Cinemática

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CINEMÁTICA
I. Concepto
* Estudia el movimiento mecánico de los cuerpos sin 
tomar en cuenta las causas que lo originan y/o modifican
* Examinemos:
· Para la joven A, el bloque se encuentra 
en reposo
· Para el joven B, el bloque se encuentra 
en movimiento
⇒ Si un cuerpo está o no en movimiento mecánico, 
dependerá del Sistema de Referencia (S.R.) o Marco 
de Referencia u Observador
* El S.R. puede encontrarse en reposo o en movimiento
* El S.R. puede ser cualquier objeto o cuerpo desde el cual 
se hará estudios del movimiento mecánico
* El S.R. puede utilizar en forma opcional un sistema de 
coordenadas; como por ejemplo al plano cartesiano
II. Elementos
1. Móvil
* Es la partícula que desarrolla movimiento mecánico; 
específicamente desarrolla un movimiento de traslación
El balón
* Por ejemplo:
El buque
2. Trayectoria
* Es la unión de todos los puntos por donde paso el 
móvil o partícula
* Por ejemplo:
3. Longitud Recorrida (l)
* Es la longitud de la trayectoria
* Depende del S.R.
4. Desplazamiento
* Es una cantidad vectorial que mide el cambio de posición 
que experimenta la partícula
* Veamos:
inicialfinal rrrd


Donde:
* Depende del S.R.
* Si el S.R. está definido, el desplazamiento es indiferente 
a la trayectoria 
* Depende del S.R.
* Es el módulo del desplazamiento
5. Distancia (d)
* Tener en cuenta:
Donde:
ld 
6. Intervalo de tiempo (Δt)
* Es la duración del evento físico
* Se define:
0ttt f 
Instante
Final
Instante 
Inicial
III. Cantidades Cinemáticas
1. Velocidad Media
* Mide la rapidez de cambio de posición de las partículas en su 
movimiento mecánico
* Veamos:
t
r
t
d
Vm





 Unidad: m/s
· Se define:
· Donde: ↗↗ mV

r


* A su magnitud se le denomina 
módulo de la velocidad media (Vm) t
d
Vm


Unidad: 
m/s
* En cambio la rapidez media se 
determina de la siguiente manera: t
l
Vm


~ Unidad: 
m/s
* Depende del S.R.
2. Velocidad Instantánea o Velocidad
* Se define:
dt
rd
t
r
LimV
t










 0
Unidad: 
m/s
* Es tangente a la trayectoria
* A su módulo se le denomina rapidez
3. Aceleración Media
* Mide la rapidez de cambio de velocidad de 
las partículas en su movimiento mecánico
* Veamos:
· Se define:
t
VV
t
V
a
f
m






0

 Unidad: 
m/s2
· Donde: ↗↗ ma

V


4. Aceleración Instantánea o Aceleración
* Se define:
dt
Vd
t
V
Lima
t











 0
Unidad: m/s2
* Si la aceleración es 
constante, se cumple:
2
0 f
m
VV
V

 

* En toda trayectoria curva, en excepción 
en el punto de inflexión de la curva, las 
partículas presentarán una aceleración 
instantánea
* La aceleración instantánea apunta hacia 
la concavidad
IV. Preguntas
01. Determine si las proposiciones son verdaderas 
(V) o falsas (F). (CEPRE 2019-II)
I. El movimiento es el cambio de posición de una 
partícula respecto a un cuerpo.
II. Todo cuerpo desde donde se analiza el 
movimiento se denomina sistema de referencia.
III. El desplazamiento es una cantidad física 
vectorial que nos indica el cambio de posición de 
una partícula.
Rpta. 
I. VERDADERA
II. VERDADERA
III. VERDADERA
02. Con respecto a una partícula en movimiento, determine las 
proposiciones verdaderas (V) o falsas (F) y marque la 
alternativa correspondiente. (CEPRE 2019-I)
I. La trayectoria del movimiento de una partícula no depende 
del sistema de referencia.
II. El sistema de referencia es el lugar desde el cual se observa 
el fenómeno físico.
III. La rapidez media en un intervalo de tiempo Δt es igual a la 
magnitud del desplazamiento por Δt
Rpta. 
I. FALSA
Ya que si depende del 
Sistema de Referencia; 
por ejemplo:
II. FALSA
Ya que el Sistema de Referencia es el observador 
que analiza el fenómeno físico
III. FALSA
Ya que la rapidez media se define:
t
l
Vm


