Geometria_Analitica (2)

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GEOMETRÍA 
ANALÍTICA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El 14 de marzo se celebra el Día Internacional del Número Pi. Con esta celebración 
la comunidad docente y científica rinde homenaje al número, a las matemáticas y 
a la ciencia en general. 
 
 
 
 
 
PRESENTACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada día se genera más conocimiento en el 
mundo, pero por desgracia no es accesible 
para muchos, por lo que es necesario buscar 
nuevas formas para que todos lo tengan al 
alcance. 
Bajo esta premisa se ha concebido este 
material, en donde se busca que tengas acceso 
de una manera fácil al conocimiento y te 
permita el logro de tus aprendizajes, para ser 
usados en la escuela y en la vida. 
Por tal motivo, esta propuesta fusiona el 
material educativo por excelencia: “el libro” 
fusionado con los recursos multimedia que las 
nuevas tecnologías ofrecen, naciendo así el 
HIPERLIBRO. 
Este concepto está pensado en tí, por lo que se 
presenta en formato de libro, pero de una 
forma dinámica, es decir, te permite acceso a 
otros recursos que estarán al alcance en tan 
solo un clic: como videos explicativos, audios, 
imágenes, simuladores, calculadoras entre 
otros, ofreciéndote la oportunidad de usar la 
red para seguir aprendiendo. 
Te invito a que lo explores y que decidas el 
ritmo de tu aprendizaje, pero sobre todo que 
te sirva para adquirir más saberes, con la 
finalidad de que seas un mejor alumno y una 
mejor persona para el bien de tu escuela, el de 
tus familiares y tu comunidad. 
Éxito. 
Aristófanes Madrigal Uc 
 
 
Contenido 
 ........................................................................... 1 
Valorando tus saberes ......................................................................................................... 2 
Lugares Geométricos ............................................................................................................... 3 
Sistemas de Referencias .......................................................................................................... 5 
Sistema de coordenadas Polar ........................................................................................... 6 
Sistema Cartesiano ............................................................................................................... 6 
Puntos ................................................................................................................................. 7 
Cuadrantes ......................................................................................................................... 8 
Primer cuadrante .............................................................................................................. 8 
Segundo cuadrante .......................................................................................................... 9 
Tercer cuadrante ............................................................................................................... 9 
Cuarto cuadrante .............................................................................................................. 9 
Para saber más .................................................................................................................... 10 
Manos a la obra ................................................................................................................... 10 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 12 
Distancia entre dos puntos ............................................................................................... 12 
Para saber más .................................................................................................................... 19 
Manos a la obra ................................................................................................................... 19 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 20 
Punto Medio ........................................................................................................................ 20 
Para saber más .................................................................................................................... 24 
Manos a la obra ................................................................................................................... 24 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 25 
Pendiente de un segmento o recta ................................................................................. 25 
Para saber más .................................................................................................................... 30 
Ángulo de inclinación de la recta................................................................................. 30 
Manos a la obra ................................................................................................................... 32 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 33 
Rectas paralelas y perpendiculares ............................................................................. 34 
Para saber más .................................................................................................................... 38 
Manos a la obra ................................................................................................................... 38 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 39 
 
 
Ángulo entre dos rectas ................................................................................................ 39 
Para saber más .................................................................................................................... 41 
Manos a la obra ................................................................................................................... 41 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 41 
 ....................................... 42 
Valorando tus saberes ....................................................................................................... 43 
La recta ................................................................................................................................. 44 
Lugar geométrico de la recta........................................................................................ 44 
Ecuaciones de la recta ................................................................................................... 45 
Para saber más .................................................................................................................... 50 
Manos a la obra ................................................................................................................... 50 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 51 
Formas de escribir la ecuación de una recta.............................................................. 51 
Para saber más .................................................................................................................... 61 
Manos a la obra ................................................................................................................... 62 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 63 
Para saber más .................................................................................................................... 71 
Manos a la obra ...................................................................................................................72 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 72 
 ................ 73 
Valorando tus saberes ....................................................................................................... 74 
Lugar Geométrico de la Circunferencia .......................................................................... 75 
Definición de circunferencia ............................................................................................. 75 
Elementos de la circunferencia ........................................................................................ 75 
Ecuación de la circunferencia ........................................................................................... 76 
Para saber más .................................................................................................................... 83 
Manos a la obra ................................................................................................................... 84 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 85 
 ............................. 86 
Valorando tus saberes ....................................................................................................... 87 
Lugar Geométrico de la Parábola .................................................................................... 88 
Definición de parábola ...................................................................................................... 89 
Elementos de la parábola ................................................................................................. 89 
 
 
Ecuación de la parábola con vértice en el origen ......................................................... 89 
Elementos y ecuación de una parábola con vértice en el origen ........................... 90 
Para saber más .................................................................................................................... 94 
Manos a la obra ................................................................................................................... 94 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 95 
Elementos y ecuación de una parábola con vértice en (𝒉, 𝒌) ..................................... 96 
Parábola horizontal ......................................................................................................... 96 
Parábola vertical .............................................................................................................. 96 
Para saber más ..................................................................................................................101 
Manos a la obra .................................................................................................................101 
Evaluando tus aprendizajes ............................................................................................101 
.....................................102 
Valorando tus saberes .....................................................................................................104 
Lugar Geométrico de la Elipse .......................................................................................104 
Definición de Elipse ..........................................................................................................105 
Elementos de la elipse .....................................................................................................105 
Ecuación y elementos de la elipse con centro en el origen ......................................105 
Elipse horizontal ............................................................................................................106 
Elipse vertical .................................................................................................................106 
Para saber más ..................................................................................................................111 
Manos a la obra .................................................................................................................111 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
2 
 
APRENDIZAJES ESPERADOS 
• Caracteriza de forma analítica los problemas geométricos de localización y trazado de lugares 
geométricos. 
• Ubica en el plano, en distintos cuadrantes, y localiza puntos en los ejes y los cuadrantes mediante 
sus coordenadas. 
 
La Geometría Analítica tiene por objeto la resolución de problemas 
geométricos utilizando métodos algebraicos. El sistema que se emplea 
para representar gráficas fue ideado por el filósofo y matemático francés 
Descartes (1596 -1650), quien usó su nombre latinizado, Renatus 
Cartesius, y por esta razón se conoce con el nombre de ejes cartesianos. 
La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, 
las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y 
numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se 
puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del 
punto a cada uno de los ejes. 
 
Valorando tus saberes 
 
Selecciona la respuesta correcta 
1) El plano cartesiano se representa en 
A) 2 Dimensiones 
B) No requiere dimensiones 
C) 3 Dimensiones 
D) 1 Dimensión 
 
2) El Plano Cartesiano puede ser utilizado para 
A) Realizar operaciones matemáticas 
B) Recolectar datos estadísticos 
C) Ubicación de puntos 
D) Trazado de cuerpos geométricos 
 
3) ¿Cuál de las siguientes opciones podría considerarse bidimensional? 
A) un edificio 
B) un balón de fútbol 
C) una caja de herramientas 
D) el retrato de una persona en una foto 
 
https://personajeshistoricos.com/biografia-corta/rene-descartes/
3 
 
4) ¿Cuál de los siguientes conjuntos de figuras es posible representar en el plano 
cartesiano? 
A) puntos, líneas, recta y figuras planas 
B) cubos, pirámides y paralelepípedos 
C) no es posible representar ningún tipo de figuras 
D) esferas, cubos y pirámides 
 
5) Todo plano cartesiano esta divido en: 
A) un cuadrante 
B) tres cuadrantes 
C) dos cuadrantes 
D) cuatro cuadrantes 
6) Un punto en el plano cartesiano debe tener coordenadas 
A) (x, y) 
B) (y, x) 
C) (s, t) 
D) (x, m) 
 
Lugares Geométricos 
El lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos que satisfacen una determinada 
propiedad. Dicha propiedad se enuncia habitualmente en términos 
de distancias a puntos, rectas o circunferencias fijas en el plano. 
En muchas ocasiones, los lugares geométricos que satisfacen una propiedad dada son 
elementos sencillos (una recta, una circunferencia, una curva cónica,...), mientras que en 
otras ocasiones pueden corresponderse con trazados mucho más complejos. 
 
