Razones trigonométricas de un Angulo agudo

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LEAA 1 
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 
DE UN ÁNGULO AGUDO 
 
RAZÓN: 
Es el resultado de comparar dos cantidades, 
mediante el cociente de ellas. Por ejemplo la 
razón de m y n es 
m
n
. 
 
RAZÓN TRIGONOMÉTRICA 
Se denomina razón trigonométrica a la 
relación que se establece entre las medidas de 
los lados de un triángulo rectángulo respecto 
a uno de sus ángulos agudos. 
Las razones trigonométricas en total son seis 
y estas son: 
Seno : sen 
Coseno : cos 
Tangente : tan, tg 
Cotangente : cot, ctg 
Secante : sec 
Cosecante : csc, cosec 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideramos 
C.O. : cateto opuesto 
C.A. : cateto adyacente 
 H : hipotenusa. 
razón definición 
Seno 
H
.O.C
 
c
a
Sen = 
Coseno 
H
.A.C
 
c
b
Cos = 
Tangente 
.A.C
.O.C
 
b
a
Tan = 
Cotangente 
.O.C
.A.C
 
a
b
Cot = 
Secante 
.A.C
H
 
b
c
Sec = 
Cosecante 
.O.C
H
 
a
c
Csc = 
OBS: Si  es la medida de un ángulo agudo 
se cumple: 
0 Sen 1  0 Cos 1  
0 Tan  + 0 Cot  + 
1 Sec  + 1 Csc  + 
RAZONES TRIGONOMETRICAS 
RECIPROCAS 
Dos razones trigonométricas son reciprocas si 
el producto de ellos resulta la unidad. 
 
 
 
 
 
 
 
=











1
a
c
c
a
 1CscSen = 
=











1
b
c
c
b
 1SecCos = 
=











1
a
b
b
a
 1CotTan = 
 
 
 
 
 
A 
B 
C 
a 
b 
c 
 A 
B 
C 
a 
b 
c 
 
 
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 2 
OBSERVACIÓN: 
Si x<90º, y<90º 
 1yCscxSen = 
1ySecxCos = yx = 
1yCotxTan = 
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 
ANGULOS COMPLEMENTARIOS 
Calculemos la R.T. de  y  en el triángulo 
rectángulo mostrado: 
 +  = 90º 
 
 
 
 
 
 
c
a
Sen = 
c
b
Sen = 
c
b
Cos = 
c
a
Cos = 
b
a
Tan = 
a
b
Tan = 
a
b
Cot = 
b
a
Cot = 
b
c
Sec = 
a
c
Sec = 
a
c
Csc = 
b
c
Csc = 
EN GENERAL: R.T.( ) CO R.T.(90 ) = − − 
Donde: 
R.T. Co R.T. 
Seno Coseno 
Coseno Seno 
Tangente Cotangente 
Cotangente Tangente 
Secante Cosecante 
Cosecante Secante 
OBSERVACIÓN: 
Si x<90º, y<90º 
 yCosxSen = 
 yCotxTan = º90yx =+ 
 yCscxSec = 
 
 
 
RAZONES TRIGONOMETRICAS DE 
ÁNGULOS DE 45º, 30º, 60º, 37º Y 53º 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al hallar las razones de los ángulos notables y 
aproximados, se obtiene: 
 
EJERCICIOS 
1) De la figura, calcule " Cos " 
A) 
6
6
 
B) 
6
5
 
C) 
6
3
 
D) 
6
4
 
2) De la figura, calcule el valor de: 
Csc 2Csc + 
 
A) 3 
B) 4 
C) 5 
D) 6 
E) 7 
 
3) Siendo "" un ángulo agudo y: 
sec sen csc sen30º  = + 
Calcular el valor de la expresión: 
E 5(csc ctg ) = − 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
A 
B 
C 
a 
b 
c 
 
 
 Si: º90=+ 
 = CosSen 
 = CotTan 
 = CscSec 
30º 
60º 2K 
 K 
K 3 
45º 
45º 
K 2 
K 
K 
37º 
53º 5K 
3K 
4K 
 
1 
3 
11 
7 
  
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 3 
 
4) Sea un triángulo rectángulo ABC, recto 
en C, tal que AB=c, BC=a y AC=b, para 
el cual se cumple: 
2a b
Sen A Sen B
c
−
= + 
Calcule el valor de: 
2E Sec A Ctg B= + 
A) 1 B) 3 C) 5 
D) 7 E) 9 
 
