PRODUCTOS

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CONCEPTO
Son aquellos productos que se pueden determinar directamente, sin necesidad de efectuar la operación de 
multiplicación.
 PRINCIPALES PRODUCTOS NOTABLES
1. Trinomio cuadrado perfecto (tcp)
 (x + y)
2 = x2 + 2xy + y2 (x - y)
2 = x2 - 2xy + y2
Ejemplo:
•	 (aa + bb)2 = (aa)2 + 2(aa)(bb) + (bb)2
 = a2a + 2aabb + b2b
Ejemplo:
•	 ( )a a a a a a
1 2 1 1
2 2 2
- = - +c c cm m m
 = a2 + 
a
1 22 -
 Corolario: identidades de Legendre: 
 (x + y)
2 + (x - y)2 = 2(x2 + y2) (x + y)
2 - (x - y)2 = 4xy
Ejemplo:
•	 2 ( )a
a
a
a
a
a
1 1 12
2
2 2
2
2 2 2
2
2
+ + - = +c c cm m m= G
 a
a
2 14 4= +c m
Ejemplo:
•	 ( )a
a
a
a
a
a
1 1 4 12 2
2 2
2
2 2
2+ - - =c c cm m m
 = 4
 
2. Diferencia de cuadrados
 (x + y)(x - y) = x
2 - y2
 Ejemplos:
•	 3 1 3 1 3 13 3 3 2 2+ - = -^ ^ ^h h h 	 	 •			
x x x
1 1 1 1 1 1x x x2+ - = -c cm m
 9 13= - 
•	 x y x y x y x y
3 1 3 1 3 1 9 12 2 2 2
2 4
2+ - = - = -c c
^ cm m h m
3. Identidad de Steven (multiplicación de binomios con un elemento común)
 (x + a)(x + b) = x
2 + (a + b)x + ab
 Ejemplos:
•	 (xa + 7)(xa - 9) = (xa)2 + (7 + (-9))xa + 7(-9)
 = x2a - 2xa - 63
•	 (m - 10)(m - 3) = m2 + ((-10) + (-3))m + (-10)(-3)
 = m2 - 13m + 30
 (ax + b)(cx + d) = acx
2 + (ad + bc)x + bd
 Ejemplo:
•	 (3x - 2)(2x - 1) = (3)(2)x2 + (3(-1) + (2)(-2))x + (-2)(-1)
 = 6x2 + (-3 - 4)x + 2
 = 6x2 - 7x + 2
(x + a)(x + b)(x + c) = x3 + (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x + abc
 
 Ejemplo:
•	 (x + 2)(x - 1)(x - 7) = x3 + (2 + (-1) + (-7))x2 + (2(-1) + 2(-7) + (-1)(-7))x + 2(-1)(-7)
 = x3 + (-6)x2 + (-2 -14 + 7)x + 14 = x3 - 6x2 - 9x + 14
PRODUCTOS NOTABLES
Observación
En	algunos	casos	nos	será	útil	
descomponer	la	diferencia	de	
cuadrados.
		49x2	-	100	=	(7x)2	-	(10)2	
 =	(7x	+	10)(7x	-	10)
Recuerda
(x	-	y)2	=	(y	-	x)2
De:
(x	+	y)2	+	(x	-	y)2	=	2(x2	+	y2)	...(a)
(x	+	y)2	-	(x	-	y)2	=	4xy						...(b)
Al	multiplicar	a	y	b	obtenemos:
(x	+	y)4	-	(x	-	y)4	=	8xy(x2	+	y2)
X
4. Binomio al cubo
Binomio suma al cubo
(x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Ejemplo:
•	 (2a + 3b)3 = (2a)3 + 3(2a)2(3b) + 3(2a)(3b)2 + (3b)3
 = 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3
Binomio diferencia al cubo
(x - y)3 = x3 - 3x2y + 3xy2 - y3
Ejemplo:
•	 a a a a a a a a
1 1 3 1 3 1
3 3 2 2 3
- = - + -c c c cm m m m
 