Fuente: http://www.wikillerato.org/Concepto_de_lugar_geom%C3%A9trico.html 
 
En geometría viste algunos lugares geométricos, tales como la mediatriz y la bisectriz. En 
el caso de la mediatriz, se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos 
del plano que equidistan (están a la misma distancia) de los puntos A y B. La mediatriz de 
un segmento AB es una recta perpendicular al propio segmento AB y que pasa por su 
punto medio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
A B 
C 
Una recta es una sucesión de puntos 
que están alineados 
mediatriz 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
Veamos otro caso, la base de un triángulo (segmento AB) mide 8 cm, ¿cuánto miden los 
otros dos lados (segmentos CA y CB), si el perímetro de dicho triángulo mide 24 cm? 
 
 
 
 
Enlista en la siguiente tabla las longitudes para el segmento CA y CB que son solución 
del problema. Encuentra por lo menos seis soluciones. 
La longitud faltante es 16 cm, por lo que se pueden obtener varios casos 
Longitud de CA Longitud de CB 
12 4 
11 5 
10 6 
9 78 8 
7 9 
 
Aquí se representan varios puntos 
 
 
 
 
 
Si se unen varios puntos el resultado es un lugar geométrico llamado elipse. 
 
 
Para cualquier punto que esté sobre la mediatriz, la 
distancia al punto A será la misma que al punto B. 
Ejemplo: 
Distancia 1 = Distancia 2 
Distancia 3 = Distancia 4 
A B 
C 
P1 
P2 
C 
A B 
8 cm 
5 
 
 
 
Sistemas de Referencias 
Cuando se habla de un sistema de referencia, normalmente nos referimos a un conjunto 
de convenciones que un observador necesita, dentro de un sistema físico mecánico, para 
poder medir la posición y otras magnitudes físicas de un objeto en estudio. 
Los sistemas de referencia son útiles en diversas tareas cotidianas y profesionales, aquí 
algunos ejemplos de ello: 
Los sistemas de referencia son utilizados en el ámbito vial, por ejemplo, para medir 
las longitudes de las diferentes carreteras y caminos del país. 
En la geografía también se emplean distintos sistemas de referencia, 
un ejemplo de ellos es la división del planisferio terrestre, útil para 
ubicar lugares geográficos 
 
Los sistemas de referencia también son útiles en las artes, al 
ampliar calcar, ampliar o reducir un dibujo, por ejemplo. 
 
Finalmente, los sistemas de referencia también son útiles en ciencias 
médicas como la anatomía 
Fuente: http://matematicas.cosdac.sems.gob.mx/matematicas/2017/09/28/momento-4-para-reflexionar/ 
 
Un sistema de referencia es un punto y un sistema de ejes, que suponemos fijos en el 
Universo, y que se toman como referencia para medir la distancia a la que se encuentra 
el objeto. 
6 
 
Entre los puntos que forman el sistema de referencia hay que destacar el origen de 
coordenadas (O). Es el punto donde se cruzan los ejes de coordenadas. Es el punto de 
origen de las medidas por lo que le corresponden las coordenadas (O). 
 
Se emplean distintos sistemas de referencia para ubicar puntos en el plano bidimensional 
y en el espacio tridimensional. Por medio de estos sistemas o ejes de coordenadas las 
figuras o superficies que describen la posición de puntos al desplazarse en ciertas 
condiciones pueden dibujarse, representarse y analizarse por medio de ecuaciones. Los 
conceptos básicos como el de coordenadas de un punto que introdujo, en el siglo XVII 
el filósofo y matemático Rene Descartes. 
Los sistemas de referencia bidimensionales (dos dimensiones) más usados son el sistema 
el sistema polar y el sistema cartesiano. 
 
Sistema de coordenadas Polar 
El sistema de coordenadas polares es un sistema coordenado bidimensional en el cual 
cada punto (posición) en el plano está determinado por un ángulo y una distancia. Este 
sistema es especialmente útil en situaciones donde la relación entre dos puntos es más 
fácil de expresar en términos de ángulos y distancias. 
 
 𝑟=distancia 
 𝜃=ángulo 
 
 
 
 
Sistema Cartesiano 
Además de su uso en matemáticas, la utilidad cotidiana de las coordenadas cartesianas 
suele ser localizar sitios en los mapas. Los planos suelen estar divididos en sectores con 
ejes horizontales y verticales. El mapa puede ser de unas pocas calles, una ciudad o del 
globo terráqueo entero. Así se puede saber dónde vive un amigo de tu barrio, dónde te 
encuentras en la visita a una ciudad o dónde está la atracción a la que quieres ir en el 
parque de atracciones. 
Otro contexto en el que encontramos frecuentemente planos y coordenadas es cuando 
ponemos el GPS. Pero cuidado, el GPS no da coordenadas cartesianas, aunque en la 
pantalla del móvil veamos un plano, la tierra es esférica y el GPS se geolocaliza utilizando 
satélites sobre la superficie de la tierra. Los valores que utiliza el GPS son los de 
la latitud (lo mucho o poco que estemos al norte o al sur del ecuador), y la longitud (que 
mide si estamos al este o al oeste del meridiano de Greenwich). 
7 
 
El sistema de coordenadas cartesianas en el plano está constituido por dos rectas 
perpendiculares que se intersecan en un punto “O” al que se le llama “el origen” y que 
se extienden de forma indefinida. Una de las rectas se acostumbra a representarla en 
posición horizontal y se le da el nombre de eje X o eje de las abscisas; a la otra recta, 
vertical, se le denomina eje Y o eje de las ordenadas, y ambas constituyen los dos ejes 
de coordenadas rectangulares, los cuales dividen al plano en cuatro partes llamadas 
cuadrantes. 
 
 
 
 
 
 
Puntos 
Un punto es un elemento geométrico sin dimensiones cuya posición en el espacio 
cartesiano de dos dimensiones se identifica mediante un par de números reales X,Y. 
Un punto se representa por una letra mayúscula usando las primeras letras del 
abecedario y su coordenada se representa entre paréntesis separado por una coma en 
donde siempre se escribe primero el valor del eje X, seguido del valor del eje Y. 
 
Ubicación de puntos en el plano cartesiano 
Para localizar un punto P en el plano cartesiano se toma como referencia el origen, a 
partir de él se avanza tanto como lo indique el primer número (abscisa, 𝑥) hacia la derecha 
o izquierda, según sea su signo, y a partir de la nueva posición se avanza hacia arriba o 
abajo, según lo indique el signo del segundo número (ordenada, 𝑦). 
 
 
 
 
 
 
 𝐴 (3,2) 𝐵 (−5,4) 
Partiendo del origen, Primero Partiendo del origen, Primero 
avanzamos 3 posiciones a la derecha avanzamos 5 posiciones a la izquierda 
y luego 2 posiciones hacia arriba y luego 4 posiciones hacia arriba 
Eje x 
Eje y 
Origen 
A 
B 
8 
 
Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuadrantes 
En el plano cartesiano hay cuatro cuadrantes, los cuadrantes se numeran del 1° al 4° con 
números romanos en sentido contrario a las agujas del reloj, tomando como punto 
central el origen. 
 Cuadrantes 
 
 
 
 
 
Primer cuadrante 
Las coordenadas X e Y siempre son números positivos. 
X positiva significa que la posición está a la derecha del origen. 
Y positiva que está por encima del origen. 
Así que, en este cuadrante, (X,Y) son positivos. Podemos escribirlo de manera 
abreviada (+, +). 
 
 
 
 
 
I 
III 
II 
IV 
I 
(+, +) 
 
 
Puntos 
𝐴 (5,2) 
𝐵(−1,5) 
𝐶(0, −2) 
𝐷(4, −5) 
𝐸( −4, −3) 
𝐹(−5,0) 
A 
B 
E 
C 
D 
F 
9 
 
Segundo cuadrante 
Los valores positivos indican cuántas posiciones contar hacia la derecha o hacia arriba 
del origen, X e Y respectivamente. De la misma manera los valores negativos indican las 
posiciones hacia la izquierda o hacia abajo del origen de los ejes X e Y. Por ejemplo, si la 
coordenada X tiene el valor (-5) significa que está 5 posiciones a la izquierda del origen. 
Si la Y tiene valor (-1) significa que está una posición por debajo del origen. 
X negativa indica que la posición está a la izquierda del origen. 
Y positiva que está por encima del origen. 
De esta manera (X,Y) son (−, +). 
 
