Óptica Geométrica

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ESPEJOS PLANOS
I. Concepto
* Son superficies altamente reflectantes
* Obtención de imagen de un objeto puntual:
· La imagen del 
objeto se obtendrá a 
partir de la 
intersección de las 
prolongaciones de los 
rayos reflejados
· La imagen obtenida será virtual
· Se deduce que: qp 
Distancia Objeto Distancia Imagen
* Obtención de imagen de un objeto no puntual:
La imagen es virtual, 
derecha, simétrica y 
de igual tamaño que 
el objeto.
* Obtención de imagen de una persona:
· Se recomienda:
1er paso: Graficar la imagen del objeto
2do paso: Trazar los rayos correspondientes
3er paso: Colocar los obstáculos
· Se deduce:
2
H
hmín 
Altura total de la 
persona
Mínima altura del espejo
· La altura del muro dependerá de H0 (altura 
desde la base de sus pies hasta el nivel de sus 
ojos)
36. La persona de 1,8 m de estatura tiene sus ojos a 5 cm de su 
cenit. A qué distancia, en m, del espejo debe estar el muro de 25 cm 
de altura para que la persona vea a las justas las imagen de sus pies.
II. Problemas
Solución: * Piden d
* A partir del enunciado:
· Del gráfico:
420
5,87
420
25
tan 


d

mcmd 3 300 
38. Un cachimbo UNI se encuentra a 2 m delante de un espejo plano. Detrás 
de él, a 1 m, hay un árbol de 3 m de altura. ¿Qué longitud mínima, en cm, de 
espejo necesita el cachimbo para ver la imagen completa del árbol?
Solución: * Piden Lmín
* A partir del enunciado:
· Para determinar la 
mínima longitud del 
espejo, debemos encontrar 
los puntos a utilizar para 
obtener la imagen del 
árbol
· Por semejanza de los 
triángulos OAB y OCD, se 
tendrá:
300
52

mínL
cmLmín 120
ESPEJOS ESFÉRICOS
I. Concepto
* Se obtiene al realizar un corte transversal a 
una superficie esférica hueca. 
* Son superficies altamente reflectantes
* Veamos: 
1. E. E. Convexo
2. E. E. Cóncavo
2
R
f 
Distancia 
Focal
2
R
f 
Distancia 
Focal
Donde:
· Centro de Curvatura (C)
· Radio de Curvatura (R)
· Vértice (V)
· Foco (F)
II. Rayos Principales
* Son aquellos rayos que serán empleados para la 
obtención de las imágenes de sus respectivos objetos
* Son:
· Rayo Paralelo
· Rayo Focal
· Rayo Central
Al reflejarse el rayo, 
pasará por el foco
Al reflejarse el 
rayo, saldrá en 
forma paralela 
al eje principal
El rayo reflejado se 
desplazará sobre la misma 
recta que el rayo incidente; 
pero, en sentido opuesto
· Rayo al vértice
El eje principal se 
comporta como la 
normal para el rayo 
incidente y para el 
rayo reflejado
III. Obtención de Imágenes
1. E. E. Convexo
* Veamos: 
∙ La imagen es virtual, 
derecha y de menor tamaño
∙ Si el objeto se acerca al espejo, su imagen se acercará 
también al espejo; pero, aumentando su tamaño
∙ Aplicación: Retrovisor
2. E. E. Cóncavo
a. 1er Caso: El objeto se encuentra a una p > 2f
· La imagen es real, invertida y de menor tamaño
∙ Si el objeto se acerca al espejo, su imagen se 
alejará del espejo; pero, aumentando su tamaño
∙ La imagen siempre se ubicará entre el centro de 
curvatura y el foco
b. 2do Caso: El objeto se encuentra a una p = 2f
· La imagen es real, invertida y de igual tamaño
c. 3er Caso: El objeto se encuentra a una f < p < 2f
· La imagen es real, invertida y de mayor tamaño
∙ Si el objeto se acerca al espejo, su imagen se alejará 
del espejo; pero, aumentando su tamaño
∙ La imagen siempre se encontrará más alejado del 
centro de curvatura
d. 4to Caso: El objeto se encuentra a una p = f
No hay imagen o si se forma se 
encontraría en el infinito
e. 5to Caso: El objeto se encuentra a una p < f
· La imagen es 
virtual, 
derecha y de 
mayor tamaño∙ Si el objeto se acerca al 
espejo, su imagen se 
acercará al espejo; pero, 
disminuyendo su tamaño
∙ Es usado por los odontólogos
IV. Ecuaciones
* Veamos: 
· Ecuación de Descartes
qpf
111