5) En un triángulo rectángulo ABC, recto 
en "C" se cumple que: 
3Sen ASen B 1= 
Calcule el valor de: Tg A Tg B+ 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 
1
3
 E) 
1
9
 
6) Si: ( )Tg a b Ctg 74º 1+  =
 ( )Cos a b Sec 26º 1−  = 
Calcular: ( ) ( )Sen a 3º Sen b 6º+ + 
A) 
5
2
 B) 
2
5
 C) 1 
D) 2 E) 4 
 
7) Si Sec Csc 2 = , hallar el valor de: 
( )E Tg Sec 330º 3 6
2

  
 
= + + − − 
 
 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
8) En un triángulo acutángulo ABC se 
traza la altura BH . Si AB 9= , 
BC 7= y AH 3HC= . Calcule el valor 
de: Sec A SecC+ 
A) 3 B) 4 C) 5 
D) 6 E) 7 
 
9) El perímetro de un triángulo rectángulo 
es 112 cm. Si el coseno de uno de los 
ángulos es 0,96, ¿cuál es el valor de del 
cateto mayor? 
a) 50 cm b) 48 cm c) 24 cm 
d) 25 cm e) 14 cm 
 
10) En un triángulo rectángulo ABC, recto 
en A se cumple que 
2
Cos B CosC
4
 = . Hallar la longitud 
de la altura relativa a la hipotenusa BC , 
sabiendo que ésta mide 4 2 . 
A) 1 B) 2 C) 3 
D) 4 E) 5 
11) Si: ( ) ( )º ºTg 2a b Ctg 60 b 1+  − = . 
Calcular: 
 ( )
( )
( )
2
ºSen 3b
ºCsc a b
ºCos 3a
+ + 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
12) Siendo: 
15
Sen
17
 = y "" es un ángulo 
agudo. Calcule el valor de: "x" en la 
igualdad: 
x Cos 7 x Sen + = 
a) 9 b) 8 c) 13 
d) 15 e) 17 
 
13) Calcule el valor de "x" en la igualdad: 
2xSen 45º Sec 45º Tg37º x Csc 45º=  − 
a) 1 b) 2 c) 2 
d) 
1
2
 e) 
2
2
 
 
14) De la figura, hallar: Ctg Tg − 
 
A) 0 
B) 1 
C) 2 
D) 1/2 
E) 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 4 
 
15) (UNSAAC 2015-I) Si 
5x 96 1
cot
4x2
cot
3
−  
= 
  
 
 
, entonces el 
valor de x es: 
A) 45° B) 30° C) 35° 
D) 36° E) 40° 
16) (CEPRU 2014-I) En la figura, 
AM MN NB= = y BC 4 3= . El 
valor de la expresión E 3tan .cot=   , 
es: 
 
 
 
 
 
 
A) 3 B) 4 C) 1 
D) 2 E) 5 
17) (CEPRU 2014-II) Dado 
sen30
cos
2 cos 45 tan 37

 =
+ 
, el valor 
de S 45(csc cot )= −  es: 
A) 5 3 B) 5 2 C) 4 
D) 9 5 E) 5 
18) (CEPRU 2014-I) Sea 90+=  , al 
simplificar 
2 2msec n csc m sen n cos
sec(90 ) msen n cos
+  − 
+
− + 
 
resulta: 
A) 2n B) m n+ C) 2m 
D) m n− E) m 
19) (UNSAAC 2013-I) De la figura: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si AD DB= , entonces el valor de 
cos .cos
E
sen
 
=

 
A) 1/2 B) 2/3 C) 1 
D) 3/2 E) 2 
20) (UNSAAC 2013-II) En la circunferencia 
de centro O y radio R de la figura, AB y 
CD son diámetros perpendiculares 
entre sí, la medida del ángulo EAO es  
y E es el centro de la circunferencia 
menor. El valor de cot es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 2 2+ B) 2 2− C) 2 1− 
D) 2 1+ E) 3 2+ 
 
21) (UNSAAC 2014-I) Si, 
sen(45º x).sec(6x 20º ) tan 51º.cot 51º 2− + + =
entonces el valor de x, es: 
A) 10º B) 3º C) 7º 
D) 5º E) 6º 
 
 
 