 
 
 
 
 
Tercer cuadrante 
 
Aquí ambos valores son negativos. 
X negativa indica que la posición está a la izquierda del origen. 
Y negativa que está por debajo del origen. 
Entonces (X,Y) son (−, −). 
 
 
 
 
 
 
Cuarto cuadrante 
Los valores de X e Y serán positivo y negativo respectivamente. 
X positiva indica que la posición está a la derecha del origen. 
Y negativa que está por debajo del origen. 
Por tanto (X,Y) son (+, −). 
 
II 
(−, +) 
III 
(−,−) 
10 
 
 
 
 
 
 
 
OJO: Cuando el punto se ubica sobre uno de los ejes, entonces no pertenece a ningún cuadrante. 
 
Dados los siguientes puntos indica la coordenada y el cuadrante donde se encuentra. 
 
Punto Coordenada Cuadrante 
A (−5, 5) II 
B (0, −3) No tiene 
C (6, −5) IV 
D (2, 2) I 
E (−6, −4) III 
F (−2, 0) No tiene 
 
 
 
Para saber más 
 
 
 
 
 
 
Manos a la obra 
 
1. Ubica en el plano cartesiano los siguientes puntos 
 
 
 
IV 
(+,−) 
A 
B 
E 
C 
D 
F 
Simulador Educa+ Video PruebaT 
A (2,-3) B (1,5) C (4,0) 
D (-2,-1) E (0,-5) F (1,-4) 
G (-3,-5) H (-2,2) 
https://www.educaplus.org/game/coordenadas-de-un-punto-en-el-plano
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/6d6a1c0d3f55c2c073414a5236bfc3be/159051/5-356
11 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Dados los siguientes puntos indica la coordenada y el cuadrante donde se 
encuentra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Encuentra la coordenada de los siguientes puntos para que sean simétricos con 
respecto al eje 𝑥. Ubica cada punto en el plano cartesiano. 
 
a) M (3, -2) 
b) N (-1, 4) 
c) P (2, 5) 
d) Q (-4,-1) 
 
4. Encuentra la coordenada de los siguientes puntos para que sean simétricos con 
respecto al eje 𝑦. Ubica cada punto en el plano cartesiano. 
 
a) A (-1, -6) 
b) B (3, 3) 
c) C (-4, 2) 
d) D (4,-5) 
 
 
 
 
Punto Coordenada Cuadrante 
A 
B 
C 
D 
E 
F 
G 
 
 
 
 
A 
D
B 
C 
F 
E 
B 
G 
12 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
 Khan Academy Khan Academy 
 Grafica puntos Identifica coordenadas 
 
Distancia entre dos puntos 
En los últimos años se ha hecho muy popular Google Maps, esta aplicación además de 
indicarnos la mejor ruta para llegar a nuestro destino, también tiene otras 
funcionalidades, como indicarnos la distancia entre dos lugares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En el mapa se puede apreciar que la distancia que existe entre el parque San Román y el parque IV Centenario es de 1 kilómetro (1 km) . 
Esta y otras aplicaciones hacen uso de las 
coordenadas geográficas (latitud y longitud) para 
determinar la distancia entre dos puntos. 
Por lo tanto, es posible determinar la ubicación de 
cualquier ciudad o un lugar en particular 
conociendo su latitud y longitud. 
A continuación, se dan las coordenadas de los lugares marcados en el mapa 
Coordenadas parque San Román 
 (19.84264643937908, -90.54198016739127) 
Coordenadas parque IV Centenario 
(19.846816563303463, -90.53346768242339) 
Parque IV Centenario 
(San Martín) 
https://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_geogr%C3%A1ficas
https://es.khanacademy.org/math/cc-fifth-grade-math/imp-geometry-3/imp-intro-to-the-coordinate-plane/e/graphing_points
https://es.khanacademy.org/math/cc-fifth-grade-math/imp-geometry-3/imp-intro-to-the-coordinate-plane/e/identify-coordinates
13 
 
Con esta información y usando una “fórmula matemática” se puede determinar la 
distancia que existe entre estos dos lugares. 
De la misma manera se puede determinar la distancia entre dos puntos para las 
coordenadas cartesianas 
Veamos el siguiente ejemplo: 
Calcula la distancia entre los puntos 𝐴(1,1) y 𝐵(5,4) 
Trazamos los puntos en el plano cartesiano y unimos con una línea los puntos A y B 
 
 
 
 
 
 
 
Formamos un triángulo rectángulo. 
 
 
 
 
 
 
 
Por el teorema de Pitágoras calculamos la longitud del segmento AB 
 
 
 
 
 
 
 
14 
 
Dados los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2). 
Generalizando el ejemplo anterior se tiene 
 
 
 
 
 
 
 
Calcula la distancia entre los puntos dados 
a) A (3,2) y B(-5,3) 
Para el punto A, x1=3 y1=2; para el punto B, x2=−5 y2=3 
Usando Geogebra podemos ubicar los puntos y trazar el segmento que une los puntos 
 
 
 
 
 
 
 
Como se vio anteriormente se puede observar que es posible calcular la distancia entre 
dos puntos cualquiera usando la fórmula de distancia entre dos puntos. 
3 − (−5) = 8 
3 − 2 = 1 
15 
 
b) A (3,-1) B (-2,-4) 
Para el punto A, x1=3 y1=−1; 
para el punto B, x2=−2 y2=−4 
c) M(7,4) N(-3,5) 
Para el punto A, x1=7 y1=4; para el punto B, x2=−3 y2=5 
d) A (3, 
1
2
) B (−2, 
1
4
) 
Para el punto A, x1=3 y1= 
1
2
; para el punto B, x2=−2 y2=
1
4
 
1
4
1
2
16 
 
e) M (−
1
4
 , 
1
6
) N (
1
2
 , −
5
6
) 
Para el punto A, x1=−
1
4
 y1= 
1
6
; para el punto B, x2=
1
2
 y2=−
5
6
 
1
2
5
6
1
6
f) Verifica que los puntos A (-2,-3), B (-4,-5) y C (-1,-6) son los vértices de un 
triángulo isósceles 
Un triángulo isósceles debe tener dos lados con igual longitud 
Trazamos el triángulo para idetificar por simple inspección que lados tienen la 
misma longitud. 
Del triángulo se observa que el lado AC y el lado BC 
tienen la misma longitud. Por lo que usando la formula de 
distancia entre dos puntos lo podremos verificar 
analiticamente y asegurar que si son lados iguales. 
Calculando la distancia entre los puntos A y C 
Para el punto A x1=−2 y1=−3; 
para el punto C x2=−1 y2=−6 
17 
 
 Sustituyendo en la fórmula de distancia entre dos puntos. 
𝑑𝐴𝐶 = ට 
Calculando la distancia entre los puntos B y C 
Para el punto B x1=−4 y1=−5; 
para el punto C x2=−1 y2=−6 
Sustituyendo en la fórmula de distancia entre dos puntos. 
𝑑𝐵𝐶 = ට 
Como dAC =√10 y dBC=√10 entonces el triángulo ABC es isósceles. 
g) Determina el perímetro del triángulo formado por los puntos D(6,5) ,E(3,7) y F(2,-1) y 
averigua si es o no un triángulo rectángulo. 
Calculamos las longitudes de los lados del triángulo 
Distancia DE 
̅̅ ̅̅𝐷𝐸 √(= 3 − 6)2 (+ 7 − 5)2 = √(−3)2 + (2)2 = √9 + 4 = √13 ≈ 3.605 
Distancia DF 
̅̅ ̅̅𝐷𝐹 √(= 2 − 6)2 (+ −1 − 5)2 = √(−4)2 + (−6)2 = √16 + 36 = √52 ≈ 7.211 
Distancia EF 
̅̅ ̅̅𝐸𝐹 √(= 2 − 3)2 (+ −1 − 7)2 = √(−1)2 + (−8)2 = √1 + 64 = √65 ≈ 8.062 
18 
 
