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el tiempo dt medido por cualquier otro observador inercialO′ viene dado por la fórmula (3.3) de la dilatación del tiempo: dτ = √ 1 − v2 dt, (5.25) donde v es la velocidad de la partı́cula con respecto al observador O′ en el intervalo dτ . Para el observador O′ el intervalo dτ corresponde a un intervalo entre dos puntos xµ y xµ + dxµ del espaciotiempo dτ2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = ηµνdxµdxν . (5.26) Nótese que por lo tanto dτ es una cantidad invariante, dado que cualquier otro observador O′′ medirı́a el mismo intervalo. Esta propiedad es lo que hace que el tiempo propio sea particular- mente útil para la parametrización de trayectorias. La longitud de la curva entera o de una parte finita se obtiene integrando dτ en un intervalo (in)finito. El vector tangente a la curva es la cuadrivelocidad uµ(τ) y es por definición la derivada de la posición con respecto al tiempo propio uµ(τ) = dxµ dτ . (5.27) Para partı́culas masivas, uµ es un vector temporal y de (5.26) se deriva fácilmente que entonces la norma de uµ es (ejerc.) ηµνu µuν = 1. (5.28) Para partı́culas sin masa, uµ es un vector nulo. Por construcción uµ es un cuadrivector y transforma por lo tanto bien bajo el grupo de Lo- rentz. Una manifiestación de esto es el hecho de que la norma es un invariante, como nos indica (5.28). Fı́sicamente se interpreta esta propiedad como que uµ no es la velocidad newtoniana ~v de una partı́cula por el espacio, sino una velocidad que indica el movimiento por el espaciotiempo. De la propia definición de uµ se ve que las tres componentes espaciales sı́ corresponden con las componentes de la velocidad newtoniana, ~v = d~x/dt, aunque con el factor γ de corrección rela- tivista, mientras la componente temporal es la velocidad de la luz, con el correspondiente factor relativista: uµ = dxµ dt dt dτ = γ ( 1 ~v ) , (5.29) Se puede comprobar que actuando con un boost (5.21) sobre la cuadrivelocidad, u′µ = Λµνuν , se recupera la regla relativista de la suma de velocidades (3.22) (ejerc.). De la misma manera se define la aceleración de una partı́cula como el cuadrivector7 αµ(τ) = duµ dτ . (5.30) Por su propia definición y la propiedad (5.28) vemos que en la mecánica relativista la velocidad uµ y la aceleración αµ siempre son ortogonales uµα µ = ηµνu µ du ν dτ = 1 2 d dτ (ηµνu µuν) = 0. (5.31) La aceleración por lo tanto siempre es un vector espacial. La aceleración relativista es bastante distinta a la aceleración newtoniana: en un sistema de referencia especı́fico toma la forma αµ = γ duµ dt = = γ ( dγ/dt ~vdγ/dt + γ~a ) = ( γ4~v · ~a γ4(~v · ~a)~v + γ2~a ) , (5.32) 7A veces se oye que la relatividad especial no puede describir el movimiento acelerado y que para eso es preciso recurrir a la relatividad general. Esto es claramente erróneo: la única restricción que impone la relatividad especial es que se limita a describir la fı́sica desde el punto de vista de los observadores inerciales (i.e. observadores no-acelerados). Sin embargo, nada impide a un observador inercial estudiar la dinámica de una partı́cula acelerada. 86
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