a a
a a1 3 33
3
= - + -
5. Binomio por trinomio
Suma de cubos
(x + y)(x2 - xy + y2) = x3 + y3 
Ejemplo:
•	 (7a + 2b)(49a2 - 14ab + 4b2)
 = (7a + 2b)((7a)2 - (7a)(2b) + (2b)2) = (7a)3 + (2b)3
 = 343a3 + 8b3
Diferencia de cubos
(x - y)(x2 + xy + y2) = x3 - y3
Ejemplo:
•	 (m3 - n)(m6 + m3n + n2)
 = (m3 - n)((m3)2 + (m3)n + n2) = (m3)3 - n3 
 = m9 - n3
6. Trinomio al cuadrado
 Forma desarrollada
 (x + y + z)
2 = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz
 Ejemplo:
•	 (a + 2b - c2)2 = a2 + (2b)2 + (-c2)2 + 2(a)(2b) + 2(a)(-c2) + 2(2b)(-c2)
 = a2 + 4b2 + c4 + 4ab - 2ac2 - 4bc2
 Forma abreviada
 (x + y + z)
2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + xz + yz)
 Ejemplo:
•	 2y
x
x
y
z
x
y
x
x
y
z
x
y
x
x
y
y
x
z
x
x
y
z
x2 2 2 2
- - = + - + - + - + - + - -c c ` ` c ` c ` ` `cm m j j m j m j j jm
 2
y
x
x
y
z
x
yz
x
z
y12
2
2
2
2
2 2
= + + + - - +c m
7. Identidades de Lagrange
 Con dos variables: (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 + (ay - bx)2
 Ejemplos:
•	 (m2 + 9)(x2 + 4) = (m2 + 32)(x2 + 22) = (mx + 3(2))2 + (2m - 3x)2 = (mx + 6)2 + (2m - 3x)2
•	 (n2 + 49)(z2 + 16) = (n2 + 72)(z2 + 42) = (nz + 7(4))2 + (4n - 7z)2 = (nz + 28)2 + (4n - 7z)2
8. Identidades de Argand
 (x2 + x + 1)(x2 - x + 1) = x4 + x2 + 1
 Ejemplo:
•	 ((a + b)2 + (a + b) + 1)((a + b)2 - (a + b) + 1) = (a + b)4 + (a + b)2 + 1
 (x2 + xy + y2)(x2 - xy + y2) = x4 + x2y2 + y4
 Ejemplo:
•	
a
a
a
a
a
a1 1 1 1 1 12
2
2
2
4
4
+ + - + = + +c cm m
9. Identidades de Gauss (identidades auxiliares)
•	 x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy - xz - yz)
•	 (x + y)(y + z)(x + z) + xyz = (x + y + z)(xy + xz + yz)
Atención
En	forma	general	se	puede	
expresar	la	identidad	de	
Argand	como:
(x2n	+	xn	+	1)(x2n	-	xn	+	1)	
=	x4n	+	x2n	+	1
Identidades	de	Cauchy	(forma	
abreviada	del	binomio	al	cubo)
(x	+	y)3	=	x3	+	y3	+	3xy(x	+	y)
(x	-	y)3	=	x3	-	y3	-	3xy	(x	-	y)
Nota
Recuerda
(x	+	y)3	+	(x	-	y)3	=	2x(x2	+	3y2)
(x	+	y)3	-	(x	-	y)3	=	2y(y2	+	3x2)
Problemas resueltos
1 Efectúa:
A x x x x8 82 4 2 4= + - - -^ ^h h
Resolución:
A x x x x8 82 4 2 4= + - - -^ ^h h
A x x 84 4
2
= - -^ h
A = x4 - (x4 - 8) = x4 - x4 + 8 = 8
2 Efectúa:
.R a a a a16 162 2= + - - -
Resolución:
R a a a a16 162 2= + - - -^ ^h h
Por diferencia de cuadrados:
R a a 162 2
2
= - -^ h
4R a a 16 162 2= - + = =
3 Si: 2x x
1 3+ =
Calcula: P x x 12 2= + --
Resolución:
 x x 2 31 2 2+ =-^ ^h h
2 . 12x x x x2
1
1 2+ + =- -
S
 & x2 + x-2 = 10
Nos piden: 3P x x 1 10 12 2= + - = - =-
4 Dado: a + b = 6
ab = 10
Calcula: M a b ab 12 2= + + -
Resolución:
2 36a b a b ab62 2 2 2
10
&+ = + + =^ ^h h S & 16a b
2 2
+ =
Nos piden:
M a b ab 1 16 10 12 2= + + - = + -
5M 25= =
5 Calcula:
. 2N 13 1 13 1 3 8= + - - -^ h
Resolución:
2 16N 13 1 13 1 3= + - - +^ ^h h
2 16N 13 1 32 2= - - +
2 16N 12 3= - + & 2 2 16N 3 3= - + 
N = 16
6 Calcula:
M 24 5 1 5 1 12 48= + + +^ ^h h
Resolución:
M 24 5 1 5 1 12 4= + + +^ ^h h8
25 - 1
( ) ( ) ( )M 5 1 5 1 5 1 12 2 4= - + + +8
(54 - 1)
(58 - 1)
5M 5 1 1 588 88= - + = =
7 Calcula:
N 2 6 3 2 6 3 3 1 3 1= + - + -^ ^ ^ ^h h h h
Resolución:
Aplicamos diferencia de cuadrados:
N 2 6 3 2 6 3 3 1 3 1= + - + -^ ^ ^ ^h h h h1 2 3444444 444444 1 2 34444 4444
N 2 6 3 3 12 2 2 2= - -^ ^ ^h h h8 8B B
N 4 6 3 3 1#= - -^ ^h h & N = 21 # 2 = 42
8 Calcula:
E
2 3
8 18 8 18
2
2 2
=
+ - -
^
^ ^
h
h h
Resolución:
Aplicamos Legendre:
E 4 3
4 8 18
3
2 2 3 2
#
#= = & 2 4E 2 2= =
9 Efectúa:
Y 7 3 49 21 93 3 3 3 3= - + +^ ^h h
Resolución:
Dando forma:
Y 7 3 7 7 3 33 3 3 2 3 3 3 2= - + +^ ^h h
Se observa una diferencia de cubos:
7 3 4Y 7 33 3 3 3= - = - =
10 Calcula:
E 3 2 3 3 2 3 6 2 6 2= + - + -^ ^ ^ ^h h h h
Resolución:
Aplicamos diferencia de cuadrados:
E 3 2 3 3 2 3 6 2 6 2= + - + -^ ^ ^ ^h h h h1 2 3444444 444444 1 2 344444 44444
E 3 2 3 6 22 2 2 2= - -^ ^h h8 6B @
E = (9 # 2 - 3)(6 - 2) & E = 15 # 4 = 60