Sumamos los tres lados 
𝐷𝐸̅̅ ̅̅ + 𝐷𝐹̅̅ ̅̅ + 𝐸𝐹̅̅ ̅̅ =3.605+7.211+8.062=18.878 
Para determinar si un triángulo es rectángulo, usaremos el teorema de Pitágoras, 
ya que se debe de cumplir que: 
(hiponetusa)2=(cateto1)2 + (cateto2)2 
La hipotenusa es el lado con mayor longitud 
(√65)
2
= (√52)
2
+ (√13)
2
 
Al elevar al cuadrado se cancela la raíz cuadrada 
 65 = 52 + 13 
 65 = 65 Si es un triangulo rectángulo 
h) Calcula la distancia que hay entre el Palacio de Bellas Artes y la Catedral Metropolitana 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escala 1cm:65m 
Primero ubicamos las coordenadas de estos dos sitios 
Palacio Bellas Artes P(3, 6) 
Catedral Metropolitana C(16, 5) 
Aplicamos la formula de distancia entre dos puntos 
𝑑𝑃𝐶 = √(16 − 3)
2 + (5 − 6)2 = √(13)2 + (−1)2=√169 + 1 = √170 = 13.038 
Usando la escala 1:65 para la distancia de 13.038, aplicado regla de 3 directa se tiene 
una distancia de 847.5 m 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 
19 
 
Para saber más 
 
 
 
 
Simulador Educaplus Video PruebaT Video PruebaT 
 
Manos a la obra 
 
1. Hallar la distancia entre: 
a) 𝑨 ( 𝟒, 𝟏 ) 𝒚 𝑩 ( 𝟑, −𝟐 ) 
b) 𝑪 ( −𝟏, −𝟓 ) 𝒚 𝑫 ( 𝟐, −𝟑) 
c) 𝑴 ( 
𝟐
𝟑
 ,
𝟏
𝟒
) 𝒚 𝑵 (−
𝟏
𝟑
,
𝟑
𝟒
) 
d) 𝑷 (
𝟐
𝟓
 , −𝟐) 𝒚 𝑸 (
𝟏
𝟐
, 𝟒) 
2. Verificar que los puntos A (2, 1), B (2,2) y C (5, 2) forman un triángulo isósceles. 
3. Encuentra el perímetro del triángulo formado por los puntos (2, 5), (3,4) (4, 3) y di qué 
tipo de triángulo es. 
4. Utilizando la distancia entre dos puntos verifica que los puntos M (5, 5), N (3,7) y P (2,0) 
son los vértices de un triángulo rectángulo. 
5. Demostrar que los puntos F (1, 5), G (2,1), H (1,5) e I (2, 1) son los vértices de un 
paralelogramo. Recuerda: En el curso de Geometría y Trigonometría II se vio que un paralelogramo es un 
cuadrilátero con lados opuestos paralelos y de la misma longitud. 
6. Hallar la longitud de las diagonales del paralelogramo que tiene como vértices los 
puntos: A ( 0,0 ); B ( 3,0 ); C ( 4,2 ) y D ( 1,2 ) 
7. Calcula el área de la círculo, si los extremos del diámetro están en los puntos P(3,-1) y 
Q (6,2) 
8. Calcula el perímetro del siguiente terreno. Cada cuadro vale 10 metros 
 
 
 
https://www.educaplus.org/game/distancia-entre-dos-puntos
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/068e41a04c8a85a52ad619b75e25ed10/159053
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/ef76e67db1ed6fd8eb1104537725e868/159054
20 
 
9. Si se desea viajarpor mar del Puerto de Campeche al Puerto de Veracruz determina la 
longitud de la distancia más corta aproximada entre estas dos ciudades. Escala 1 cm : 39 km 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
 
Punto Medio 
Cuando se tiene la longitud de un segmento y con apoyo de una regla se puede obtener 
el punto medio del segmento; pero cuando se conocen las coordenadas de los extremos 
el segmento se utiliza un método analítico para calcular las coordenadas del punto 
medio. 
 
 
 
 
 
 
 
El punto medio de un segmento es el punto que se encuentra a la misma distancia de sus 
puntos extremos de dicho segmento 
8 
7 
6 
5 
4 
3 
2 
1 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
1
1 
12 13 14 
1
5 
16 17 
A y B son los puntos extremos de 
un segmento 
M es el punto medio de los puntos 
A y B 
https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-analytic-geometry/hs-geo-distance-and-midpoints/e/distance_formula
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/33351/933a3b9c00aef55e37694cd0fe0e09321/345835
21 
 
Observa el siguiente vídeo para que aprendas como se obtiene las coordenadas del 
punto medio. 
 
 
 
 
 
Las coordenadas del punto medio 
 𝑥𝑚 =
𝑥1+𝑥2
2
 𝑦𝑚 =
𝑦1+𝑦2
2
 
Así la coordenada del punto medio será: 
𝑃𝑚 = (
𝑥1 + 𝑥2
2
,
𝑦1 + 𝑦2
2
) 
 
Calcula el punto medio para los siguientes pares de puntos 
a) 𝐴(3,1) 𝐵(7, −1) 
Para el punto A x1=3 y1=1; 
para el punto C x2=7 y2=−1 
𝑥𝑚 =
𝑥1+𝑥2
2
 𝑦𝑚 =
𝑦1+𝑦2
2
 
 Sustituyendo 
 𝑥𝑚 =
3+7
2
 𝑦𝑚 =
1+(−1)
2
 
 𝑥𝑚 =
10
2
= 5 𝑦𝑚 =
0
2
= 0 
Por lo que la coordenada del punto medio Pm es: 
 𝑃𝑚 = (5,0) 
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano para comprobarlo 
 
 
 
 
Pm 
https://youtu.be/ecf0mDiHMeQ
22 
 
b) 𝐴(−4, 4) 𝐵(0,9) 
Para el punto A x1=−4 y1=4; 
para el punto C x2=0 y2=9 
𝑥𝑚 =
𝑥1+𝑥2
2
 𝑦𝑚 =
𝑦1+𝑦2
2
 
 Sustituyendo 
 𝑥𝑚 =
−4+0
2
 𝑦𝑚 =
4+9
2
 
 𝑥𝑚 =
−4
2
= −2 𝑦𝑚 =
13
2
= 6.5 
Por lo que la coordenada del punto medio Pm es: 
 𝑃𝑚 = (−2,
13
2
) 
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano para comprobarlo 
 
 
 
 
 
 
 
El punto medio del segmento AB es M (2, −1). Halla las coordenadas de A, sabiendo que 
B (−3, 2). 
En este caso se conoce un punto extremo y el punto medio y se tiene que hallar los 
valores del punto A(x1, y1) 
Para el punto M xm=2 ym=−1; 
para el punto B x2=−3 y2=2 
𝑥𝑚 =
𝑥1+𝑥2
2
 𝑦𝑚 =
𝑦1+𝑦2
2
 
 Sustituyendo 
 2 =
𝑥1+(−3)
2
 −1 =
𝑦1+2
2
 
 
23 
 
Despejando x1 y y1 
 4 = 𝑥1 − 3 −2 = 𝑦1 + 2 
 3 + 4 = 𝑥1 −2 − 2 = 𝑦1 
𝑥1 = 7 𝑦1 = −4 
La coordenada del punto A será 
 𝐴(7, −4) 
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano para comprobarlo 
 
 
 
 
 
 
 
Uno de los extremos de un segmento de recta es el punto P(3 , 2) y su punto medio es el 
punto M (−3 , 5). Encuentra las coordenadas del punto extremo Q. 
En este caso se conoce un punto extremo y el punto medio y se tiene que hallar los 
valores del punto Q(x2, y2) 
Para el punto M xm=−3 ym=5; 
para el punto P x1=3 y1=2 
𝑥𝑚 =
𝑥1+𝑥2
2
 𝑦𝑚 =
𝑦1+𝑦2
2
 
 Sustituyendo 
 −3 =
3+𝑥2
2
 5 =
2+𝑦2
2
 
 Despejando x2 y y2 
 −6 = 3 + 𝑥2 10 = 2 + 𝑦2 
 −6 − 3 = 𝑥2 10 − 2 = 𝑦2 
𝑥2 = −9 𝑦2 = 8 
La coordenada del punto Q será 
 𝑄(−9, 8) 
24 
 
Ubicamos los puntos en el plano cartesiano para comprobarlo 
 
 
 
 
 
 
 
Para saber más 
 
 
 
 
 Simulador Geogebra Video PruebaT 
 
Manos a la obra 
 
1. Calcular el punto medio del segmento de extremos 
a) 𝐴( 3,4) 𝑦 𝐵(−1,2) 
b) 𝐶(−1,3) 𝑦 𝐷(2, −1) 
c) 𝑅 (
1
2
 , 5) 𝑦 𝑆 (
3
2
 , −2) 
d) 𝑃 (
3
5
 ,
1
4
) 𝑦 𝑄 (−
2
5
 , 4) 
2. El punto medio del segmento CD es M(4, 2). Halla las coordenadas de C, sabiendo que 
D(−2, 0). 
 