· Aumento Lineal (A) o Magnificación (M)
p
q
A 
T
T
A i
Tamaño Imagen
Tamaño Objeto
· Separación (d)
qpd 
* Convención de Signos:
positivoSiemprep :





ConvexoEspejo
CóncavoEspejo
f
 :
 :
:





VirtualImagen :
RealImagen :
:q





InvertidaImagen :
DerechaImagen :
:A





 3A
· Imagen derecha, virtual y de mayor tamaño
· E.E. Cóncavo
· El objeto se encuentra p < f





 1A
· Imagen invertida, real y de igual tamaño
· E.E. Cóncavo
· El objeto se encuentra p = 2f





 1A
· Imagen derecha, virtual y de igual tamaño
· Espejo Plano
· El objeto se encuentra en cualquier lugar
OBS.: Sabías Que
∙ Si la imagen se obtiene por la intersección de los 
rayos reflejados se tendrá una IMAGEN REAL
· Si la imagen se obtiene por la intersección de las 
prolongaciones de los rayos reflejados se tendrá una
IMAGEN VIRTUAL
· El observador visualiza imágenes virtuales
· Por medio de una pantalla (cartón, pared, etc.) se 
visualizará las imágenes reales





 2A
· Imagen invertida, real y de mayor tamaño
· E.E. Cóncavo
· El objeto se encuentra f < p < 2f






4
1
A
· Imagen invertida, real y de menor tamaño
· E.E. Cóncavo
· El objeto se encuentra p > 2f






5
1
A
· Imagen derecha, virtual y de menor tamaño
· E.E. Convexo
· El objeto se encuentra en cualquier lugar
* Si conocemos el aumento lineal (A), podremos conocer
el tipo de espejo y las características de la imagen; por 
ejemplo:
V. Problemas
40. Sobre el eje de simetría de un espejo esférico 
convexo cuyo radio de curvatura es 1 m, se coloca 
un objeto a 1,5 m de su vértice. Calcule el aumento 
del espejo. (UNI 2015-II)
Solución: * Piden A
* Por dato:
· E. E. Convexo
· R = 1 m
⇒ Imagen Virtual
⇒ f = 0,5 m
· p = 1,5 m
* Ecuación de Descartes:
qpf
111

q
1
5,1
1
5,0
1


 mq
8
3

* En lo pedido:
p
q
A 
2/3
)83(
 A
4
1
 A
42. Un objeto de 3 cm de alto está situado a 10 cm delante 
de un espejo convexo, cuyo radio de curvatura es 6 cm. 
Determine aproximadamente el tamaño (en cm) de la 
imagen formada. (UNI 2019-II)
Solución: * Piden Ti
* Por dato:
· E. E. Convexo
· R = 6 cm
⇒ Imagen Virtual
⇒ f = 3 cm
· p = 10 cm · T𝜃 = 3 cm
* Ecuación de Descartes:
qpf
111

q
1
10
1
3
1


 cmq
13
30

* En lo pedido:
T
T
p
q
A i
310
13/30 iT cmcmTi 692,0
13
9

44. Un espejo convexo tiene 80 cm de radio de 
curvatura. La distancia, en cm, a la superficie 
del espejo a la que debe colocarse un objeto 
para que el tamaño de su imagen sea del 40 % 
del tamaño del objeto es: (UNI 2002-I)
Solución: * Piden p
* Por dato:
· E. E. Convexo
· R = 80 cm
⇒ Imagen Virtual
⇒ f = 40 cm
· Ti = 40%.T𝜃 ⇒ q = 0,4p
* Ecuación de Descartes:
qpf
111

