BertJanssen-RelatividadGeneral-90

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De la ecuación inhomogénea de Maxwell podemos derivar directamente otra relación impor-
tante, tomando la divergencia de (5.52), es decir actuando con la derivada ∂ν . El lado izquierdo
entonces es cero, por la combinación de la simetrı́a de las derivadas y la antisimetrı́a de Fµν , de
modo que obtenemos
∂µj
µ = 0. (5.53)
Esto es la ley de conservación de carga, que hemos visto en notación tridimensional en (3.36).
Nótese que esta ecuación tiene la estructura del producto escalar entre entre ∂µ y j
µ y por lo
tanto es invariante bajo las transformaciones de Lorentz. La conservación de la carga es por lo
tanto un hecho que no depende de un observador, sino que es válido para todos los observadores
(inerciales).
También podemos recuperar las ecuaciones inhomogéneas de ondas (3.40) que satisfacen los
potenciales, sustituyendo la expresión (5.45) en (5.52). Asumiendo que los potenciales satisfacen
el gauge de Lorenz (3.41)
∂µA
µ = 0, (5.54)
vemos que (5.52) se reduce a la versión covariante de las ecuaciones (3.40)
∂µ∂
µAν = jν . (5.55)
Finalmente es útil observar que se puede derivar toda la dimámica mencionada en esta sección
a través del formalismo lagrangiano de la acción de la partı́cula cargada y para el campo electro-
magnético (ejerc.)
Spartı́cula = −
1
2
m0
∫
dτ ηµν ẋ
µẋν − q
∫
dτ ẋµA
µ(x(τ)),
SMaxwell = −
1
4
∫
d4x Fµν(x)F
µν(x) −
∫
d4x jµA
µ. (5.56)
Es muy instructivo averiguar que estas acciones son precisamente las acciones (1.60) y (1.63) en
lenguaje convariante (aunque la primera con las necesarias correcciones relativistas para que sea
invariante Lorentz) y por lo tanto toda la fı́sica comentada en la sección 1.5 (variables dinámicas,
invariancia gauge, etc) aplica de la misma manera a estas acciones (ejerc.).
5.4. La necesidad de la relatividad general
Ya en 1907, sólo dos años después de la publicación de la relatividad especial, Einstein se dio
cuenta de que la teorı́a de la gravedad newtoniana y la relatividad especial son mutuamente in-
compatibles (salvo en el caso de un campo gravitatorio constante y estático). Hay varias maneras,
matemáticas y fı́sicas, de ver esto.
Matemáticamente, se ve porque la gravedad newtoniana no es invariante bajo el grupo de
Lorentz. Según Newton, una partı́cula en un campo gravitatorio está sometida a una aceleración
d2~x
dt2
= −~∇Φ, (5.57)
causada por la fuerza gravitatoria, cuyo potencial Φ está relacionado con la densidad de materia
ρm en el universo a través de la ecuación de Poisson
∆Φ = 4πGNρM , (5.58)
donde GN es la constante de Newton. Obviamente, ni (5.57), ni (5.58) transforman bien bajo una
transformación de Lorentz.
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	I El Principio de la Relatividad y la Relatividad Especial
	Relatividad especial en formulación covariante 
	La necesidad de la relatividad general