3. El punto medio del segmento RS es M(-2, 5). Halla las coordenadas de S, sabiendo que 
R(-5, 1). 
 
4. Uno de los extremos de un segmento de recta es el punto P1 (10, −4) y su punto medio 
es Pm (
1
2
, −
7
2
). Determina las coordenadas del otro extremo. 
 
https://www.geogebra.org/m/SX6MNA4C
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/b1496075a6117d79e681a174deefd048/159058/5-363
25 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
Pendiente de un segmento o recta 
Uno de los conceptos importantes en matemáticas es el de pendiente. La pendiente es 
relevante porque muchas de las representaciones de fenómenos son líneas rectas. 
Este concepto indica el grado de inclinación de la recta. 
La pendiente de una recta se define como el cociente del cambio en el valor de la variable 
“y”, entre el cambio en el valor de la variable “x”. 
 
Para comprender este concepto podemos imaginar una rampa en donde la inclinación 
está dada por: 
Inclinación=
Alto de la rampa
Largo de la rampa
 
 
 
 
 
 
 
Si el largo de la rampa es muy pequeño (se acerca a cero), la rampa se hará cada vez más 
vertical, en cambio si el alto de la rampa se hace muy pequeño (se acerca a cero) la rampa 
tenderá hacer horizontal. 
Ahora veamos cómo obtener el modelo (fórmula matemática) que permita obtener la 
pendiente de cualquier segmento o recta cuando se conocen dos puntos de esta. 
 
 
 
 
 
Si la altura es mucho mayor 
que el largo la rampa tendra 
una inclinación muy 
pronunciada. 
Si el largo es mucho mayor que la altura casi 
no tendremos inclinación. 
P
1
 
P
2
 y
2
 
y
1
 
x
2
 x
1
 
altura 
largo 
altura = 𝑦2 − 𝑦1 
 
largo= 𝑥2 − 𝑥1 
alto 
largo 
alto 
largo 
alto 
largo 
https://es.khanacademy.org/math/geometry/hs-geo-analytic-geometry/hs-geo-distance-and-midpoints/e/midpoint_formula
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/b1496075a6117d79e681a174deefd048/159058/5-363
26 
 
Por lo tanto, la pendiente está dada por: 
Pendiente (𝑚) =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 
Con la pendiente podemos determinar si la recta crece, decrece o también si es 
horizontal o vertical. 
Valor de la pendiente Situación Representación gráfica 
Número positivo El segmento o recta 
crece 
 
Número negativo El segmento o recta 
decrece 
 
Cero El segmento o recta 
es horizontal 
 
No existe número El segmento o recta 
es vertical 
 
 
Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano y dí si la pendiente es positiva, 
negativa, cero o no existe. 
a) M(-3, 4) y N(4, 8) b) A(0, -2) y B(-7, -2) c) P(
3
2
 , 3) y Q (5, -3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 crece horizontal decrece 
 
 
 
 
27 
 
Calcula la pendiente dada la gráfica del segmento o recta 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
Primero obtenemos dos puntos del segmento y le damos el nombre de una letra 
𝐴(−2,1) 𝐵(5, −2) en este ejemplo se toman los puntos extremos del segmento 
 
Para el punto A x1=−2 y1=1; 
para el punto B x2=5 y2=−2 
Usando la fórmula de pendiente 
 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 
 
Sustituimos 
 𝑚 =
−2−1
5−(−2)
=
−3
7
 
 
𝑚 = −
3
7
 
b) 
 
 
 
 
 
Obtenemos dos puntos de la recta y le damos el nombre de una letra 
𝑀(1,0) 𝑁(5,2) en este ejemplo se toman dos puntos que sean números enteros 
 
Para el punto M x1=1 y1=0; 
para el punto N x2=5 y2=2 
Usando la fórmula de pendiente 
 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 
 
NOTA: De preferencia tomamos los 
puntos de los extremos, aunque se 
puede tomar cualquier punto, el 
resultado de la pendiente será la 
misma. 
28 
 
Sustituimos 
 𝑚 =
2−0
5−1
=
2
4
 
Simplificando 
𝑚 =
1
2
 
Se toma ahora otra pareja de puntos para comprobar que no importa los puntos de la 
recta que tomes la pendiente tendrá el mismo valor. 
𝑃(−3, −2) 𝑄(3, 1) 
 
Para el punto M x1=−3 y1=−2; 
para el punto N x2=3 y2=1 
Usando la fórmula de pendiente 
 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 
 
Sustituimos 
 𝑚 =
1−(−2)
3−(−3)
=
1+2
3+3
 
Simplificando 
𝑚 =
3
6
=
1
2
 
c) 
 
 
 
 
Obtenemos dos puntos de la recta y le damos el nombrede una letra 
𝐶(4,2) 𝑁(4, −1) se toman dos puntos que sean números enteros 
 
Para el punto M x1=4 y1=2; 
para el punto N x2=4 y2=−1 
Usando la fórmula de pendiente 
 𝑚 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
 
 
29 
 
Sustituimos 
 𝑚 =
−1−2
4−4
=
−3
0
 ya que el denominador es cero no se puede hacer la división 
𝑚 = No existe 
Traza la recta dado un punto y la pendiente 
a) A (1,3) m=
2
3
 
 
 
 
 
 
 
b) E (-2,2) m=−
1
4
 
 
 
 
 
 
 
 
c) (2,-1) m=−3 
 
 
 
 
 
 
 
Primero ubicamos el punto 
dado en el plano cartesiano 
 
El numerador de la 
pendiente indica el 
movimiento vertical y el 
denominador indica el 
movimiento horizontal. 
2 unidades hacia arriba 
3 unidades a la derecha 
2 
3 
Primero ubicamos el punto 
en el plano cartesiano 
 
El numerador de la 
pendiente indica el 
movimiento vertical y el 
denominador indica el 
movimiento horizontal. 
Como tiene signo negativo 
solo se aplica al 
numerador. 
1 unidad hacia abajo 
4 unidades a la derecha 
 
-1 
4 
Primero ubicamos el punto 
en el plano cartesiano 
 
Para este ejemplo se 
reescribe la pendiente 
como 𝑚 = −
3
1
. 
Como tiene signo negativo 
solo se aplica al 
numerador. 
3 unidades hacia abajo 
1 unidad a la derecha 
 
A 
E 
S 
-3 
1 
30 
 
Para saber más 
 
 
 
 Video PruebaT Video1 Khan Academy Video2 Khan Academy 
 
Ángulo de inclinación de la recta 
La pendiente (𝑚) es una relación entre el cambio de las ordenadas (𝑦) y el cambio de las 
abscisas (𝑥) matemáticamente se expresa como: 
 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
 
De la siguiente grafica se puede observar que las diferencias de ordenadas 𝑦2 − 𝑦1 es un 
cambio en 𝑦 que se representa como Δ𝑦; y las diferencias de abscisas 𝑥2 − 𝑥1 es un 
cambio en 𝑥 que se representa como Δ𝑥 
 
 
 
 
𝜃 
Del estudio de los triángulos rectángulos visto en Geometría y Trigonometría se puede 
tomar la relación trigonométrica tangente que relaciona dos catetos, así: 
 
𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
=
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜
𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
= 𝑡𝑎𝑛𝜃 
Por lo tanto, la pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de la recta 
𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 
 
Para calcular el ángulo de inclinación se obtiene la función inversa de tangente. 
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑚 
 
