BertJanssen-RelatividadGeneral-99

Vista previa del material en texto

Por un argumento idéntico al de la sección 4, es fácil de averiguar que entonces las compo-
nentes de |V 〉 en las distintas coordenadas están relacionadas como
V µ =
∂yµ
∂xi
V i. (6.5)
Obsérvese que las reglas de transformación entre la base cartesiana y la curvilı́nea dependen del
punto p en RN en que se haga la transformación, debido al carácter local de la transformación
(6.3). Esto implica que, en contraste con el sistema cartesiano, una dirección |eµ〉 varı́a de punto en
punto. Por ejemplo, la dirección radial |er〉 en coordenadas polares es distinta en puntos distintos.
Esto tendrá consecuencias importantes, como veremos más adelante.
También los vectores covariantes se pueden descomponer en una base de coordenadas cur-
vilı́neas 〈W | = Wµ〈eµ|, donde los vectores de la base dual actúan sobre los vectores de la base
{|eµ〉} como
〈eµ|eν〉 = δµν (6.6)
Para mantener esta relación bajo cambios de coordenadas es preciso que los vectores de la base
dual y las componentes de los vectores covariantes transformen como
〈eµ| = ∂y
µ
∂xi
〈ei|, Vµ =
∂xi
∂yµ
Vi. (6.7)
A través de las reglas de transformación (6.4) y (6.7) podemos encontrar una expresión para la
métrica en coordenadas curvilı́neas. Aplicando los cambios de coordenadas a (4.21) obtenemos
que
∂yµ
∂xi
|eµ〉 = δij
∂xj
∂yν
〈eν |, (6.8)
y multiplicando esta ecuación con ∂xi/∂yρ encontramos que
|eρ〉 = δij
∂xi
∂yρ
∂xj
∂yν
〈eν |. (6.9)
Comparando esta relación con (4.21) sugiere que interpretemos los factores delante de 〈eρ| como
la métrica de RN en coordenadas curvilı́neas:
gµν =
∂xi
∂yµ
∂xj
∂yν
δij . (6.10)
Obsérvese que esta relación también nos da directamente las reglas de transformación entre la
forma de la métrica en coordenadas cartesianas y curvilı́neas. Es un ejercicio instructivo compro-
bar que una manera alternativa de encontrar la forma de la métrica en coordenadas curvilı́neas
es la equivalente de (4.29), es decir tomando el producto escalar entre los vectores |eµ〉:
gµν = |eµ〉 · |eν〉. (6.11)
Por ejemplo, un pequeño ejercicio muestra que la métrica de R3 en coordenadas cilı́ndricas y
esféricas viene dada por
ds2cil = dρ
2 + ρ2dϕ2 + dz2,
ds2esf = dr
2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdϕ2. (6.12)
Es importante darse cuenta de que, aunque la expresión de la métrica en coordenadas curvilı́neas
es muy distinta a la de en coordenadas cartesianas, sólo hemos hecho un cambio de coordena-
das. El espacio que describe gµν es todavia R
N con las mismas propiedades geométricas que en
coordenadas cartesianas. Un cambio de coordenadas sólo es una manera distinta de etiquetar los
puntos de un espacio y nunca puede cambiar las propiedades geométricas de éste.
99