~
03. Dada las siguientes proposiciones, indique las 
correctas:
I. La velocidad media es paralela al desplazamiento.
II. Si la magnitud de la velocidad media es constante 
para todo intervalo de tiempo entonces es tangente 
a la trayectoria.
III. La aceleración instantánea es siempre 
perpendicular a la velocidad instantánea.
Rpta. 
I. CORRECTA
II. INCORRECTA
Ya que el desplazamiento al no ser necesariamente 
tangente a la trayectoria, la velocidad media no 
necesariamente será tangente a la trayectoria 
III. INCORRECTA
Ya que la velocidad y la aceleración pueden formar 
cualquier ángulo
V. Problemas
05. Una mariposa vuela desde el 
punto O hasta el punto P (punto 
medio del lado) tardando 5 s en 
llegar. Si el lado del cubo tiene 
una longitud de 10 m. Determine 
su velocidad media, en m/s.
Solución: 
* A partir del enunciado y gráfico:
* Piden la mV

∙ En lo pedido:
t
r
Vm




5
ˆ10ˆ10ˆ5 kji
Vm



smkjiVm / )ˆ2ˆ2ˆ( 

07. Un ciclista lleva una rapidez constante de 15 m/s; pero 
debido a un obstáculo, cambia de dirección en 74°
moviendo su timón, maniobra que dura 3 s. ¿Qué magnitud 
de aceleración media, en m/s2, experimenta el ciclista?
08. Hallar el módulo de la 
aceleración media, en 
m/s2, si el tiempo de 
contacto entre la pelotita 
y la pared fue 3 s.Solución: 
* A partir del 
enunciado:
* Piden la am
∙ Recordar:
t
VV
t
V
a
f
m






0


∙ Ahora: Donde:
)2/74(2  VsenV
)37()15.(2  senV
smV / 18
Con ello:
3
18




t
V
am
2/ 6 smam 
Solución: 
* A partir del enunciado:
* Piden la am
∙ Recordar:
t
VV
t
V
a
f
m






0


∙ Ahora: Donde:
)2/74(2  VsenV
)37()10.(2  senV
smV / 12
Con ello:
3
12




t
V
am
2/ 4 smam 
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (M.R.U.)
I. Concepto
* La velocidad permanece constante
cteVVmedia  ainstantáne

* Ecuación:
tVd  .
∙ En módulo:
tVr  .

∙ En forma vectorial:
tPDd  .. tPDr  .. 

II. Gráficas
1. Gráfica Velocidad vs tiempo
* Veamos:
· Donde: 21 AAr 

21 AAl 
t
r
Vm




Velocidad Media
· Además:
Recorrido
t
l
Vm


~
Rapidez Media
* Es un movimiento unidimensional
2. Gráfica Posición vs tiempo
* Veamos:
Ecuación:
tVxx .0


Intercepto Pendiente
III. Problemas
10. Una partícula posee MRU y su velocidad es de (12î +16ĵ) m/s. Si en el 
instante t = 10 s se encuentra en la posición (99î+120ĵ) m, halle la 
posición donde se inicia su movimiento. 
Solución: 
* A partir del enunciado:
* Piden 0r

∙ Del gráfico:
rrrf

 0
tVrrf  .0

)10).(ˆ16ˆ12(ˆ120ˆ99 0 jirji 

jirji ˆ160ˆ120ˆ120ˆ99 0 

mjir )ˆ40ˆ21(0 

tVtrstr  .)0()10(

12. Si el tren de longitud L que se desplaza con rapidez constante de 
40 m/s se demora 5 s en cruzar completamente el puente de 20 m 
de longitud a partir de la posición mostrada. Hallar "L" en m
14. Una partícula se mueve a lo largo del 
eje x y su velocidad varía de la forma 
indicada en el gráfico. Calcule la velocidad 
media de la partícula, en m/s, y su rapidez 
media en el intervalo de t = 0 s y t = 10 s.
Solución: 
* A partir del gráfico:
* Piden la mm VV
~
y 