Resolvamos algunos ejemplos para calcular el ángulo de inclinación dadas las 
pendientes, determina si la recta es creciente o decreciente 
 
P
1
 
P
2
 y
2
 
y
1
 
x
2
 x
1
 
𝑦2 − 𝑦1=Δ𝑦 
𝑥2 − 𝑥1 = Δ𝑥 
Así la pendiente la podemos reescribir 
como: 
𝑚 =
Δ𝑦
Δ𝑥
 
 
𝜃 
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/bcb91535c44484dd93b20116f2089708/159066
https://youtu.be/u-H-ujTMVzM
https://youtu.be/l3CJmFQcfIk
31 
 
Calcula el ángulo de inclinación si: 
a) 𝑚 =
3
5
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 (
3
5
) 
𝜽 = 𝟑𝟎. 𝟗𝟔° La recta es creciente ya que la pendiente es positiva 
 
b) 𝑚 = 2 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛(2) 
𝜽 = 𝟔𝟑. 𝟒𝟑° La recta es creciente ya que la pendiente es positiva 
c) 𝑚 = −
1
4
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 (−
1
4
) 
𝜃 = −14.03° La recta es decreciente ya que la pendiente es negativa 
Como la pendiente es negativa el ángulo de inclinación debe ser obtuso (entre 90° y 180°) 
por lo que se tiene que restar el valor absoluto del ángulo a 180°. 
 
𝜃 = 180° − 14.03° 
𝜽 = 𝟏𝟔𝟓. 𝟗𝟕° 
 
 
 
d) 𝑃(3, 2) 𝑄(−1, 5) 
Primero calculamos la pendiente 
 Para el punto P x1=3 y1=2; 
para el punto N x2=−1 y2=5 
Usando la fórmula de pendiente 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
Sustituimos 
 𝑚 =
5−2
−1−3
=
3
−4
 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛 (−
3
4
) 
𝜃 = −36.87° La recta es decreciente ya que la pendiente es negativa 
Como la pendiente es negativa el ángulo de inclinación debe ser obtuso (entre 90° y 180°) 
por lo que se tiene que restar el valor absoluto del ángulo a 180°. 
shift
 𝜃
tan ( ÷3 )5 =
165.97° 
32 
 
𝜃 = 180° − 36.87° 
𝜽 = 𝟏𝟒𝟑. 𝟏𝟑° 
 
e) Si pasa por los puntos 𝑃(0, −4) 𝑦 𝑄(6, 2) 
Primero calculamos la pendiente 
 Para el punto P x1=0 y1=−4; 
para el punto N x2=6 y2=2 
Usando la fórmula de pendiente 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
Sustituimos 
 𝑚 =
2−(−4)
6−0
=
6
6
= 1 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛(1) 
𝜽 = 𝟒𝟓° La recta es creciente ya que la pendiente es negativa 
f) 𝐽(−1, −3) 𝑄(3, −3) 
Primero calculamos la pendiente 
 Para el punto P x1=−1 y1=−3; 
para el punto N x2=3 y2=−3 
Usando la fórmula de pendiente 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
Sustituimos 
 𝑚 =
−3−(−3)
3−(−1)
=
−3+3
3+1
=
0
4
= 0 
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛(0) 
𝜽 = 𝟎° La recta es horizontal ya que el ángulo de inclinación es 0 
 
Manos a la obra 
1. Calcula la pendiente de los siguientes segmentos que tienen por extremos los 
siguientes puntos. 
 
A) 𝐷(3, 4) 𝐸(−3, 6) 
B) 𝐽(−2, −1) 𝐾(−5, 4) 
33 
 
C) 𝐴 (
1
3
, 4) 𝐵(2, 8) 
D) 𝑆( 7, 11) 𝑇(3, −1) 
E) 𝐶 (
1
4
, −6) 𝐷 (
3
4
, −2) 
2. Ubica los siguientes puntos en el plano cartesiano y dí si la pendiente es positiva, 
negativa, cero o no existe. 
 
a) 𝑀(2, −3) 𝑦 𝑁(4, −8) 
b) 𝑅(5, 0) 𝑦 𝑆(−1, −4) 
c) 𝐴(−
2
3
 , 7) 𝑦 𝐵(0, 7) 
d) 𝐹( 2, −3) 𝑦 𝐺(2, 3) 
e) 𝐶( 1, −3) 𝑦 𝐷(−3, −5) 
3) Traza la recta dado un punto y la pendiente de la recta 
a) 𝐴(2, 3) 𝑚 =
4
5
 
b) 𝑄(−2, 0) 𝑚 = −
1
3
 
c) 𝑆(1, −4) 𝑚 = −2 
d) 𝐷(5, 1) 𝑚 =
5
2
 
e) 𝐸(−4, −2) 𝑚 = 0 
4) Calcula el ángulo de inclinación de la recta si: 
a) 𝑚 =
7
3
 
b) 𝑚 = −
5
8
 
c) 𝑚 = 4 
d) pasa por los puntos 𝐹(−2, −3) 𝑦 𝐺(2, 3) 
e) pasa por los puntos 𝐴(1, −5) 𝑦 𝐵(1, −8) 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/ec83c92353ed8cd7c8869be1540818bd/159067
https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:linear-equations-graphs/x2f8bb11595b61c86:slope/e/slope-from-a-graph
https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:linear-equations-graphs/x2f8bb11595b61c86:slope/e/slope-from-two-points
34 
 
Rectas paralelas y perpendiculares 
Dos rectas son paralelas si el ángulo de inclinación de cada una de ellas tiene el mismo 
valor, por tanto, sus pendientes son iguales 
Gráficamente se representa 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1. 
Graficamente se puede observar que el ángulo entre las dos rectas es 90° 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las rectas se representan generalmente con la letra 𝑙 del inglés line (línea) 
Comprueba que la recta 𝑙1, que pasa por los puntos A (1,1) y B (5, 3) es paralela a la recta 
𝑙2 que pasa por los puntos C (6, -1) y D (2, -3). 
Obtenemos la pendiente de cada recta 
Para 𝑙1 
Para el punto A x1=1 y1=1; 
para el punto B x2=5 y2=3 
𝜃1 𝜃2 
Si 𝜃1 = 𝜃2 
Entonces: 
𝑡𝑎𝑛𝜃1 = 𝑡𝑎𝑛𝜃2 
Como 
 𝑡𝑎𝑛𝜃 = 𝑚 
Se tiene así que 
 𝒎𝟏 = 𝒎𝟐 
 
𝒎𝟏 ∙ 𝒎𝟐 = −𝟏 
35 
 
Usando la fórmula de pendiente dados 2 puntos 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
Sustituimos 
 𝑚1 =
3−1
5−1
=
2
4
 
Simplificando 
𝑚1 =
1
2
 
 
Obtenemos la pendiente de cada recta 
Para 𝑙2 
Para el punto C x1=6 y1=−1; 
para el punto D x2=2 y2=−3 
Usando la fórmula de pendiente dados 2 puntos 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
Sustituimos 
 𝑚2 =
−3−(−1)
2−6
=
−2
−4
 
Simplificando 
𝑚2 =
1
2
 
Como 𝑚1 = 𝑚2 entonces las rectas son paralelas. 
 
