Razones trigonométricas de ángulo agudo I

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TRIGONOMETRÍA 2021 
Razones trigonométricas 
de ángulo agudo I
Trigonometría
LONGITUD DE ARCO Y ÁREA DE UN SECTOR CIRCULAR
O
A
B
Se Cumple que :
𝑳 = 𝜽 ∙ 𝑹
0 < 𝜃 ≤ 2𝜋
Donde:
𝐿: longitud de arco AB
𝜃:número de radianes del ángulo central 
AOB
R: longitud del radio de la circunferencia
𝜽rad R
O
A
B
R
𝑆
Se Cumple que :
𝑺 =
𝟏
𝟐
𝜽 ∙ 𝑹𝟐
Donde:
S: área del sector circular AOB
R
R
L𝟏L𝟐
𝑺 =
𝑳 ∙ 𝑹
𝟐 𝑺 =
𝑳𝟐
𝟐𝜽
𝜽 =
L𝟏 − L𝟐
𝒉
Área del trapecio 
circular ACDB
𝑨 =
𝟏
𝟐
L𝟏 + L𝟐 ∙ 𝒉
L
𝜽rad
rad
reto
Se traza una circunferencia que
tiene como diámetro uno de los
lados de un triángulo equilátero
de lado 𝒂. La longitud de la parte
de la circunferencia que queda
dentro del triángulo es:
Reto 
Un terreno tiene la forma de un 
sector circular y su perímetro 
mide 1500m ¿Cuál es la medida 
del radio (en m) del sector 
circular, sabiendo que el área de 
este es la mayor?
Resolución
A) 
𝑎𝜋
6
B) 
𝑎𝜋
3
C) 
𝑎𝜋
3+1
D) 
𝑎𝜋
2
E) 
𝑎𝜋
2+1
A) 175 B) 225 C) 275
D) 375 E) 475
A B
C
P Q
O
Piden: 𝐿෢𝑃𝑄
60° 60°
𝑎
2
𝑎
2
𝑎
2
𝑎
2
60°
Tener en cuenta: 60° =
𝜋
3
𝑟𝑎𝑑
Luego: 
𝐿෢𝑃𝑄 =
𝜋
3
∙
𝑎
2
=
𝑎𝜋
6
Clave: A
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO
Se define
Teorema de Pitágoras
AB
C
a
b
c
α
𝐜𝟐 = 𝐚𝟐 + 𝐛𝟐
Triángulo rectángulo 
𝐬𝐞𝐧𝛂 ∙ 𝐜𝐬𝐜𝛂 = 𝟏
𝐜𝐨𝐬𝛂 ∙ 𝐬𝐞𝐜𝛂 = 𝟏
𝐭𝐚𝐧𝛂 ∙ 𝐜𝐨𝐭𝛂 = 𝟏
RAZONES 
TRIGONOMÉTRICAS 
RECÍPROCAS
𝐬𝐞𝐧𝛂 =
𝐂.𝐎
𝐇
=
𝐚
𝐛
𝐜𝐨𝐬𝛂 =
𝐂. 𝐀
𝐇
=
𝐜
𝐛
𝐭𝐚𝐧𝛂 =
𝐂. 𝐎
𝐂. 𝐀
=
𝐚
𝐜
𝐜𝐬𝐜𝛂 =
𝐇
𝑪.𝑶
=
𝐛
𝐚
𝐬𝐞𝐜𝛂 =
𝑯
𝐂. 𝐀
=
𝒃
𝒄
𝐭𝐚𝐧𝛂 =
𝐂. 𝑨
𝐂. 𝑶
=
𝒄
𝒂
Para el ángulo 𝛼
𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐎𝐩𝐮𝐞𝐬𝐭𝐨 = 𝐚
𝐂𝐚𝐭𝐞𝐭𝐨 𝐀𝐝𝐲𝐚𝐜𝐞𝐧𝐭𝐞 = 𝐛
𝐇𝐢𝐩𝐨𝐭𝐞𝐧𝐮𝐬𝐚 = 𝐜
AB
C
a b
c
α θ
α + θ = 90o, si y solo si
𝐬𝐞𝐧𝛉 = 𝐜𝐨𝐬𝛂
𝐭𝐚𝐧𝛉 = 𝐜𝐨𝐭𝛂
𝐬𝐞𝐜𝛉 = 𝐜𝐬𝐜𝛂
Para ángulos agudos 𝐗 e 𝐘
