Banco de preguntas geometria

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GEOMETRIA INTENSIVO 2007 GEOMETRIA INTENSIVO 2007 
 
GEOMETRÍA 2007-I 
01. Si a un ángulo se le resta su complemento, el resultado es la cuarta parte de su 
suplemento. Halle la medida de dicho ángulo. 
A) 30º B) 60º C) 75º D) 45º E) 80º 
 
02. La suma de los complementos y suplementos de las medidas de dos ángulos es 230º. Si 
se sabe que la diferencia de las medidas de ambos ángulos es 15º, calcule el 
complemento de la medida del mayor ángulo. 
A) 85º B) 70º C) 62,5º D) 20º E) 5º 
 
03. En la figura se muestran dos ángulos suplementarios 
Halle el máximo valor entero de “y”. 
 
A) 45º 
B) 50º 
C) 60º 
D) 59º 
E) 58º x − 2y 3y 
 
 
04. En la figura, //a b
t t
. Halle el valor de x en función de: 
 a 
A) θ θ 
B) 90º − 2θ 
C) 2θ 
D) 180º − 2θ 
E) 90º − θ θ 
 
 x 
 b 
 
05. En un triángulo ABC, BP es bisectriz interior y BP=PC. Si m∠A= 75º, calcule m∠C. 
A) 30º B) 35º C) 40º D) 45º E) 50º 
 
GEOMETRÍA 2007-I 
 
06. En la figura, AQ es bisectriz del ∠OAB y AOB ≅ BQA. Calcule el valor de x. 
 Q 
A) 120º O 
B) 105º 
C) 150º 
D) 110º x 
E) 135º 
 A B 
 
07. Con respecto a la figura, halle EF, si AB = 6cm y AE = 3cm. 
B 
A) 14 cm 
B) 10 cm 
C) 12 cm G 
D) 8 cm 
E) 9 cm 
 
 A 45º F 
 E 
 
08. Se tiene un triángulo rectángulo ABC, recto en B, se trazan la altura BH y la bisectriz 
interior del ángulo A, las cuales se intersecan en “P”. Si (AB − AH) = 10, calcule la 
distancia de “P” a BC. 
A) 11 B) 10 C) 8 D) 12 E) 9 
 
09. En la figura, ABC es un triángulo equilátero. DF // AB, DE //AC, DG // BC; DE = 5, 
DF = 6 y DG = 7. Calcule AC. 
 B 
A) 18 
B) 15 F 
C) 16 
D) 22 
E) 20 E D 
 
 
 A C 
 G 
 
10. En un octógono regular ABCDEFGH se construyen exteriormente el triángulo 
equilátero ABM y el cuadrado BCPQ. Calcule la m∠BQM. 
A) 52,5º B) 52º C) 53,5º D) 50º E) 45º 
GEOMETRÍA 2007-I 
11. En la figura, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcule el valor de x. 
 B 
A) 30º 
B) 45º 
C) 25º 
D) 20º 2x 
E) 40º x 
C 
A D 
GEOMETRIA INTENSIVO 2007 GEOMETRIA INTENSIVO 2007 
 
12. En la figura, O es centro de la semicircunferencia y M e I son puntos de tangencia. 
Halle la m∠MIL, si m∠ICL = 40º 
B 
 
A) 130º 
B) 110º I 
C) 100º 
D) 120º M 
E) 150º 
 A C 
 O L 
13. Con relación a la figura, A, B y T son puntos de tangencia. 
Si m∠PBQ = 40º, halle la m∠ACB 
 P 
 A B 40º 
A) 60º Q 
B) 40º 
C) 80º T 
D) 30º 
E) 50º C 
 
 
14. En la figura, el cuadrilátero está circunscrito. 
Halle el valor de x. B 
 C 
A) 6 
B) 7 
C) 2,5 2x x+1 
D) 3 
E) 2 
 
 
 
 
15. En la figura, AB = BC y C es punto de tangencia. B 
Si mBC = 146º, halle el valor de x. 
A) 36º 
B) 30º 
C) 45º 
D) 34º 
E) 38º A C 
 
 
 
 
GEOMETRÍA 2007-I 
16. En un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10m y la altura relativa a dicha 
hipotenusa 4,8 m, calcule la suma de las longitudes de los catetos. 
A) 10 2 B) 18m C) 12m D) 16m E) 14m 
 