pp 4,0
11
40
1




cmp 60
46. ¿Qué tipo de imagen forma un objeto que se encuentra a 5 cm 
de distancia de un espejo cóncavo de 10 cm de distancia focal? 
(UNI 2006-I)
Solución: * Piden tipo de imagen
* Por dato: · E. E. Cóncavo
· p = 5 cm
· f = 10 cm
⇒ p < f
* Se deduce que la imagen es: · Virtual
· Derecha
· De mayor tamaño
48. Un objeto está situado a 20 cm delante de un 
espejo cóncavo cuyo radio de curvatura es de 5 cm. 
Determine aproximadamente la distancia, en cm, a 
la que se encuentra la imagen. (FINAL 2020-I)
Solución: * Piden q
* Por dato:
· E. E. Cóncavo
· R = 5 cm ⇒ f = 2,5 cm
· p = 20 cm
* Ecuación de Descartes:
qpf
111

q
1
20
1
5,2
1

cmcmq 857,2
7
20

50. Para un espejo esférico cóncavo de 6 m de radio, ¿a 
qué distancia, en m, del vértice se debe colocar un objeto 
luminoso, para obtener una imagen invertida y cuyo 
tamaño sea la quinta parte del tamaño del objeto?
Solución: * Piden p
* Por dato:
· E. E. Cóncavo
· R = 6 m
⇒ Imagen Real
⇒ f = 3 m
· Ti = T𝜃/5 ⇒ q = p/5
· Imagen Invertida
* Ecuación de Descartes:
qpf
111

5/
11
3
1
pp

mp 18
52. Se tiene una porción de un cascarón esférico delgado que puede usarse como un espejo cóncavo o convexo. Se 
coloca un objeto a 100 cm de la parte cóncava formándose una imagen real a 75 cm del espejo. Sin moveral objeto 
se da vuelta al espejo de tal manera que la parte convexa mire al objeto y se mueve el espejo acercándolo o 
alejándolo del objeto hasta que se forme una imagen a 35 cm detrás del espejo. Calcule aproximadamente la 
distancia (en cm) que se desplazó el cascarón esférico. (UNI 2019-I)
Solución: * Piden d * Con ello:
1er Caso: E.E. Cóncavo
· Imagen Real · p = 100 cm
· q = 75 cm
· De la Ecuación de Descartes:
qpf
111

75
1
100
11

f
cmf
7
300

2do Caso: E.E. Convexo
· Imagen Virtual · q = 35 cm
· De la Ecuación de Descartes:
qpf
111