 
 
 
 
Comprueba analíticamente que los puntos S(1,1); R(5, 3); T( 6, -1) y U(2,-3) son los 
vértices de un paralelogramo. 
Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene dos pares de lados paralelos. 
Dibujamos primero los puntos y los unimos para formar el paralelogramo 
36 
 
Observando el gráfico tenemos que demostrar que los lados SR y UT, así 
como SU y RT son paralelos 
Lado SR 
𝑚𝑆𝑅 =
3 − 1
5 − 1
=
2
4
=
1
2
 
Lado TU 
𝑚𝑇𝑈 =
−3 − (−1)
2 − 6
=
−2
−4
=
1
2
 
Lado SU 
𝑚𝑆𝑈 =
−3 − 1
2 − 1
=
−4
1
=−4 
Lado RT 
𝑚𝑅𝑇 =
−1 − 3
6 − 5
=
−4
1
= −4 
Como tiene dos parejas de lados paralelos el cuadrilátero si es un paralelogramo 
Comprueba analíticamente que la recta 𝑙1, que pasa por los puntos A (2, 5) y B (7, 3) es 
perpendicular a a la recta 𝑙2 que pasa por los puntos C (-1, -2) y D (1, 3). 
Para demostrar que las rectas son perpendiculares se debe cumplir que 
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1 
Obtenemos la pendiente de cada recta 
Para 𝑙1 
Para el punto A x1=2 y1=5; 
para el punto B x2=7 y2=3 
Usando la fórmula de pendiente dados 2 puntos 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
Sustituimos 
 𝑚1 =
3−5
7−2
=
−2
5
 
 
Obtenemos la pendiente de cada recta 
Para 𝑙2 
Para el punto C x1=−1 y1=−2; 
para el punto D x2=1 y2=3 
Como 
𝑚𝑆𝑅 = 𝑚𝑇𝑈 
Entonces los 
lados SR y TU 
son paralelos 
Como 
𝑚𝑆𝑈 = 𝑚𝑅𝑇 
Entonces los 
lados SU y RT 
son paralelos 
37 
 
Usando la fórmula de pendiente dados 2 puntos 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
Sustituimos 
 𝑚1 =
3−(−2)
1−(−1)
=
5
2
 
Comprobando la condición de perpendicularidad 
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1 
 (−
2
5
) (
5
2
) = −1 
 −
10
10
= −1 
 −𝟏 = −𝟏 Por tanto, las rectas son perpendiculares. 
En la gráfica se puede observar que las rectas tal cruzarse forman un ángulo de 90° 
 
 
 
 
 
 
Comprueba por medio de pendientes que los puntos P(3,1), Q(6,4) y R(1,3) son los 
vértices de un triángulo rectángulo. 
Para determinar si un triángulo es rectángulo se debe formar un ángulo recto (90°) es 
decir, dos lados deben ser perpendiculares. 
Trazamos el triángulo para observar que lados del triangulo que forman el ángulo de 90° 
 
 
 
 
 
 
Calculamos la pendiente de los lados PQ y PR 
 
38 
 
Lado PQ Lado PR 
𝑚𝑃𝑄 =
4 − 1
6 − 3
=
3
3
= 1 𝑚𝑃𝑅 =
1 − 3
3 − 1
=
−2
2
= −1 
Ahora se multiplican las pendientes 
𝑚𝑃𝑄 ∙ 𝑚𝑃𝑅 = −1 
 (1)(−1) = −1 
−1 = −1 
Por lo que si son perpendiculares los lados PQ y PR 
 
Para saber más 
 
 
 
 
 Video PruebaT Simulador Geogebra 
 
 
Manos a la obra 
 
1. Averigua si la receta 𝑙, que pasa por los puntos 𝐴(3, −1) 𝑦 𝐵(−6,5), es paralela o 
perpendicular a la recta 𝑙2 que pasa por los puntos 𝐶(0,2) 𝑦 𝐷(−2, −1). 
2. Comprueba por medio de pendientes que los puntos 𝐴(1,3), 𝐵(2,6), 𝐶(7,8) 𝑦 𝐷(6,5), 
son vértices de un paralelogramo. 
3. Demuestra que la receta que pasa por los puntos 𝐴(−2,1) 𝑦 𝐵(1, −4), es paralela a la 
receta que pasa por los puntos 𝐶(8, −7) 𝑦 𝐷(5, −2). 
4. Comprueba por medio de pendientes que los puntos 𝐴(3,1), 𝐵(7,3) 𝑦 𝐶(1,5), son los 
vértices de un triángulo rectángulo. 
5. Demuestra que los cuatro puntos 𝐴(−3,1), 𝐵(−2,5), 𝐶(2,4) 𝑦 𝐷(1,0), son vértices de un 
cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares. 
6. Una receta 𝑙1, pasa por los puntos (−2, −1) 𝑦 (2,3), y otra receta 𝑙2 pasa por el punto 
(−1,2) y el punto 𝐴, cuya ordenada es −4. Determina la abscisa del punto 𝐴 cuando 𝑙2 es 
perpendicular a 𝑙𝑥. 
7. Demuestra por medio de pendientes que los puntos 𝐴(−2, −1), 𝐵(−4,3),
𝐶(3,5) 𝑦 𝐷(5,1), son vértices de un paralelogramo. 
 
39 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
 
 
Ángulo entre dos rectas 
Además de que dos rectas pueden ser paralelas o perpendiculares, también al cortarse 
o cruzarse pueden formar un ángulo distinto de 90°. 
Para conocer el valor del ángulo que forman dos rectas al cortarse podemos usar 
nuevamente las pendientes. 
 
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚1 ∙ 𝑚2
 
 
Donde: 
 𝜃: ángulo entre las rectas 
 𝑚1: pendiente inicial de la recta 𝑙1 
𝑚2: pendiente inicial de la recta 𝑙2 
 
El ángulo se mide contrario a las manecillas del reloj, 
en la recta que inicie el ángulo será 𝑚1 y la recta donde 
termine el ángulo será 𝑚2 
 
 
Determina la medida del ángulo agudo que forman las rectas con pendientes 3 y -2. 
Sea 𝑚1 = 3 y 𝑚2 = −2 
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
−2 − 3
1 + (3)(−2)
 
 
 tan 𝜃 =
−5
1−6
=
−5
−7
 
 
 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan
5
7
 
 𝜃 = 35.53° 
 
Calcula los ángulos internos del triángulo de vértices A (-2, 2), B(3, 4) y C(1, -2). 
Primero trazamos el triángulo 
 
 
 
𝑙1 
𝑙2 
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/f5ca7f0bddf729396f61df1097614301/159072
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/03d4beedfa4f77c94313757dd459e3cf/159075
40 
 
Ahora obtenemos las pendientes de los tres lados 
 𝑚𝐴𝐶 =
−2−2
1−(−2)
=
−4
3
= −
4
3
 
 𝑚𝐴𝐵 =
4−2
3−(−2)
=
2
5
 
 𝑚𝐵𝐶 =
−2−4
1−3
=
−6
−2
= 3 
 
Para la medida del ángulo del vértice A 
El ángulo se inicia en el lado AC y termina en lado AB 
𝑚1 = 𝑚𝐴𝐶 = −
4
3
 
 𝑚2 = 𝑚𝐴𝐵 =
2
5
 
𝑡𝑎𝑛 𝐴 =
2
5
− (−
4
3
)
1 + (−
4
3
) (
2
5
)
=
26
15
7
15
=
26
7
 
 
 𝐴 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛
26
7
 
 
 𝐴 = 74.931° 
Para la medida del ángulo del vértice B 
El ángulo se inicia en el lado AB y termina en lado AC 
𝑚1 = 𝑚𝐴𝐵 =
2
5
 
 𝑚2 = 𝑚𝐵𝐶 = 3 
𝑡𝑎𝑛 𝐵 =
3 − (
2
5
)
1 + (
2
5
) (3)
=
13
5
11
5
=
13
11
 
𝐵 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛
13
11
 
 
 𝐵 = 49.763° 
Para la medida del ángulo del vértice C 
El ángulo se inicia en el lado BC y termina en lado AC 
𝑚1 = 𝑚𝐵𝐶 = 3 
 𝑚2 = 𝑚𝐴𝐶 = −
4
3
 
𝑡𝑎𝑛 𝐵 =
−
4
3
− 3
1 + (3) (−
4
3
)
=
−
13
3
−3
=
13
9
 
41 
 
𝐵 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑎𝑛
13
9
 
 
 𝐵 = 55.305° 
La medida de los ángulos internos de un triángulo debe sumar ser 180° 
∡𝐴 + ∡𝐵 + ∡𝐶 = 180° 
 74.931° + 49.763°+55.305° = 180° 
Para saber más 
 
 
 