 
17. En una circunferencia el radio mide 13. Calcule la flecha o sagita de una cuerda que 
mide 10. 
A) 1,5 B) 2,5 C) 1 D) 0,5 E) 2 
 
 
18. En un rectángulo ABCD se traza BF perpendicular a la diagonal AC. Calcule BF, si la 
distancia de F a BC mide 4 y CD = 25. 
A) 9 B) 10 C) 6 D) 12 E) 8 
 
 
19. En un cuadrilátero ABCD las diagonales son perpendiculares, AB=3, BC=6 y AD=5. 
Calcule CD. 
A) 7 B) 8 C) 10 D) 2 5 E) 2 13 
 
 
20. En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 
4cm y 2cm; entonces, el área de toda la región triangular es: 
A) 6 3 cm2 B) 8 2 cm2 C) 14 cm2 D) 6 2 cm2 E) 16cm2 
x 
x−1 
A D 
 x+5 
GEOMETRIA INTENSIVO 2007 GEOMETRIA INTENSIVO 2007 
 
 
01. GEOMETRIA 
01. Sea “α” la medida del ángulo 
mencionado 
α − (90 − α) = 
180
4
α−
 
4(2α − 90) = 180 − α 
 → α = 60º ………………………..(B) 
 
02. Sean α y θ las medidas de los ángulos 
mencionados. 
Del primer dato: 
90−α+90−θ + 180− α + 180 − θ = 230 
α + θ = 155º……………..(1) 
Del segundo dato: 
α + θ = 15º……………….(2) 
De (1) y (2): α = 85º 
Piden: Cα = 90 − α = 5º………..(E) 
 
03. 
 
 
 
 
 x − 2y 3y 
 
Del gráfico se observa un par lineal: 
→ x − 2y + 3y = 180º 
→ x + y = 180º………….(1) 
Cada uno de estos ángulos es mayor 
que “0º” 
→ x − 2y > 0 → x > 2y 
→ 2y < x ………………(2) 
Sumando (1) y (2) 
x + 3y < 180 + x → y < 60 
El máximo valor entero de “y” es 59º 
→ y = 59º……………………..(D) 
04. Del grafico tenemos: 
 A 
B θ a 
 2θ θ 
 m 
 
 C n 
 θ 
 
 x 
 
 
Se observa: m 1/2 
m∠ABC = 2θ (Prop. del serrucho) 
Como //a b
t t
 
x = 2θ (alternos internos)………(C) 
 
05. Tenemos el gráfico: 
 B 
 
 x x 
 
 
 
 75º x 
 A P C 
 
 PBC: Isósceles 
 ABC: 75 + 3x = 180 
 x = 35º …………………….(B) 
 
GEOMETRÍA 
06. Del gráfico tenemos: 
 Q 
 O 
 T 
 
 x 
 α 
 α α 
 
Dato: ∆AOB ≅ ∆AQB 
Observar que “α” es uno de los ángulos 
agudos del ∆ AQB, entonces “α” 
también debe ser uno de los ángulos 
agudos del ∆ AOB 
→ m∠ ABO = α 
* ∆ AOB: 3α = 90 
 α = 30 
* ∆ AOT: x = 90 + α 
 x = 90 + 30 = 120º……(A) 
 
07. Tenemos el gráfico: 
 
 B 
 
 α 
 E 
6 80−α 
 80−α 3 
 
 A E N F 
 3 6 3 
 
BAE ≅ ENG (ALA) 
→ GN = 3 
GNF: (45; 45) 
→ NF = 3 
Luego: EF = 6 + 3 = 9………(E) 
 
08. Tenemos el gráfico: 
 
 B 
 
 x 
 a+10 Q N 
 P 
 
 A H M C 
 0 x 
 
* ∆PBN: Isósceles: → PT = QN = X 
Teorema Bisectriz 
* NB = NM, AB = AM 
 → a + 10 = a + x → x = 10……..(B) 
 
09. Del gráfico tenemos: 
 B 
 
 60º F 
 
 6 
 E 5 D 
 
 7 60º 7 
 
 60º 60º 60º 60º 
 A M G C 
 5 7 6 
 x 
 
* ∆ MDG: Equilátero 
* AEDM: Paralelogramo → AM = 5 
* ∆ MFC: Equilátero → GC = 6 
 x = 5 + 6 + 7 = 18…………..(A) 
 
