BertJanssen-RelatividadGeneral-67

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Capı́tulo 4
Álgebra de tensores y
transformaciones ortogonales
La educación matemática del joven fı́sico [Albert Einstein] no era muy sólida, y yo
estoy en una buena posición para evaluarla, puesto que la ha recibido de mı́ en Zürich
hace tiempo.
(H. Minkowski)
En este capı́tulo repasaremos las propiedades básicas de álgebra lineal y transformaciones
ortogonales, ya que la formulación covariante de la relatividad especial recurre a las mismas
técnicas.
4.1. El convenio de sumación de Einstein
A partir de este capı́tulo utilizaremos el llamado convenio de sumación de Einstein, una manera
compacta de anotar fórmulas, introducida por Einstein en 1916. En cuanto un ı́ndice aparezca
repetido arriba y abajo, se supone una suma sobre todos los posibles valores de este ı́ndice, su-
primiendo un signo de sumatorio explı́cito. Los ı́ndices repetidos también se llaman mudos. La
descomposición de un vector |a〉 en una base {|ei〉} serı́a por lo tanto |a〉 = ai|ei〉 y un producto
escalar entre dos vectores 〈a|b〉 = aibi, donde la suma en ambos casos contiene N términos en un
espacio vectorial N -dimensional. Del mismo modo el producto de dos matrices C = AB se anota
entonces como Cij = A
i
kB
k
j .
Dado que un ı́ndice repetido sólo es un ı́ndice de sumación, da igual el nombre que le demos,
de modo que tenemos que aib
i = akb
k.1 Además, como dentro de cada término de la suma, los
factores son simplemente números reales o complejos, el órden de los factores no influye, siempre
y cuando respectemos el lugar de los ı́ndices: Cij = A
i
kB
k
j = B
k
jA
i
k, pero A
i
kB
k
j 6= BikAkj .
Los ı́ndices que no están sumados se llaman libres. En una ecuación vectorial o tensorial, los
ı́ndices libres en cada lado de la igualdad tienen que ser los mismos. El convenio de sumación de
Einstein también supone N ecuaciones para cada ı́ndice libre (una para cada valor del ı́ndice).
1Siempre y cuando no se repita el nombre de ı́ndices contraı́dos: no es posible saber si la expresión errónea aibicidi
se refiere a 〈a|c〉〈b|d〉 = aibjc
idj o a 〈a|d〉〈b|c〉 = aibjc
jdi.
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	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	Álgebra de tensores y transformaciones ortogonales
	El convenio de sumación de Einstein