BertJanssen-RelatividadGeneral-75

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Dado que {|ei〉} es una base ortonormal en R2, la métrica en esta base es la euclı́dea δij . Sin
embargo la forma de la métrica en la base {|e′i〉} se calcula con (4.25), siendo de la forma
gij =
(
a2+b2
2
b2−a2
2
b2−a2
2
a2+b2
2
)
. (4.48)
Las componentes del vector covariante 〈v|, correspondiente a |v〉, en las bases {〈ei|} y {〈e′i|}
vienen dadas respectivamente por (ejerc.)
vx = 0, vy =
√
2b, v′x = b
2, v′y = b
2, (4.49)
de modo que la norma |||v〉|| en ambas bases viene dado por
|||v〉||2 = vivi = 0 + (
√
2b)2 = 2b2
= v′iv
′i = b2 + b2 = 2b2. (4.50)
Por lo tanto, la norma de vectores también es independiente de la base en que se calcula, como
es de esperar, por lo menos siempre y cuando se use la misma medida en ambas bases.
Miremos esto último en un poco más de detalle: el resultado calculado arriba implica que los
observadoresO y O′, que usan los sistemas de referencia {|ei〉} y {|e′i〉} respectivamente, estarán
de acuerdo sobre la longitud de vectores, si los dos están de acuerdo en usar como unidad de
longitud la norma |||ex〉|| del vector de base de |ex〉. En este caso, las reglas de transformación de
vectores co- y contravariantes, de la métrica y del producto escalar les dicen cómo relacionar los
datos de ambos observadores.
Sin embargo, en la práctica |||ex〉|| no es la unidad de longitud más natural para el observador
O′. Esto está claro en el caso donde a = b 6= 1 (véase Figura 4.2), donde la base {|e′i〉} tam-
bién es ortogonal. En este caso, O′ cogerá de manera natural |||e′x〉|| como unidad de longitud y
usará la métrica euclı́dea δij como métrica en su sistema de referencia y encontrará que según él
las distancias son un factor a2 (= b2) más cortas de lo que afirma O. Este efecto ocurre en gene-
ral, también para bases no-ortogonales y/o bases con vectores con distintas normas (según O′).
ConcretamenteO′ afirmarı́a que el vector |v〉 tiene norma |||v〉|| =
√
2 en su sistema de referencia,
tanto en el caso a = b como a 6= b.
En general los observadores O y O′ sólo estarán de acuerdo sobre las distancias en ambos
sistemas de referencias si los dos utilizan bases cartesianas que estén normalizadas de la misma
manera (es decir, si usan lamisma unidad de longitud). En otras palabras, sólo estarán de acuerdo
si el cambio de coordenadas M−1 transforma la base ortonormal {|ei〉} en otra base ortonormal
{|e′i〉}, y por lo tanto deja la métrica euclı́dea invariante. Como hemos visto en la sección anterior,
son precisamente las transformaciones ortogonales (4.35) las que tienen esta propiedad. Aunque
en general todas las transformaciones preservan el producto escalar y la norma en el sentido de
(4.47) y (4.50), se suele decir que sólo las transformaciones ortogonales preservan las distancias.
4.5. Álgebra de tensores
En la sección anterior hemos definido los vectores contravariantes xi y covariantes xi, que
bajo cambios de coordenadas transforman como
x′i = M ijx
j , x′i = (M
−1)jixj , (4.51)
y que están relacionados a través de la métrica δij y la métrica inversa δ
ij como
xi = δijx
j , xi = δijxj . (4.52)
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	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	Álgebra de tensores y transformaciones ortogonales
	Álgebra de tensores