35
11
7/300
1


 p
cmcmp 909,190
11
2100

* A partir del enunciado:
· Se observa que el espejo convexo 
se alejado del objeto, donde:
cmd 909,90
LENTES DELGADAS
I. Concepto
* Una lente es una sustancia transparente (vidrio, 
plástico, etc.) delimitado por dos superficies donde 
por lo menos una es curva. 
* Recordar que todo medio sustancial presenta un 
mayor índice de refracción que el aire
* Examinemos el siguiente evento
· Veamos:
∙ Unamos 2 prismas idénticos 
por medio de sus bases 
Los rayos paralelos después 
de refractarse 2 veces en el 
prisma, terminando 
convergiendo en un punto
· Unamos 2 prismas 
idénticos por medio de 
uno de sus vértices 
Los rayos paralelos 
después de refractarse 2 
veces en el prisma, 
terminando divergiendo
* Clasifiquemos a los lentes en función a su comportamiento con la luz
1. Lente Convergente o L. Biconvexa 2. Lente Divergente o L. Bicóncava
Donde:
· Centros de Curvatura (C1 y C2)
· Radios de Curvatura (R1 y R2)
· Centro Óptico (C)
· Focos (F1 y F2)
∙ Distancia Focal (f)
II. Rayos Principales
* Son aquellos rayos que serán empleados para la 
obtención de las imágenes de sus respectivos objetos
* Son:
· Rayo Paralelo
Al refractarse el rayo, 
pasará por uno de los focos 
de la lente
· Rayo Focal
Al refractarse el rayo, saldrá en 
forma paralela al eje principal
· Rayo Central
El rayo refractado se desplazará sobre 
la misma recta que el rayo incidente; 
manteniendo el mismo sentido
III. Obtención de Imágenes
1. Lente Divergente
* Veamos: 
∙ La imagen es virtual, 
derecha y de menor 
tamaño
∙ Si el objeto se acerca a la lente, su imagen se 
acercará también a la lente; pero, aumentando 
su tamaño
2. Lente Convergente
a. 1er Caso: El objeto se encuentra a una p > 2f
· La imagen es real, invertida y de menor tamaño
∙ Si el objeto se acerca a la lente, su imagen se alejará de 
la lente; pero, aumentando su tamaño
∙ La imagen siempre se ubicará entre f y 2f
∙ El objeto y la imagen se encuentran en la 
misma zona
∙ Es usada en el tratamiento contra la miopía
∙ El objeto y la imagen se encuentran en distintas zonas
b. 2do Caso: El objeto se encuentra a una p = 2f
· La imagen es real, invertida y de igual tamaño
c. 3er Caso: El objeto se encuentra a una f < p < 2f
· La imagen es real, invertida y de mayor tamaño
∙ Si el objeto se acerca a la lente, su imagen se alejará 
de la lente; pero, aumentando su tamaño
∙ La imagen siempre se encontrará más alejado de 2f∙ El objeto y la imagen se encuentran en distintas 
zonas
∙ El objeto y la imagen se encuentran en distintas zonas
d. 4to Caso: El objeto se encuentra a una p = f
No hay imagen o si se forma se 
encontraría en el infinito
e. 5to Caso: El objeto se encuentra a una p < f
· La imagen es virtual, 
derecha y de mayor 
tamaño
∙ Si el objeto se 
acerca a la lente, su 
imagen se acercará 
a la lente; pero, 
disminuyendo su 
tamaño
∙ El objeto y la imagen se encuentran en la misma zona
∙ Es usada en el tratamiento contra la hipermetropía
IV. Ecuaciones
* Veamos: · Ecuación de Descartes
qpf
111

· Aumento Lineal (A) o Magnificación (M)
p
q
A 
T
T
A i
Tamaño Imagen
Tamaño Objeto
· Separación (d)
qpd 
· Potencia Óptica (P)
f
P
1

Unidad: (Dp)Dioptría 
En metros
* Convención de Signos:
positivoSiemprep :





DivergenteLente
eConvergentLente
f
 :
 :
:





VirtualImagen :
RealImagen :
:q





InvertidaImagen :
DerechaImagen :
:A





 4A
· Imagen derecha, virtual y de mayor tamaño
· Lente Convergente
· El objeto se encuentra p < f





 1A
· Imagen invertida, real y de igual tamaño
· Lente Convergente
· El objeto se encuentra p = 2f



 1A
· Imagen derecha, virtual y de igual tamaño
· No existe lente
OBS.: Sabías Que
∙ Si la imagen se obtiene por la intersección de los 
rayos refractados se tendrá una IMAGEN REAL
· Si la imagen se obtiene por la intersección de las 
prolongaciones de los rayos refractados se tendrá 
una IMAGEN VIRTUAL
· El observador visualiza imágenes virtuales
· Por medio de una pantalla (cartón, pared, etc.) se 
visualizará las imágenes reales





 3A
· Imagen invertida, real y de mayor tamaño
· Lente Convergente
· El objeto se encuentra f < p < 2f






5
1
A
· Imagen invertida, real y de menor tamaño
· Lente Convergente
· El objeto se encuentra p > 2f






