BertJanssen-RelatividadGeneral-91

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Primero, tanto el lado izquierdo como el derecho de (5.57) son vectores tridimensionales y no
cuadrimensionales. Además, la aceleración está definida como la segunda derivada de la posición
con respecto al tiempo, pero no está claro con respecto al tiempo de qué observador. Para Newton
esto no era ningún problema, puesto que para él existı́a un solo tiempo absoluto, igual para
todos los observadores. Sin embargo de la teorı́a de la relatividad especial sabemos que cada
observador tiene su tiempo propio particular.
Se podrı́a intentar remediar estos problemas, derivando con respecto al tiempo propio e in-
tentando convertir (5.57) en una ecuación covariante, como acabamos de hacer con la mecánica
newtoniana. Pero un problema más gordo nos supone la otra parte de la teorı́a de la gravedad
newtoniana, la ecuación (5.58). Aquı́ aparece el laplaciano ∆Φ, en lugar del operador invariante,
el d’alambertiano ✷Φ. Para apreciar las dificultades que supone este operador en lugar del otro,
pasaremos a los argumentos fı́sicos de la incompatibilidad.
La ecuación (5.58) dice que el potencial gravitatorio Φ en un punto x está determinado por la
distribución de materia ρM en el universo. Si por lo tanto un observador cambia la distribución
de materia en cierto punto, el efecto en el potencial gravitatorio se nota inmediatamente en todo
el universo. En otras palabras, la fuerza gravitatoria se propaga en la teorı́a de Newton con una
velocidad infinita.11
No sólo velocidadesmayores que la velocidad de la luz son problemáticas en la relatividad es-
pecial, también surge una pregunta básica: Si el cambio de la distribución de materia en un punto
y el cambio del potencial en otro punto son simultáneos, ya que el efecto se nota de manera inme-
diata, ¿son simultáneos para qué observador? Hemos visto en el Capı́tulo 3 que la simultaneidad
de sucesos es algo que no está bien definido, sino que depende del observador. Si la gravedad
newtoniana tiene que recurrir a un observador especial, para el cual las fórmulas (5.57) y (5.58)
son válidas, viola el Principio de la Relatividad.
El verdadero problema de la ecuación de Poisson (5.58) es que es válida para el caso estático,
cuando la distribución de materia no varı́a. En este sentido, (5.58) es el análogo gravitacional de
la ley de Gauss ~∇· ~E = ρe en electrostática, cuando la distibución de cargas eléctricas es constante
en el tiempo. En este caso podemos elegir el gauge de Coulomb, ~∇· ~A = 0, de modo que se puede
escribir la ecuación de Gauss completamente en términos del potencial eléctrico φ,
∆φ = −ρe. (5.59)
Sin embargo, esta descripción es insuficiente en el caso de fuentes no-estáticas: los campos mag-
néticos ~B que aparecen en ese caso nos obligan a introducir un potencial vectorial ~A, cuya dinámi-
ca, igual que la de φ, está descrita por una ecuación de onda. Las soluciones de ésta son los
conocidos potenciales retardados, que describen la propagación con velocidad finita de las per-
turbaciones, compatibles con la causalidad relativista. En otras palabras, covariancia Lorentz e
invariancia gauge nos dicen que la generalización de la ley de Gauss (5.59) al caso no-estático es
directamente la teorı́a de Maxwell entera.
En 1907 Einstein se vio confrontado con el equivalente gravitacional: encontrar la teorı́a di-
námica de la gravedad, que sea compatible con las exigencias básicas de la relatividad especial
(en particular, la propagación a velocidad finita) y cuyo caso estático sea la ecuación de Poisson
(5.58). Si el paso de electrostática a la teorı́a deMaxwell es grande, el de la gravedad newtoniana a
la relatividad general lo es más aún y a Einstein le costó mucho remediar este problema. Aunque
ya se dio cuenta en 1907 de la incompatibilidad de ambas teorı́as y de la solución, el Principio
de Equivalencia, tardó hasta 1911 en llegar a una primera formulación matemática y otros 2 años
más, hasta 1913, en el Principio de Covariancia. Y no fue hasta 1915, diez años después de la
relatividad especial, cuando vino con una versión definitiva de la relatividad general.
El problema que surge al intentar incorporar la gravedad es que tenemos que tratar con obser-
11Nótese que esto no pasarı́a si el operador diferencial fuera un d’alambertiano: las soluciones en este caso son funcio-
nes del tipo f(t ± x), los conocidos potenciales retardados y avanzados.
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