22) Dado un triángulo ABC (recto en C), 
donde se cumple que: 
1 SenA Tg B 2SenA+ = 
Calcule: SecB + TgB 
a) 4 b) 2 c) 3 d) 1/2 
 e) 1/3 
23) Siendo X e Y ángulos agudos los cuales 
cumplen: 

O
A B
C
D
E
A


B C
D

 
30º
NMA B
C
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 5 
( ) ( )Cos 4x y Sec 3x 2y 1
Tg x Tg y 1
Calcule : Tgx Tgy
+ + =
=
+
 
a) 4 b) 5 c) 2 d) 3
 e) 1/2 
24) El menor valor positivo del ángulo  que 
satisface la igualdad. 
( ) ( )Tg 30 Ctg 30 3 es :  − =  + 
a) 30° b) 15° c) 45°
 d) 60° e) 105° 
25) Considerando que: 
Seca Csc 2b, Calcular= 
( )
a
K Tg b Sec 330 3a 6b
2
 
= + +  − − 
 
 
a) 1 b) 2 c)3 d)4
 e) 5 
26) En un triángulo ABC recto en C, 
calcular: 
( )2P Sen A Cos B Cos A Csc B= − − 
a) –1 b) 0 c) 1 d) a e) b 
27) Si: AB BC= y además: Ctg 2,4 = ; 
calcular: Tg . 
 
a) 1/3 
b) 5/4 
c) 2/3 
d) 7/9 
e) 3/4 
 
 
 
 
 
28) Se tiene que la secante de un ángulo 
agudo es 
13
3
. Calcule la tangente del 
complemento de dicho ángulo. 
a) 
1
2
 b) 
3
2
 c) 
2
2
 d) 
3
2
 e) 
4
3
 
 
 
 
29) Se tiene un rectángulo ABCD, M y P 
son puntos de los lados AB y BC 
respectivamente, tal que AM = PC , 
MB = 3 AM , BP = 2 PC y 
m( MPD) =  . El valor de tan  , 
es: 
A) 
11
10
 B) 
11
12
 C) 
9
10
 
D) 
13
10
 E) 
9
13
 
 
30) Se tiene un triángulo rectángulo ACB, 
recto en C y D es un punto del lado AB 
, tal que AC = DB , m( ACD) = 
45°, m( CAB) =  y m( ABC) = 
 . Calcular el valor de la expresión: 
sen sen
tan
 

+
 . 
A) 1 B) 2 C) 0D) 3 E) -1 
31) En un triángulo ABC (recto en C), de 
hipotenusa igual a 24cm, determinar el 
área de dicho triángulo, si se conoce 
además que: 
3
senAsenB
8
= 
A) 27cm B) 54cm C) 108cm 
D) 216cm E) 124cm 
 
32) (CEPRU 2014-INT) La figura es un 
cubo, si Q es el centro de la cara 
superior, entonces el valor de 
5 tan 6 sec+  , es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A) 11 B) 8 C) 6 
D) 10 E) 4 

Q


A
B
C
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 6 
 
33) (CEPRU 2012-II) Si cos3x.csc 2y 1= , 
determinar: 
2 23x 2y 3x 2yQ tan sec
2 3
+ +   
= +   
   
 
A) 
5
3
 B) 
7
3
 C) 
3
5
 
D) 
4
5
 E) 
2
3
 
 
34) (UNSAAC 2014-II) En el triángulo 
rectángulo: 
 
 
 
 
 
 
 
El valor de la expresión 
M 5 cos cot= +  , es: 
A) 3 5 B) 4 C) 5 
D) 5 E) 6 
 
 
 
35) De la figura si AB=CD, calcular: 
cosθ senβ
E
cosβ senθ
−
=
−
 
a) 1 
b) 
2
5
 
c) 2 
d) 
1
2
 
e) 
3
2
 
36) Si el cuadrado de la suma del cateto “a” 
y la hipotenusa “b” del triángulo 
rectángulo recto en B, es igual a 9 veces 
su producto. Hallar senA + cscA 
a) 5 b) 6 c) 7 
d) 8 e) 9 
 
37) Del gráfico, hallar el valor de Tg x . 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
3
3
 b) 
2
2
 c) 
1
2
 
d) 
3
5
 e) 
1
5
 
38) En un rectángulo ABCD se traza la 
diagonal AC y DH perpendicular a 
AC . Si m CAD = , 
5
Tg
12
 = y 
DH 10= . Hallar el valor de CD. 
a) 24 b) 26 c) 25 
d) 
65
2
 e) 
65
6
 
