BertJanssen-RelatividadGeneral-98

Vista previa del material en texto

ello. La única diferencia entre la geometrı́a diferencial que necesitaba Einstein en su teorı́a de la
relatividad general y la desarrollada por Riemann es la signatura de la métrica: donde Riemann
sólo consideraba espacios donde todas las direcciones son espaciales, Einstein se vió obligado
a trabajar con espaciotiempos, que tienen una coordenada temporal, puesto que Minkowski ya
habı́a formulado la relatividad especial en términos de un espacio plano lorentziano.
En este capı́tulo definiremos el concepto de variedad y estudiaremos sus propiedades alge-
braicas, mientras que en los siguientes dos capı́tulos introduciremos la teorı́a de Riemann sobre
curvatura. En principio trabajaremos con variedades riemannianas (con direcciones espaciales),
pero en realidad todos los resultados relevantes impotantes son directamente aplicables a espa-
cios lorentzianos.
6.2. Repaso de coordenadas curvilı́neas en RN
Antes de empezar a estudiar cambios de coordenadas en espacios arbitrarios, repasaremos
primero algo más familiar: la descripción de RN en coordenadas curvilı́neas. Ejemplos conocidos
en R3 son las coordenadas esféricas
x = r sin θ cosϕ, y = r sin θ sin ϕ, z = r cos θ. (6.1)
o las coordenadas cilı́ndricas
x = ρ cosϕ, y = ρ sin ϕ, z = z. (6.2)
Es importante darse cuenta de que, aunque en coordenadas curvilı́neas las expresiones de la
métrica y el producto escalar pueden tener un aspecto muy diferente a en coordenadas carte-
sianas, sólo estamos aplicando un cambio de coordenadas y por lo tanto todas las propiedades
geométricas del espacio aun siguen siendo las de RN .
Considaramos ahora N funciones invertibles yµ(xi) de las coordenadas cartesianas xi. El he-
cho de que las funciones yµ(xi) sean invertibles implica que a cada punto de RN se le puede
asignar un único valor de yµ y que cada valor de yµ corresponde a un solo punto de RN . Las
funciones yµ sirven por lo tanto igual de bien como coordenadas sobre RN que las coordenadas
cartesianas xi.5 La transformación
yµ = yµ(xi) (6.3)
se llama una transformación general de coordenadas. La gran diferencia entre una transformación
(6.3) y la transformación (4.5) es que en (6.3) las reglas de transformación varı́an de punto un
punto, mientras en (4.5) son las mismas para todo RN . El cambio de coordenadas (4.5) se llama
una transformación global y (6.3) una transformación local.
Igual que en el sistema cartesiano, podemos definir una base {|eµ〉} para las coordenadas
curvilı́neas. Un vector contravariante |V 〉, que en una base cartesiana {|ei〉} se descompone como
|V 〉 = V i|ei〉, tendrá en coordenadas curvilı́neas la forma |V 〉 = V µ|eµ〉, donde los |eµ〉 son los
vectores de base (no necesariamente ortogonales o normalizados). Descomponiendo los vectores
de base |eµ〉 en la base {|ei〉} obtenemos que
|eµ〉 =
∂|r〉
∂yµ
=
∂xi
∂yµ
|ei〉. (6.4)
La primera igualdad identifica los vectores de base |eµ〉 como los tangentes a las curvas de coor-
denadas yµ, mientras que la segunda igualdad relaciona los vectores de una base con la otra.
Nótese que la matriz de transformación es M iµ = ∂x
i/∂yµ.
5Para evitar confusión utilizamos ı́ndices latinos (i, j, k, ...) para las coordenadas cartesianas e ı́ndices griegos
(µ, ν, ρ, ...) para las coordenadas curvilı́neas.
98
	II Geometría Diferencial
	Variedades y cambios de coordenadas generales
	Repaso de coordenadas curvilíneas en RN