2
1
A
· Imagen derecha, virtual y de menor tamaño
· Lente Divergente
· El objeto se encuentra en cualquier lugar
* Si conocemos el aumento lineal (A), podremos conocer
el tipo de lente y las características de la imagen; por 
ejemplo:
∙ La lupa es una lente convergente
07. Señale la veracidad (V) o falsedad (F) de las 
siguientes proposiciones respecto a las lentes delgadas:
I. En una lente divergente, no importa cuál es la 
posición del objeto, la imagen siempre será derecha.
II. Si el objeto se encuentra entre el foco y la lente, la 
imagen será virtual, no importando el tipo de lente.
III. Si la distancia objeto es mayor que la distancia focal, 
las lentes biconvexas producirán imágenes reales.
V. Pregunta
Rpta. 
I. VERDADERA
Ya que la imagen siempre será derecha, virtual y de 
menor tamaño
II. VERDADERA
Ya que para la lente divergente su imagen sería virtual 
y de menor tamaño; pero, para una lente convergente 
su imagen seria virtual y de mayor tamaño
III. VERDADERA
Ya que la imagen sería real y su tamaño podrá ser 
menor o igual o mayor tamaño que el del objeto
VI. Problemas
02. Al colocar un objeto a 25 cm de una lente divergente 
se observa que su imagen se forma a 5 cm de la lente y 
en el mismo lado donde está el objeto. Determine el 
módulo de la distancia focal de la lente, en cm. (FINAL 
2010-II)
Solución: * Piden f
* Por dato:
· Lente Divergente
· p = 25 cm · q = 5 cm
* Ecuación de Descartes:
qpf
111

5
1
25
11


f
cmf 25,6
⇒ Imagen Virtual
04. Una lente de – 5 dioptrías es colocada a 16 cm 
de un objeto de 9 cm de altura. ¿Qué altura, en cm, 
presentará su imagen?
Solución: * Piden Ti
* Por dato:
· Lente Divergente
· P = -5 Dp
⇒ Imagen Virtual
· p = 16 cm · T𝜃 = 9 cm
* Ecuación de Descartes:
qpf
111

q
1
16,0
1
5  mq 
45
4

* En lo pedido:
T
T
p
q
A i
916,0
45/4 iT cmTi 5
06. Utilizando una lente divergente de 40 cm de distancia 
focal y un objeto de 20 cm de altura, se obtiene una imagen 
de 5 cm de altura. ¿Qué distancia (en cm) de la lente 
delgada se ubica el objeto?
Solución: * Piden p
* Por dato:
· Lente Divergente
· f = 40 cm
⇒ Imagen Virtual
· T𝜃 = 20 cm
* Ecuación de Descartes:
qpf
111

4/
11
40
1
pp 



cmp 120
· Ti = 5 cm 4
1




T
T
p
q i
4
p
q 
09. Un objeto, cuya altura es de 20 cm, se ubica frente a una lente, 
por lo que se obtiene una imagen real de 5 cm de altura. Si la 
distancia entre el objeto y su imagen es 100 cm, determine la 
distancia focal, en cm, del lente.
Solución: * Piden f
* A partir del enunciado:
⇒ Lente Convergente
· d = 100 cm
· T𝜃 = 20 cm
· Ti = 5 cm 4
1




T
T
p
q i
4
p
q 
· Imagen real
* Recordar:
qpd 
)4/(100 pp 
cmp 80
* Ecuación de Descartes:
qpf
111

20
1
80
11

f
mf c 16
11. ¿A qué distancia, en cm, se encuentra la 
imagen de un objeto formado por una lente, 
cuya distancia focal es 9 cm? Considere que 
el aumento de lalente es -3.
Solución: * Piden q
* A partir del enunciado:
· f = 9 cm
· A = -3 ⇒ Imagen invertida y real
⇒ Lente Convergente
* Dado que:
3
p
q
A 3/qp 
* Ecuación de Descartes:
qpf
111

qq
1
3/
1
9
1
 mq c 36
13. Para un objeto, ubicado en el eje principal de la lente convergente, su aumento cambia de −0,5 a −0,25. Calcule 
el cociente de las rapideces medias del objeto y la imagen en el intervalo de tiempo en el que se dan los cambios del 
aumento señalados anteriormente.
Solución: * Piden V𝜃/Vi
· Lente Convergente · A = -0,5 → -0,25 ⇒ IRI, de menor tamaño* A partir del enunciado:
* Se deduce que el objeto se esta alejando de la lente
* Ahora: · Del gráfico se deduce:
2
1
1
p
q 
4
2
2
p
q 
· De la Ecuación de Descartes:
2211
11111
qpqpf

