lorentz (3.19) relaciona las componentes (ct, x, y, z) de un vector de
posición visto por un observador O con las componentes (ct′, x′, y′, z′) del mismo vector visto
por otro observador O′. Una transformación de Lorentz entonces no es más que un cambio de
base dentro del espacio de Minkowski. Ya hemos visto que la trayectoria deO′ es una recta por el
origen dentro del cono de luz, donde el ángulo β entre la trayectoria y el eje ct es una medida de
la velocidad de O′: tg β = v/c (véase Figura 3.6). El observador O′ tomará esta recta como su eje
tempotal ct′, puesto que está en resposo con respecto a sı́ mismo. Dado que para O′ la velocidad
de la luz tiene que ser igual que para O, el eje x′ de O′ está orientado de manera simétrica con
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