Álgebra Operación Binaria

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Operación binaria
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
23 de abril de 2017
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Operación binaria
N
Contenido Teórico
Operación Binaria
Una operación binaria o ley de composición interna, en un
conjunto no vaćıo A es una aplicación de A× A en A, es decir la
coorrespondencia que asocia a cada par ordenado de elementos de
A un único elemento de A. Si denotamos por ∗ a esta aplicación, la
imagen de (a, b) será denotado por a ∗ b, es decir
∗ : A× A→ A
(a, b)→ a ∗ b
Ejemplo
La adición (+) y la multiplicación (·) usual, son operaciones
binarias en: N,Z,Q y R
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Operación binaria
N
Contenido Teórico
Operación Binaria
Una operación binaria o ley de composición interna, en un
conjunto no vaćıo A es una aplicación de A× A en A, es decir la
coorrespondencia que asocia a cada par ordenado de elementos de
A un único elemento de A. Si denotamos por ∗ a esta aplicación, la
imagen de (a, b) será denotado por a ∗ b, es decir
∗ : A× A→ A
(a, b)→ a ∗ b
Ejemplo
La adición (+) y la multiplicación (·) usual, son operaciones
binarias en: N,Z,Q y R
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Operación binaria
N
Propiedad de la clausura o cerradura
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Se dice que la
operación ∗ es cerrado en A si
∀a, b ∈ A, a ∗ b ∈ A
Ejemplo
Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, definimos una operación en
A por a ∗ b = MCD(a, b). Siendo A un conjunto finito,
mediante la siguiente tabla vemos que esta operación satisface
la propiedad de clausura.
∗ 1 2 3 4
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
3 1 1 3 1
4 1 2 1 4
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Operación binaria
N
Propiedad de la clausura o cerradura
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Se dice que la
operación ∗ es cerrado en A si
∀a, b ∈ A, a ∗ b ∈ A
Ejemplo
Dado el conjunto A = {1, 2, 3, 4}, definimos una operación en
A por a ∗ b = MCD(a, b). Siendo A un conjunto finito,
mediante la siguiente tabla vemos que esta operación satisface
la propiedad de clausura.
∗ 1 2 3 4
1 1 1 1 1
2 1 2 1 2
3 1 1 3 1
4 1 2 1 4
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Operación binaria
N
Propiedad de la asociatividad
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Se dice que la
operación ∗ es asociativa si
∀a, b, c ∈ A, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
.
Ejemplo
Sea X 6= φ, si
Biy(X ) = {f : X → X/f es biyectiva }
la composición de funciones es una operación binaria en Biy(X ),
puesto que la composición de funciones biyectivas es también
una función biyectiva.
Más aún, esta operación es asociativa:
∀f , g ∈ Biy(X ), f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h
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Operación binaria
N
Propiedad de la asociatividad
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Se dice que la
operación ∗ es asociativa si
∀a, b, c ∈ A, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
.
Ejemplo
Sea X 6= φ, si
Biy(X ) = {f : X → X/f es biyectiva }
la composición de funciones es una operación binaria en Biy(X ),
puesto que la composición de funciones biyectivas es también
una función biyectiva.
Más aún, esta operación es asociativa:
∀f , g ∈ Biy(X ), f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h
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Operación binaria
N
Propiedad de la asociatividad
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Se dice que la
operación ∗ es asociativa si
∀a, b, c ∈ A, (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
.
Ejemplo
Sea X 6= φ, si
Biy(X ) = {f : X → X/f es biyectiva }
la composición de funciones es una operación binaria en Biy(X ),
puesto que la composición de funciones biyectivas es también
una función biyectiva.
Más aún, esta operación es asociativa:
∀f , g ∈ Biy(X ), f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h
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Operación binaria
N
Propiedad de la conmutatividad
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Se dice que la
operación es conmutativa si
∀a, b ∈ A, a ∗ b = b ∗ a
Ejemplo
Sea ∗ una operación definida sobre N por
a ∗ b = a + b + ab
no es dif́ıcil verificar que esta operación satisface la propiedad
conmutativa.
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Operación binaria
N
Propiedad de la conmutatividad
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Se dice que la
operación es conmutativa si
∀a, b ∈ A, a ∗ b = b ∗ a
Ejemplo
Sea ∗ una operación definida sobre N por
a ∗ b = a + b + ab
no es dif́ıcil verificar que esta operación satisface la propiedad
conmutativa.