4/
11
2/
11
2211 pppp

12
3
5
pp 
· En lo pedido:
iii d
d
tV
tV
V
V  



.
.
21
12
qq
pp
V
V
i 


21
12
25,05,0 pp
pp
V
V
i 


12/55,0
3/5
11
11
pp
pp
V
V
i 

 8
iV
V
VII. Ecuación del Fabricante
1. Concepto
* Permite obtener la distancia focal de una lente a partir de la geometría de la lente y de las características 
ópticas de la lente y del medio que lo rodea
* Se define:













21
11
.1
1
RRn
n
f Medio
Lente
· Veamos los tipos de lentes delgadas en función de su geometría:
Lente Biconvexa
Lente Bicóncava
L. Cóncava - Convexa L. Plana - Convexa
L. Cóncava - Convexa L. Cóncava - Plana
Menisco 
Convergente
Menisco 
Divergente
· Convención de Signos:





:R
ConvexaSuperficie :
CóncavaSuperficie :
PlanaSuperficie :
21 RR 
21 RR 
* Examinemos los siguientes eventos
1er Evento: El prisma presenta mayor índice de refracción que el medio
· Inicio:
∙ Final
2do Evento: El prisma presenta menor índice de refracción que el medio
· Inicio:
∙ Final
* A partir de lo analizado de lo anterior, se tendrá:
MedioLente nn 
MedioLente nn 
MedioLente nn 
15. En el siguiente 
diagrama se muestra 
una lente (nLente = 1,5). 
Determine la distancia 
focal, en cm, de la lente. 
Solución: * Piden f
* Recordar:













21
11
.1
1
RRn
n
f Medio
Lente















20
1
60
1
.1
1
5,11
f
cmf 60
17. Una lente plana - cóncava de 50 cm de radio tiene un índice de 
refracción de 1,2. Determine el índice de refracción del líquido en 
el que se debe introducir para que su distancia focal sea +200 cm.
Solución: * Piden nMedio
* A partir del enunciado:
· Recordar:













21
11
.1
1
RRn
n
f Medio
Lente
















1
50
1
.1
2,1
200
1
Medion
6,1 Medion
2. Problemas
19. Una lente convergente hecha de vidrio (n = 1,52) tiene una distancia focal de 50 cm en el aire (naire = 1). 
Determine, aproximadamente, la distancia focal (en cm) de la misma lente, cuando está sumergida en un líquido 
cuyo índice de refracción es nx = 1,36. (FINAL 2013-I)
Solución: * Piden fLíquido
* A partir del enunciado:
· La lente convergente podría ser:
· La geometría de cada lente es 
independiente del medio que 
rodea a la lente
· En el aire:













21
11
.1
1
RRn
n
f Aire
Lente
Aire













21
11
.1
1
52,1
50
1
RR
26
111
21

RR
· En el líquido:
















21
11
.1
1
RRn
n
f Líquido
Lente
Líquido













26
1
.1
36,1
52,11
Líquidof
cmfLíquido 221
21. Un menisco divergente esta hecho de vidrio (n=1,5) y sus radios de curvatura son R1 = 20 cm y R2 = 30 cm. Si 
se coloca un objeto frente a esta lente, se forma una imagen de 1/3 del tamaño del objeto, calcule la distancia (en 
m) entre el objeto y su imagen.
Solución: * Piden d
* A partir del enunciado:
· De la ecuación del Fabricante:













21
11
.1
1
RRn
n
f Aire
Lente















30
1
20
1
.1
1
5,11
f
cmf 120
· Además:
· Al ser una lente divergente, la 
imagen será virtual
3
TTi 
3
p
q 
· De la ecuación de Descartes:
qpf
111

3/
11
120
1
pp 


cmp 240
· En lo pedido: qpd 
)3/( ppd 
)240.(
3
2
d
mcmd 6,1 160 