10. Dibujamos una parte: 
 
 R 
 
 Q 
 x C 
 
 M 75º 
 60º B 135º 
 
 Teoría: 
 A m∠ ABC = 135º 
 
 
 
360 = 135 + 60º + 90+ m ∠ MBQ 
→ m∠ MBQ = 75 
∆ MBO : Isósceles 
x = 52,5º…………………..(A) 
 
45º α 
α 
α 
T 
b 
θ 
GEOMETRIA INTENSIVO 2007 GEOMETRIA INTENSIVO 2007 
 
 
GEOMETRÍA 
11. 
 B 
 
 
 
 2x 
 x 
 C7 
 A R D 
 
Para la circunferencia mayor 
m AB = 4x → m ∠R = 180 − 4x (prop). 
 
Para la circunferencia menor 
m CD=2x→ m ∠CRD=180 − 2x (prop). 
 
Se observa: m ∠R + m∠ CRD = 180º 
Reemplazando: 
180 − 4x + 180 − 2x = 180º 
180 = 6x → x = 30º………………(A) 
 
12. B 
 
 
 
 M x 
 
50º 
 40º 
 A N O L 
C 
 Del gráfico: 
 m ∠ A + mMN = 90º (prop). 
 50º 
 → m MN = 40º 
 → m ∠ MIN = 20º 
 m ∠ NIL = 90 (prop.) 
 Luego: x = 20º + 90 → x = 110º….(B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
13. P 
 
 A B 40º50º 40º 
 
 x T 
 
 C 
 
 
 Unir “A” con “T” 
 m∠ATB = 90 (prop.) 
 En la circunferencia menor 
 Como m∠ATC = 90 
 → AC es diámetro 
 → m∠CAB = 90º (prop.) 
 CTA. x = 50º………………….(E) 
 
14. 
 B 
 C 
 
 
 2x x + 1 
 
 
 
 A D 
 x+5 
Como el cuadrilátero ABCD es 
circunscrito, se puede aplicar el teorema 
de PITOT: 
2x + x + 1 = x − 1 + x + 5 
3x + 1 = 2x + 4 
x = 3…………………..……………(D) 
 
15. B 
 
 146 
 
 T 
 
 73º 73º 
 A C 
 
 
 
 Como “C” es punto de tangencia. 
 → m∠BCT = 73º (∠semi inscrito) 
 m∠A = 73º (∠ inscrito) 
 ∆ ABC: Isósceles 
 Del gráfico: 
 x + 73º + 73º = 180º 
 x = 34…………………………..(D) 
 
GEOMETRÍA 
16. Tenemos el gráfico: 
 
 
 
 a b 
 4,8 
 
 
 
 10 
*ab = (10)(4,8) (propiedad) 
→ ab = 48 
→ 2ab = 96 
a2 + b2 = 102 (Pitágoras) 
Sumando las últimas ecuaciones 
(a + b)2 = 196 → a + b = 14……..(E) 
 
17. Tenemos el gráfico: 
 
 A N x B 
 5 5 
 12 
 13 13 
 
 O 
 
 
 
* Trazar ON ⊥ AB 
* ∆ ABO: Isósceles 
* ONB: Pitagórico 
→ NO = 12 
Del gráfico: 12 + x = 13 
x = 1………………………….(C) 
 
18. 25 
 A B 
 
 x 
 4 
 
 F H 
 
 D 25 C 
 
Trazar FN ⊥ AB 
→ NB = FH = 4 
 AFB : Teorema del Cateto 
x2 = (4)(25) → x = 10……….(B) 
 
19. Tenemos el gráfico 
 B 
 
 3 6 
 
 A C 
 
 5 x 
 
 D 
Propiedad: 
x2 + 32 = 52 + 62 
→ x = 2 13 ……………….(E) 
 
20. Del gráfico tenemos: 
 
 
 
 h 
 
 
 
 2 4 
 
* h2 = (2)(4) (Propiedad) 
 → h = 2 2 
( )(6) 2 2
6 2
2
A = =V ……..(D) 
N 4 
x−1 
x 
73º