si:
𝑿 = 𝒀
𝐬𝐞𝐧 𝐗 ∙ 𝐜𝐬𝐜 𝐘 = 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝐗 ∙ 𝐬𝐞𝐜 𝐘 = 𝟏
𝐭𝐚𝐧 𝐗 ∙ 𝐜𝐨𝐭 𝐘 = 𝟏
Aplicación 
Si 3𝑥 − 2𝑦; 𝑥 + 𝑦 son ángulos agudos
sen 3𝑥 − 2𝑦 ∙ sec 𝑥 + 𝑦 = 1
Calcule
𝑅 =
tan 3𝑥 + 2𝑦
cot 𝑥 − 3𝑦
+ sen 2𝑥 − 𝑦 sec 2𝑥
Resolución
En el dato: 
sen 3𝑥 − 2𝑦 ∙ 𝐬𝐞𝐜 𝒙 + 𝒚 = 1
𝐜𝐬𝐜 𝟗𝟎° − 𝒙 − 𝒚 Por complemen-
tarios
Por propiedad de recíprocas
3𝑥 − 2𝑦 = 90° − 𝑥 − 𝑦
4𝑥 − 𝑦 = 90°
𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒙 − 𝟑𝒚 = 𝟗𝟎°… (I)
𝟐𝒙 − 𝒚 + 𝟐𝒙 = 𝟗𝟎°…(II)
O también
De (I)
tan 3𝑥 + 2𝑦 = cot 𝑥 − 3𝑦
De (II)
sen 2𝑥 − 𝑦 = cos 2𝑥
Luego:
𝑅 = 1 + cos 2𝑥 ∙ sec 2𝑥
1
∴ 𝑹 = 𝟐
Propiedad de recíprocas
Propiedad de complementarios
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULOS NOTABLES
30O
60O
45O
45O
k
2k
k 3
k
k
k 2
Triángulo aproximado
37°
53°
3k
5k
4𝑘
Resolución
Aplicación 
En la figura mostrada AOB es un 
sector circular, m∡𝐴𝑂𝐵 = 90° y 
𝑀𝑄 = 2(𝐴𝑀). Calcule el valor 
aproximado de tan 𝜃
37°
A
BO
37°
𝜃
M
Q
A
M
BO
37°
𝜃
Q
Trazamos perpendiculares 
desde M
Del dato; consideramos: 𝐴𝑀 = 5
Entonces: 𝑀𝑄 = 10
5
10
3
4
N 6
8
El radio del cuadrante AOB es: 12
8
3
9
En el triángulo rectángulo MNB
∴ 𝐭𝐚𝐧𝜽 =
𝟖
𝟗
A) 15,52 B) 16,35 C) 17,40
D) 18,53 E) 19,23
Reto 
En la figura mostrada r mide 3cm. 
Determine el valor aproximado del 
área sombreada en cm2
RETO I
En la figura mostrada, M, N y P
son puntos de tangencia de la
circunferencia inscrita en el
sector circular AOB. Si
𝑚∡𝑂𝑃𝑁 = θrad , entonces el
valor de cot θ es:
A) 2 − 1 B) 2 2 − 1
C) 2 2 D) 2 + 1
E) 2 + 2
Resolución
O B
A
P
N
M
𝜽
Piden: cot 𝜃
O’
O’: centro de la circunferencia
Consideramos radio de la 
circunferencia igual a: 2
2
1
1
2
1
En el triángulo, rectángulo 
sombreado:
∴ 𝐜𝐨𝐭𝜽 = 𝟐 + 𝟏 Clave: D
O’MON: es un cuadrado