39) En una circunferencia con centro en O se 
traza la cuerda AB de longitud 4m . 
Halle la tangente del ángulo OBA, si el 
radio de dicha circunferencia es de 6m . 
a) 
6
6
 b) 
2
2
 c) 
1
2
 
d) 2 e) 2 2 
40) Del gráfico adjunto, calcule 
Sen (x 37 )−  , siendo AB = 5 y 
8 3
BC
3
= 
 
 
 
 
 
 
 
a) 
1
3
 b) 
3
2
 c) 
1
2
 d) 
2 3
5
e) 
2
2
 
x 30º
A C
M
B
A 
B 
C 
53° 
x 
A D E 
B 
C 
2 
1 
  
β 

x 1−
x 1+
2 5
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 7 
 
41) En un triángulo rectángulo ABC (recto 
en A) se sabe que: Tg C 40/9= . Si 
además: a c 21− = . Calcular el 
perímetro del triángulo. 
a) 70 b) 80 c) 90 d) 120 e) 150 
 
42) En un triángulo ABC (recto en B) se sabe 
que: c a 7− = , Tg A 0,416= . 
Calcular el perímetro del triángulo 
rectángulo. 
a) 15 b) 25 c) 30 d) 45 e) 40 
 
43) Si se sabe que: 
0,88Tg x 32= (x es un 
ángulo agudo); encontrar el valor de: 
J 2Cosx Sen x= − 
a) 0,4 b) 0,2 c) 1 d) 2 e) 0 
 
44) Si se sabe que: ( )
2
27Sen x 1/3
−
= ; 
calcular el valor de: 
( )E 2 Sec Tg = − 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
45) Determine la mayor razón 
trigonométrica de uno de los ángulos del 
triángulo rectángulo si sus catetos son: 
( )n 1− y 
2n 1− , y su hipotenusa es 
"n". 
a) 
2
4
 b) 
5
3
 c) 
5
2
 d) 3 e) 2 
 
46) En un triángulo rectángulo ABC, la 
hipotenusa mide 18u y el seno del 
ángulo "C" es 2/3. Se traza la altura BH 
relativa a la hipotenusa; calcular la 
medida del segmento AH. 
a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 
 
47) Si se tiene que: 
Sen (2a + b)º = Cos(3a - b)º. 
Calcule el valor de: Tag(2a + 9)º + Sec(3a + 
6)º 
a) 1 b) 2 c) 3 
d) 4 e) 5 
 
48) Si: Sen(a+b)º = Cos(a–b)º y 
Tag(2a - b).Ctg(a+2b) = 1. 
Calcule el valor de: Tag2 (a + b)º + Csc(a - 
b)º 
a) 5 b) 4 c) 3 
d) 2 e) 1 
 
49) De la igualdad: 
Sen(2a + b )º = Cos(a + 2b)º 
Calcule el valor de: 
2sen3aº +csc (a+b)º
cos3bº
 
a) 5 b) 4 c) 3 
d) 2 e) 1 
 
50) La hipotenusa de un triángulo 
rectángulo mide 40m. si  es uno de los 
ángulos agudos y tag = 3 / 4. Hallar 
su perímetro. 
a) 98m. b) 86m. c) 96m. 
d) 94m. e) 104m. 
 
51) Si en un triángulo rectángulo el 
cuadrado de la hipotenusa es igual a los 
5/2 del producto de los catetos, hallar la 
tangente del mayor de los ángulos 
agudos de dicho triángulo. 
a) 5 b) 4 c) 2 
d) 2/3 e) 1 
 
52) En un triángulo rectángulo se cumple 
que la tangente de uno de los ángulos 
agudos es el cuádruplo de la tangente del 
otro. Hallar la cosecante del menor de 
dichos ángulos. 
a) 4 b) 2 c) 3 
d) 2 5 e) 5 
 
53) Siendo X i Y ángulos agudos que 
cumplen: 
( ) ( )
( ) ( )
( )
Cos 2x 10 Sec 6y 10 1
Sen x 2y Cos 3x y 20
CalculeSen 2x 2y
+  −  =
+ = + − 
+
 
a) 
3
5
 b) 
2
2
 c) 
3
2
 d) 
4
5
 e) 
1
2
 
TRIGONOMETRÍA EJERCICIOS 
LEAA 8