BertJanssen-RelatividadGeneral-73

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En general un cambio de coordenadas M no transforma una base ortonormal en otra ortonor-
mal, de modo que en general la métrica no preserva la forma (4.30) bajo un cambio de base M .
Sin embargo sı́ existe un clase de transformaciones que tienen la propiedad que dejan la forma
de la métrica invariante. Consideremos la clase de matrices M que tienen la propiedad que
(M−1)lj δkl = M
l
k δlj . (4.35)
Si {|e′i〉} es una base ortonormal (es decir, la métrica toma la forma δij), entonces, utilizando (4.25)
es fácil ver que la forma de la métrica en la nueva base es
g′ij = (M
−1)ki M
l
k δlj = δij . (4.36)
En otras palabras, en la nueva base la métrica también es de la forma (4.30), puesto que las trans-
formaciones consideradas dejan su forma invariante:
δij = (M
−1)ki(M
−1)ljδkl. (4.37)
Las transformaciones que satisfacen la condición (4.35) se llaman transformaciones ortogonales. Tie-
nen la buena propiedad de que transforman una base ortonormal en otra base ortonormal (esta
es la razón por que deja la métrica invariante).
Hay algunas propiedades más de las matrices ortogonales que merecen la pena mencionar. Si
multiplicamos ambos lados de la condición (4.35) condición de ortogonalidad con δik, tenemos
que
(M−1)ij = δ
ikM lkδlj . (4.38)
La combinación de métricas contraı́da de esta manera con M ij se conoce como la traspuesta M
T
de la matriz M ,
(MT )ij = δ
ikM lkδlj . (4.39)
En otras palabras, la misma definición de las transformaciones ortogonales nos está diciendo que
la inversa de la matriz ortogonal M es su traspuesta (en forma matricial MT = M−1). Además
las matrices ortogonales M son reales y tienen determinante ±1. Esta última propiedad se saca
directamente de (4.38), ya que si MT = M−1, tomando el determinante vemos que |M | = |M |−1,
o en otras palabras, |M | = ±1.
Desde en punto de vista geométrico, las transformaciones ortogonales son las rotaciones (si
tienen determinante 1) y las reflexiones (si tienen determinante −1). Las transformaciones orto-
gonales en N dimensiones forman el grupo O(N), que contiene el grupo de las rotaciones SO(N)
como subgrupo.
Para ser consistentes con nuestro propósito de trabajar sólo con bases ortonormales, está claro
que para el resto de este capı́tulo nos limitaremos a cambios de base que son transformaciones
ortogonales. Sobra decir, sin embargo, que todas las propiedadesmencionadas a partir de aquı́ si-
guen siendo válidas para transformaciones lineales arbitrarias.
4.4. Ejemplo concreto
A este punto conviene ilustrar algunas de las propiedades estudiadas con unos ejemplos con-
cretos. Consideramos el cambio de coordenadas en R2, parametrizado por la matriz
(M−1)ij =
( a√
2
− a√
2
b√
2
b√
2
)
⇐⇒ M ij =
( 1√
2a
1√
2b
− 1√
2a
1√
2b
)
(4.40)
con a y b números reales arbitrarios. Tenemos que det(M−1) = ab, de modo que en general M−1
no es una transformación ortogonal. Sin embargo, para a = b = 1, M−1 se reduce a una rotación
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	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	Álgebra de tensores y transformaciones ortogonales
	Ejemplo concreto