t
AA
t
r
Vm





 21

10
1660
mV

smiVm / ˆ4,4

t
AA
t
l
Vm




 21
~
10
1660~ 
mV
smVm / 6,7
Solución: * Piden L
* A partir del enunciado:
∙ Del gráfico: tVd  .
)5).(40(20 L mL 180
16. En la figura, se muestra la intersección 
de dos calles perpendiculares donde Aníbal 
y Rufino se encuentran. Aníbal parte 
primero con una rapidez constante de 4 
m/s y 20 s después parte Rufino con una 
rapidez de 6 m/s. Si ellos conversan usando 
dos walkie talkies (intercomunicadores) 
que tienen un alcance máximo de 200 m. 
Calcule el intervalo de tiempo (en s) en que 
se mantiene la conversación, desde la 
partida de Rufino. (CEPRE 2019-II)
Solución: * Piden t
* A partir del enunciado:
∙ Del gráfico:
222 200)480()6(  tt
40000)166406400(36 22  ttt
03360064052 2  tt
0840016013 2  tt
st 20
18. La gráfica mostrada representa los 
cambios de posición de 2 autos“A” y 
“B”. Determinar la distancia, en m, que 
los separa para el tiempo t = 9 s.
Solución: * Piden dsep.
* A partir del enunciado:
* Para la partícula A:
tVxx AA .0


txA .
3
30
20 






txA 1020
∙ Para t = 9 s:
)9.(1020Ax
mxA 70
* Para la partícula B:
tVxx BB .0


txB .
6
20
20 




 

txB
3
10
20
∙ Para t = 9 s:
)9.(
3
10
20Bx
mxB 10
* En lo pedido:
BAsep xxd .
)10(70. sepd
mdsep 80. 
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE 
VARIADO (M.R.U.V.)
I. Concepto
* La aceleración permanece constante
cteaamedia  ainstantáne

* Es un movimiento unidimensional
* Ecuaciones:
t
VV
r
f







 
 .
2
0


taVV f  .0

· Recordar:







2
.
0 f
m
m
VV
V
tVr 


t
VV
a
f



0















 

taVV
t
VV
r
f
f
.
.
2
0
0



2
0 .
2
1
. tatVr 

· Además:








taVV
t
r
VV
f
f
.
.2
0
0


raVV f

 220
2
· Por último:
raVV f

 220
2
· Se concluye: t
VV
r
f







 
 .
2
0

 2
0 .
2
1
. tatVr 

taVV f  .0

tDPV  

* Tener en cuenta:
Movimiento Acelerado Movimiento Desacelerado
* Sabías que:
1ER Evento: Movimiento Acelerado 2DO Evento: Movimiento Retardado
∙ Al partir del reposo, en el 1er segundo la partícula 
recorre la mitad del valor de la aceleración
· Además; por cada 1s, los recorridos aumentan en 
el valor de la aceleración
∙ En el último segundo, la partícula recorre la mitad 
del valor de la aceleración
· Además por cada 1s, los recorridos disminuyen en 
el valor de la aceleración
De ambos eventos 
estudiados, se concluye:
 
2
.120
a
nVln


Recorrido en el 
n-ésimo segundo Es el valor con la cual 
inicia su movimiento
II. Gráficas
1. Gráfica Aceleración vs tiempo
* Veamos: · Donde:
21. AAtaV 

t
V
am





Aceleración Media
2. Gráfica Velocidad vs tiempo
* Veamos: ∙ Ecuación: taVV .0


Intercepto Pendiente
∙ Además:
2
0 .
2
1
. tatVxÁrea


3. Gráfica Posición vs tiempo
* Veamos:
 2. vv ttcxx 

∙ Ecuación:
Ordenada del 
vértice 
Abscisa del 
vértice 
∙ Además:
2
00 .
2
1
. tatVxx


Intercepto
Pendiente de la 
recta tangente 
en t=0
Depende de 
la 
concavidad
III. Problemas
20. Una partícula se desplaza con movimiento rectilíneo uniformemente desacelerado. En un instante dado 
su velocidad es V0 > 0 y a partir de ese instante recorre dos tramos consecutivos de 1 m cada uno, el primero 
en 1 s y el segundo en 2 s. En m/s, V0 vale: (FINAL 2016-II)
Solución: * Piden V0
* A partir del enunciado:
∙ Recordar que por cada segundo, los recorridos 
disminuyen en el valor de la aceleración
∙ Del gráfico: )a21()a1(1 
2/ 
3
1
a sm
∙ Para el tramo A→B:
2
0 .a
2
1
. ttVx 