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Operación binaria
N
Nota:
Si A = {a, b, c} y la operación ∗ en A esta dada por una tabla.
∗ a b c
a a b c
b b c a
c c a b
La operación es conmutativa, si la matriz de valores es una ma-
triz simétrica (siempre que los elementos del conjunto se operan
ordenadamante).
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Operación binaria
N
Nota:
Si A = {a, b, c} y la operación ∗ en A esta dada por una tabla.
∗ a b c
a a b c
b b c a
c c a b
La operación es conmutativa, si la matriz de valores es una ma-
triz simétrica (siempre que los elementos del conjunto se operan
ordenadamante).
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Operación binaria
N
Elemento Neutro
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Un elemento
e ∈ A se llama elemento neutro respecto a la operación ∗, si
∀a ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a.
Si en (A, ∗) existe un elemento neutro, este es único.
Ejemplos:
En (Z,+), el número 0 es el elemento neutro.
En (R, ∗) tal que a ∗ b = a + b − 3, el elemento neutro es 3.
En (R \ {0}, ·), el número 1 es el elemento neutro.
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Operación binaria
N
Elemento Neutro
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Un elemento
e ∈ A se llama elemento neutro respecto a la operación ∗, si
∀a ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a.
Si en (A, ∗) existe un elemento neutro, este es único.
Ejemplos:
En (Z,+), el número 0 es el elemento neutro.
En (R, ∗) tal que a ∗ b = a + b − 3, el elemento neutro es 3.
En (R \ {0}, ·), el número 1 es el elemento neutro.
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Operación binaria
N
Elemento Neutro
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Un elemento
e ∈ A se llama elemento neutro respecto a la operación ∗, si
∀a ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a.
Si en (A, ∗) existe un elemento neutro, este es único.
Ejemplos:
En (Z,+), el número 0 es el elemento neutro.
En (R, ∗) tal que a ∗ b = a + b − 3, el elemento neutro es 3.
En (R \ {0}, ·), el número 1 es el elemento neutro.
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Operación binaria
N
Elemento Neutro
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Un elemento
e ∈ A se llama elemento neutro respecto a la operación ∗, si
∀a ∈ A, a ∗ e = e ∗ a = a.
Si en (A, ∗) existe un elemento neutro, este es único.
Ejemplos:
En (Z,+), el número 0 es el elemento neutro.
En (R, ∗) tal que a ∗ b = a + b − 3, el elemento neutro es 3.
En (R \ {0}, ·), el número 1 es el elemento neutro.
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Operación binaria
N
Ejemplo
Si en el conjunto A = {a, b, c} la operación esta dada por tabla.
∗ a b c
a a b c
b b c a
c c a b
el elemento neutro es a.
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Operación binaria
N
Observación
Una operación ∗ en un conjunto A = {a, b, c} puede tener ele-
mento neutro, pero no necesariamente es conmutativo, como se
muestra en la siguiente tabla:
∗ a b c
a c a b
b a b c
c a c b
el elemento neutro es b.
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Operación binaria
N
Elemento Inverso
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Si e ∈ A es el
elemento neutro, se dice que a ∈ A posee inverso si existe otro
elemento en A denotado por a−1 tal que
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
Nota
Si un elemento a ∈ A posee inverso, este es único.
Ejemplo
En (Q,+), el inverso de 2 es −2.
En (Q \ {0}, ·), el inverso de 2 es 12 .
En (Q, ∗) donde a ∗ b = a + b − 3, el inverso de 0 es 6.
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Operación binaria
N
Elemento Inverso
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Si e ∈ A es el
elemento neutro, se dice que a ∈ A posee inverso si existe otro
elemento en A denotado por a−1 tal que
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
Nota
Si un elemento a ∈ A posee inverso, este es único.
Ejemplo
En (Q,+), el inverso de 2 es −2.
En (Q \ {0}, ·), el inverso de 2 es 12 .
En (Q, ∗) donde a ∗ b = a + b − 3, el inverso de 0 es 6.
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N
Elemento Inverso
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Si e ∈ A es el
elemento neutro, se dice que a ∈ Aposee inverso si existe otro
elemento en A denotado por a−1 tal que
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
Nota
Si un elemento a ∈ A posee inverso, este es único.
Ejemplo
En (Q,+), el inverso de 2 es −2.
