BertJanssen-RelatividadGeneral-83

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demodo que el producto escalar (y por lo tanto la norma) de vectores en el espacio deMinkowski
se conserva. Efectivamente, el producto escalar entre dos vectores xµ e y
µ transforma como
x′µy
′µ = xρ(Λ
−1)ρµΛ
µ
νy
ν = xρδ
ρ
νy
ν = xρy
ρ. (5.14)
Igual que en el Capı́tulo 4, los operadores diferenciales ∂µ ≡ ∂/∂xµ y ∂µ ≡ ∂/∂xµ se compor-
tan como vectores co- y contravariantes respectivamente,5 como se puede averiguar fácilmente
a través de la regla de la cadena. La divergencia (cuadrimensional) de un campo vectorial Aµ se
puede escribir por lo tanto como el producto escalar entre los vectores ∂µ y A
µ,
∂µA
µ = ∂tA
t + ~∇ · ~A = ∂0A0 + ∂1A1 + ∂2A2 + ∂3A3. (5.15)
De la misma manera se puede ver el laplaciano cuadrimensional (a veces llamado el d’alamber-
tiano) como la norma del operador ∂,
✷ ≡ ∂µ∂µ = ∂20 − ∂21 − ∂22 − ∂23 (5.16)
La invariancia del producto escalar (5.7) nos será de gran utilidad a la hora de formular una
fı́sica covariante. En particular explica por qué las leyes de continuidad (leyes de conservación
en teorı́as de campos) tienen la forma de una divergencia cuadrimensional (5.15) y en sistemas
dinámicos el operador diferencial de segundo orden más común es el d’alambertiano (5.16).
La estructura del grupo de Lorentz es un poco más complicada que la del grupo ortogonal
O(N) del espacio euclı́deo, debido a la presencia de la dirección temporal con el signo opuesto a
las direcciones espaciales. Igual que en RN , sacando el determinante de (5.12), se ve que
detΛ = ±1. (5.17)
Esto divide el grupo de Lorentz en dos partes, según el signo del determinante. Las transforma-
ción con determinante −1 son reflexiones y no preservan la orientación de la base, mientras las
transformaciones con determinante 1 son cambios de base que sı́ perservan la orientación. Sólo
éstos últimos forman un subgrupo del grupo de Lorentz, puesto que la identidad pertenece a esta
parte. Este subgrupo L+ se llama el grupo propio de Lorentz.
De (5.11) sacamos otra manera de dividir el grupo de Lorentz en dos partes: cogiendo la
componente (00) de (5.11), vemos que
1 = (Λ00)
2 − (Λ10)2 − (Λ20)2 − (Λ30)2. (5.18)
Tenemos por lo tanto que la componente Λ00 de una transformación de Lorentz tiene que satis-
facer la condición de que (Λ00)
2 ≥ 1, o en otras palabras
Λ00 ≥ 1 ó Λ00 ≤ −1. (5.19)
Las transformaciones con Λ00 ≤ −1 invierten la dirección temporal, mientras las que tienen
Λ00 ≥ 1 la preservan. Sólo la parte con Λ00 ≥ 1 forma un subgrupo, llamado el grupo ortocrono de
Lorentz L↑.
Vemos por lo tanto que el grupo de Lorentz L se divide en 4 partes disconexas, caracteriza-
das por el signo del determinante y el signo de la componente Λ00. De estas 4 partes, sólo la
parte de las transformaciones propias y ortocronas L↑+ forma un subgrupo, puesto que contie-
ne la identidad. Discutiremos ahora en más detalle las transformaciones de este subgrupo. Las
transformaciones pertenecientes a las demás partes están relacionadas con las de L↑+ a través de
reflexiones y/o cambios de orientación de la dirección temporal.
5Debido a los signos en la métrica, las componentes espaciales de ∂µ y ∂µ llevan el signo contrario. Para evitar confu-
sión damos las componentes explı́citamente: ∂µ = (∂t, ~∇), mientras ∂µ =
„
∂t
−~∇
«
.
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