2
0 )1).(3/1(
2
1
)1.(1 V
smV / 
6
7
0 
22. Un automóvil se mueve a 48 km/h en línea recta. Repentinamente se aplican los frenos y se detiene luego de 
recorrer 2 m. ¿Si se hubiera estado moviendo a 96 km/h y se aplicará los frenos con el caso anterior, de manera 
que se obtuviese la misma desaceleración, cuál sería la distancia, en m, que recorrería desde el momento que se 
aplican los frenos hasta que se detiene? (UNI 2000-II)
Solución: * Piden d2
* A partir del enunciado:
1er Caso:
raVV f

 220
2
· Recordar:
dV )a(20 22 
d
V 2
a2 
2do Caso: · Ahora:
2
2
2
1
2
1a2
d
V
d
V

2
22 96
2
48
a2
d
 md 82 
24. Una partícula se desplaza en línea 
recta y su aceleración depende del 
tiempo según la gráfica mostrada. Si en 
t = 1 s, su velocidad es +5 m/s, ¿Qué 
velocidad, en m/s, tendrá en t = 16 s?
Solución: 
* A partir del enunciado:
* Piden )16( stV 

· Recordar: taVVV f  .0

21)1()16( AAstVstV 

)5).(2()2).(9(5)16(  stV

smistV / ˆ3)16( 

26. Un móvil parte del reposo, se 
mueve en línea resta y desarrolla 
una velocidad cuya gráfica es 
mostrada en la figura. Calcular en 
qué instante, en segundos el móvil 
vuelve al punto de partida. (UNI 
2006-II)
Solución: * Piden t0
* A partir del enunciado:
· Si el móvil retorna a su punto de partida, ello implica que su desplazamiento 
es nulo
· Ahora:
Donde:
21 AAx 

2
)5.(
2
)10).(8(
0
tt

4t
480 t
st 120 
28. La gráfica representa la posición x 
en función del tiempo t de una 
partícula con MRUV. Determine las 
proposiciones verdaderas (V) o falsas 
(F) y marque la alternativa más 
conveniente. (SELECCIÓN 2020-II)
I. La aceleración es 2î m/s2
II. La posición inicial es 8î m
III. La rapidez media en el intervalo de 
tiempo entre los puntos A y C es 1 m/s
Solución: * Piden V o F
* A partir del gráfico:
· Determinemos la ecuación de 
la parábola
 2. vv ttcxx 

 22.4  tcx
Para t = 0:  220.48  c
1 c
Dado ello:  22).1(4  tx
4.44 2  ttx

8.42  ttx

* Ahora:
I. VERDADERA
Ya que: 8.42  ttx

· Derivando respecto del tiempo:
42  t
dt
xd
V

2/ ˆ2 smi
dt
Vd
a 


II. VERDADERA
Ya que se deduce de la gráfica
III. FALSA
Ya que:
4
44~ 



t
l
Vm
smVm / 2
~

30. En el instante mostrado, el auto y el joven se encuentran 
separados d metros. Si el auto da alcance al joven en 10 s, 
determine d, en m. Considere al auto con MRUV y al joven 
con MRU, ambos en vías paralelas.
Solución: * Piden d
* A partir del enunciado:
∙ Del gráfico: dxx PA 

dtVtatV PA  ..
2
1
. 20

d )10).(4()10).(2.(
2
1
)10).(2( 2
md 80
d 4010020
32. Un ferrocarril metropolitano parte del reposo de una estación, con una aceleración constante de 1,2 m/s2
durante 10 s. Después, marcha a velocidad constante durante 30 s y desacelera a razón de 2,4 m/s2, hasta que se
detiene en la estación siguiente. Si todo el camino es recto, determine su rapidez media (en m/s) desde que
partió hasta que se detuvo. (CEPRE 2010-I)
Solución: * Piden mV
~
* A partir del enunciado:
2,11  am
· MRUV acelerado:
2,1
10

V
smV / 12
4,22  am
· MRUV retardado:
4,2
12



t
st 5
· Con ello:
ÁrealTotal 
)12.(
2
3045





 
Totall
mlTotal 450
· En lo pedido:
total
total
m
t
l
V


~
smVm / 10
45
450~