En (Q \ {0}, ·), el inverso de 2 es 12 .
En (Q, ∗) donde a ∗ b = a + b − 3, el inverso de 0 es 6.
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Operación binaria
N
Elemento Inverso
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Si e ∈ A es el
elemento neutro, se dice que a ∈ A posee inverso si existe otro
elemento en A denotado por a−1 tal que
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
Nota
Si un elemento a ∈ A posee inverso, este es único.
Ejemplo
En (Q,+), el inverso de 2 es −2.
En (Q \ {0}, ·), el inverso de 2 es 12 .
En (Q, ∗) donde a ∗ b = a + b − 3, el inverso de 0 es 6.
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N
Elemento Inverso
Sea A un conjunto no vaćıo y una operación ∗ en A. Si e ∈ A es el
elemento neutro, se dice que a ∈ A posee inverso si existe otro
elemento en A denotado por a−1 tal que
a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e.
Nota
Si un elemento a ∈ A posee inverso, este es único.
Ejemplo
En (Q,+), el inverso de 2 es −2.
En (Q \ {0}, ·), el inverso de 2 es 12 .
En (Q, ∗) donde a ∗ b = a + b − 3, el inverso de 0 es 6.
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Operación binaria
N
Ejercicio 1.
En R, definimos el operador ∗ por:
a ∗ b = a + b − 1
se puede afirmar
I) Es conmutativa.
II) Es asociativa.
II) Tiene elemento neutro.
Solución:
I) Es conmutativa debido a que la suma es conmutativa.
II) Es asociativa debido a que la suma es asociativa.
III) Sea a ∈ R : a ∗ e = a entonces a + e − 1 = a→ e = 1
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N
Ejercicio 1.
En R, definimos el operador ∗ por:
a ∗ b = a + b − 1
se puede afirmar
I) Es conmutativa.
II) Es asociativa.
II) Tiene elemento neutro.
Solución:
I) Es conmutativa debido a que la suma es conmutativa.
II) Es asociativa debido a que la suma es asociativa.
III) Sea a ∈ R : a ∗ e = a entonces a + e − 1 = a→ e = 1
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Operación binaria
N
Ejercicio 2.
Si en Z se define una operación ∗ por a ∗ b = a + b − 3.
Determine el valor de
T = 2
(
2−1 + 3−1
4−1
+ 0−1
)
Solución: Calculemos el elemento neutro
a ∗ e = a =⇒ e = 3
Calculemos el elemento inverso
a ∗ a−1 = 3 =⇒ a−1 = 6− a
Entonces
2−1 = 4, 3−1 = 3, 4−1 = 2 y 0−1 = 6
Por lo tanto L = 19.
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Operación binaria
N
Ejercicio 2.
Si en Z se define una operación ∗ por a ∗ b = a + b − 3.
Determine el valor de
T = 2
(
2−1 + 3−1
4−1
+ 0−1
)
Solución: Calculemos el elemento neutro
a ∗ e = a =⇒ e = 3
Calculemos el elemento inverso
a ∗ a−1 = 3 =⇒ a−1 = 6− a
Entonces
2−1 = 4, 3−1 = 3, 4−1 = 2 y 0−1 = 6
Por lo tanto L = 19.
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Ejercicio 2.
Si en Z se define una operación ∗ por a ∗ b = a + b − 3.
Determine el valor de
T = 2
(
2−1 + 3−1
4−1
+ 0−1
)
Solución: Calculemos el elemento neutro
a ∗ e = a =⇒ e = 3
Calculemos el elemento inverso
a ∗ a−1 = 3 =⇒ a−1 = 6− a
Entonces
2−1 = 4, 3−1 = 3, 4−1 = 2 y 0−1 = 6
Por lo tanto L = 19.
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Ejercicio 2.
Si en Z se define una operación ∗ por a ∗ b = a + b − 3.
Determine el valor de
T = 2
(
2−1 + 3−1
4−1
+ 0−1
)
Solución: Calculemos el elemento neutro
a ∗ e = a =⇒ e = 3
Calculemos el elemento inverso
a ∗ a−1 = 3 =⇒ a−1 = 6− a
Entonces
2−1 = 4, 3−1 = 3, 4−1 = 2 y 0−1 = 6
Por lo tanto L = 19.
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Ejercicio 3.
