Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
cuyas componentes Lij = 12ε ijkℓk nos dan el familiar momento angular tridimensional, mientras que las componentes L0i = tpi − xiE son una cantidad fı́sica de poca relevancia en la fı́sica newtoniana. Derivando el momento angular con respecto al tiempo propio, obtenemos que dLµν dτ = dxµ dτ pν + xµ dpν dτ − dx ν dτ pµ + xν dpµ dτ = m0(u µuν − uνuµ) + xµfν − xνfµ, (5.40) donde en la segunda igualdad hemos utilizado la definición (5.33) del momento pµ y la segunda ley de Newton (5.36). El primer término de esta igualdad es idénticamente cero por la antisi- metrı́a, mientras que en los últimos dos términos reconocemos el momento de fuerza relativista, Mµν = xµfν − xνfµ. (5.41) La ecuación (5.40) toma por lo tanto la forma dLµν dτ = Mµν , (5.42) lo que implica que el momento angular está conservado, mientras el momento de fuerza es cero. Por otro lado, ya hemos dicho en las secciones 2.3 y 3.3 que las Leyes de Maxwell son cova- riantes bajo transformaciones de Lorentz y no necesitan por lo tanto una corrección relativista. Matemáticamente esto quiere decir que los objetos que aparecen en la teorı́a de Maxwell ya com- binan de manera natural en cuadrivectores y tensores. La densidad de carga ρ y la densidad de corriente ~ = ρ~v forman las componentes de un cuadrivector jµ y los potenciales φ y ~A combinan en el cuadrivector Aµ jµ = ( ρ ~ ) , Aµ = ( φ ~A ) . (5.43) Las transformaciones de jµ y Aµ bajo un boost vienen dadas por (3.37) y (3.42). Los potenciales φ y ~A dan lugar a los campos electromagnéticos ~E y ~B a través de las identi- dades (3.39), o en componentes Ei = −(∂t ~A)i − (~∇φ)i = −∂0Ai + ∂iA0, Bi = ǫijk(~∇)j( ~A)k = −ǫijk∂jAk = − 1 2 ǫijk(∂ jAk − ∂kAj). (5.44) En otras palabras podemos definir un tensor antisimétrico Fµν de rango (2, 0)9 Fµν = ∂µAν − ∂νAµ, (5.45) cuyas componentes (0i) son las componentes del campo eléctrico, F 0i = −Ei, y (ij) las del cam- po magnético, F ij = −ǫijkBk. El tensor Fµν se llama el tensor electromagnético. Explı́citamente tenemos (ejerc.) Fµν = 0 −E1 −E2 −E3 E1 0 −B3 B2 E2 B3 0 −B1 E3 −B2 B1 0 . (5.46) 9El correspodiente tensor Fµν de rango (0, 2) se define simplemente bajando los ı́ndices a través de la métrica: Fµν = ηµρηνλF ρλ. Ojo, el signo de algunas de las componentes de Fµν será diferente que el de las componentes correspondientes de F µν . 88
Compartir