Se define el operación ∗ en R+0 = [0; +∞〉, por:
a ∗ b = a + b + |a− b|
2
Determine el valor de verdad e indique la secuencia, sobre las
siguientes proposiciones:
I) ∗ es conmutativa.
II) ∀a, b ∈ R+0 : a ∗ b ≥ 0
III) ∗ no tiene elemento neutro.
Observamos que a ∗ b = máx{a, b}. Por lo tanto.
I) Verdadero, a ∗ b = máx{a, b} = máx{b, a} = b ∗ a.
II) Verdadero, Tenemos que a, b ∈ R+0 entonces a ∗ b ≥ 0.
III) Falso, e = 0.
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Ejercicio 3.
Se define el operación ∗ en R+0 = [0; +∞〉, por:
a ∗ b = a + b + |a− b|
2
Determine el valor de verdad e indique la secuencia, sobre las
siguientes proposiciones:
I) ∗ es conmutativa.
II) ∀a, b ∈ R+0 : a ∗ b ≥ 0
III) ∗ no tiene elemento neutro.
Observamos que a ∗ b = máx{a, b}. Por lo tanto.
I) Verdadero, a ∗ b = máx{a, b} = máx{b, a} = b ∗ a.
II) Verdadero, Tenemos que a, b ∈ R+0 entonces a ∗ b ≥ 0.
III) Falso, e = 0.
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Ejercicio 3.
Se define el operación ∗ en R+0 = [0; +∞〉, por:
a ∗ b = a + b + |a− b|
2
Determine el valor de verdad e indique la secuencia, sobre las
siguientes proposiciones:
I) ∗ es conmutativa.
II) ∀a, b ∈ R+0 : a ∗ b ≥ 0
III) ∗ no tiene elemento neutro.
Observamos que a ∗ b = máx{a, b}. Por lo tanto.
I) Verdadero, a ∗ b = máx{a, b} = máx{b, a} = b ∗ a.
II) Verdadero, Tenemos que a, b ∈ R+0 entonces a ∗ b ≥ 0.
III) Falso, e = 0.
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Ejercicio 3.
Se define el operación ∗ en R+0 = [0; +∞〉, por:
a ∗ b = a + b + |a− b|
2
Determine el valor de verdad e indique la secuencia, sobre las
siguientes proposiciones:
I) ∗ es conmutativa.
II) ∀a, b ∈ R+0 : a ∗ b ≥ 0
III) ∗ no tiene elemento neutro.
Observamos que a ∗ b = máx{a, b}. Por lo tanto.
I) Verdadero, a ∗ b = máx{a, b} = máx{b, a} = b ∗ a.
II) Verdadero, Tenemos que a, b ∈ R+0 entonces a ∗ b ≥ 0.
III) Falso, e = 0.
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Ejercicio 3.
Se define el operación ∗ en R+0 = [0; +∞〉, por:
a ∗ b = a + b + |a− b|
2
Determine el valor de verdad e indique la secuencia, sobre las
siguientes proposiciones:
I) ∗ es conmutativa.
II) ∀a, b ∈ R+0 : a ∗ b ≥ 0
III) ∗ no tiene elemento neutro.
Observamos que a ∗ b = máx{a, b}. Por lo tanto.
I) Verdadero, a ∗ b = máx{a, b} = máx{b, a} = b ∗ a.
II) Verdadero, Tenemos que a, b ∈ R+0 entonces a ∗ b ≥ 0.
III) Falso, e = 0.
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Ejercicio 4
Sobre el conjunto A = {0; 2; 4; 6; 8} definimos la operación ∗
∗ 0 2 4 6 8
0 4 6 8 0 2
8 2 4 6 8 0
6 0 2 4 6 8
4 8 0 2 4 6
2 6 8 0 2 4
Calcule
E =
[
(2−1 ∗ 6−1)−1 ∗ (6 ∗ 8−1)−1
]
∗ 4−1
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Solución:
Ordenando la tabla:
∗ 0 2 4 6 8
0 4 6 8 0 2
2 6 8 0 2 4
4 8 0 2 4 6
6 0 2 4 6 8
8 2 4 6 8 0
Notamos que e = 6, y
2−1 = 0, 6−1 = 6, 8−1 = 4, y 4−1 = 8.
Aśı
E =
[
(0 ∗ 6)−1 ∗ (6 ∗ 4)−1
]
∗ 8 = [2 ∗ 8] ∗ 8 = 6
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