 Video 1 Prueba T Video 2 PruebaT 
 
 
Manos a la obra 
 
1. Determina la medida del ángulo agudo que forman las rectas con pendientes 
1
3
 𝑦 −
4
5
. 
2. Determina los ángulos interiores del triángulo, cuyos vértices son los puntos 
𝐴(−4,1), 𝐵 (2,3) 𝑦 𝐶(1, −4). 
3. Comprueba que los puntos 𝐴(3,1), 𝐵(7,3) 𝑦 𝐶(5,2), son vértices de un triángulo 
rectángulo y encuentra la medida de sus ángulos agudos. 
4. Encuentra la medida del ángulo obtuso del paralelogramo cuyos vértices son los 
puntos 𝐴(−4,1), 𝐵(−2,4), 𝐶(5,5) 𝑦 𝐷(3,2). 
5. Comprueba que los puntos 𝐴(−2, −1), 𝐵(−4,3), 𝐶(3,5) 𝑦 𝐷(5,1), son los vértices de un 
paralelogramo y determina la medida del ángulo obtuso que forman sus diagonales. 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
 
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/eeff7503fb88f6f0b34bf955d7e65acb/159078
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/d53db10a555f7a648fd60ea719d08a90/159079
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/d53db10a555f7a648fd60ea719d08a90/159079
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42 
 
 
 
 
43 
 
APRENDIZAJE ESPERADO 
• Caracteriza y distingue a los lugares geométricos según sus disposiciones y sus relaciones. 
(La recta) 
• Interpreta y construye relaciones algebraicas para lugares geométricos. Ecuación general 
de los lugares geométricos básicos. (La recta) 
 
Existen varias situaciones que representan un cambio lineal, ya en algebra se vieron 
varios ejemplos, los cambios lineales se representan a través de rectas que se pueden 
graficar en el plano cartesiano. 
Por ejemplo, el crecimiento del cabello se comporta de forma lineal, en promedio el 
cabello crece 0.4 mm diarios. Para una persona que tiene 2cm (20mm) de largo del 
cabello. A continuación, se muestra en una tabla la longitud del cabello en los primeros 
7 días y su grafica correspondiente. 
días 
Longitud 
(mm) 
0 20 
1 20.4 
2 20.8 
3 21.2 
4 21.6 
5 22.0 
6 22.4 
7 22.8 
 
Valorando tus saberes 
 
1. Responde verdadero o falso 
a) Si la recta es horizontal su pendiente no existe_________ 
b) Una recta puede tener más de una pendiente__________ 
c) Cuando la recta crece su pendiente es positiva_________ 
d) Si dos rectas son paralelas sus ángulos de inclinación son iguales_____________ 
e) La condición de perpendicularidad entredos rectas es m1∙m2=−1_____________ 
 
2. Calcula el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos 
a) A (3, -5) y B ( 1, 4) 
b) M (3, 3) y N ( 1, 4) 
 
3. Traza la recta que pasa por el punto y pendiente dada 
a) S (-1, 4) m=−2 
b) C(2,5) m=
2
3
 
44 
 
La recta 
 
La línea recta es el lugar geométrico de los puntos en el plano, de los cuales, cumplen 
con la condición de que, al tomar dos puntos cualesquiera, el valor de la pendiente 𝑚 
siempre es constante. 
Tomando nuevamente el ejemplo del crecimiento del cabello, de la tabla se obtienen 
algunos puntos. 
A (0, 20) B (2, 20.8) C (3, 21.2) D (6, 22.4) 
Se debe cumplir que 𝑚𝐴𝐵 = 𝑚𝐵𝐶 = 𝑚𝐶𝐷 = 𝑚𝐴𝐷 
𝑚𝐴𝐵 =
20.8−20
2−0
=
0.8
2
= 0.4 𝑚𝐵𝐶 =
21.2−20.8
3−2
=
0.4
1
= 0.4 
𝑚𝐶𝐷 =
22.4−21.2
6−3
=
1.2
3
= 0.4 𝑚𝐴𝐷 =
22.4−20
6−0
=
2.4
6
= 0.4 
Como se puede observar todas las pendientes tienen el mismo valor por lo tanto se 
cumple la condición de la recta. 
 
Lugar geométrico de la recta 
Cuando se tiene un punto en el plano cartesiano, se pueden trazar infinidad de rectas, 
como se observa en la gráfica siguiente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sin embargo, cuando se tienen dos puntos solo es posible trazar una sola recta, por lo 
tanto, podemos decir que dados dos puntos se puede definir una recta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
45 
 
Además, esta recta tiene una pendiente que no cambia, es decir, permanece constante. 
Una recta se puede representar con una ecuación de primer grado con dos variables por 
lo que se puede obtener otros puntos de ella 
 
Ecuaciones de la recta 
Para caracterizar una recta se debe de conocer al menos dos puntos de esta. Con esta 
información es posible encontrar la pendiente de la recta, así como su ecuación. 
La ecuación de la recta se puede determinar si se tienen dos puntos y está dada por 
𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
(𝑥 − 𝑥1) 
Donde: 
 𝑥1, 𝑦1 son las coordenadas del punto 1 y 
𝑥2, 𝑦2 son las coordenadas del punto 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Solo habrá una recta que pase por estos dos puntos 
 
Otra forma de obtener la ecuación de la recta es cuando se conoce la pendiente y un 
punto y está dada por: 
 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
Donde: 
 𝑥1, 𝑦1 son las coordenadas del punto dado y 
 𝑚 es la pendiente de la recta. 
 
 
 
 
 
Ecuación (1) 
Ecuación (2) 
-y 
x 
46 
 
Determina la ecuación de la recta que pasa por los puntos 
a. 𝐴(3, −1) 𝐵(−2, 2) 
Aunque se puede usar la ecuación (1) es más sencillo primero obtener la 
pendiente y después usar la ecuación (2). 
𝑚𝐴𝐵 =
2 − (−1)
−2 − 3
=
3
−5
= −
3
5
 
Sustituyendo en la ecuación 1 (se toma cualquier punto puede ser A o B) 
 𝑦 − (−1) = −
3
5
(𝑥 − 3) 
 𝑦 + 1 = −
3
5
(𝑥 − 3) 
Se multiplica ambos lados de la ecuación por 5 para cancelar el denominador 
(5) 𝑦 + 1 = −
3
5
(𝑥 − 3) (5) 
 5𝑦 + 5 = −3(𝑥 − 3) Desarrollando e igualando a cero 
5𝑦 + 5 = −3𝑥 + 9 Los miembros de la derecha pasan a la izquierda 
 3𝑥 + 5𝑦 + 5 − 9 = 0 Reduciendo términos semejantes 
3𝑥 + 5𝑦 − 4 = 0 
 
b. Obtén la ecuación de la recta que tiene de pendiente 
3
4
 y que pasa por el punto 
𝑃(3, −5) 
 
Usando la ecuación 2 
 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
 Sustituyendo la pendiente y la coordenada del punto en la ecuación. 
 𝑦 − (−5) =
3
4
(𝑥 − 3) 
 𝑦 + 5 =
3
4
(𝑥 − 3) 
 (4) (𝑦 + 5) =
3
4
(𝑥 − 3) (4) Multiplicando ambos lados por 4 
 
4𝑦 + 20 = 3𝑥 − 9 Los miembros de la izquierda pasan a la derecha 
para que el término x quede positivo 
 3𝑥 − 4𝑦 − 9 − 20 = 0 Reduciendo términos semejantes 
 3𝑥 − 4𝑦 − 29 = 0 
 
 
 
47 
 
c. Una recta pasa por los puntos 𝐴(−2,3) y 𝐵(−2, −1). Encuentra su ecuación. 
Al sustituir en la formula 𝑦 − 𝑦1 =
𝑦2−𝑦1
𝑥2−𝑥1
(𝑥 − 𝑥1), se determina que: 
 𝑦 − 3 =
−1−3
−2+2
(𝑥 − (−2)) 
 𝑦 − 3 = −
4
0
(𝑥 + 2) 
La pendiente de la recta es de la forma 
𝑐
0
 (no está definido), 
por consiguiente, es perpendicular al eje 𝑋 
y su ecuación es de la forma: 
𝑥 = 𝑥1 
Por tanto, su ecuación es: 
𝑥 = −2 
𝑥 + 2 = 0 
Es decir, la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴 y 𝐵 es: 𝑥 + 2 = 0. 
 
d. Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto M(2,6) y es perpendicular 
a la recta que pasa por los puntos A (1,3) y B(4,10). 
 
Recordemos que para obtener la ecuación de la recta necesitamos dos puntos o 
un punto y su pendiente. 
 
Para este caso se conoce el punto M y la pendiente se debe obtener de los puntos 
A y B. 
 𝑚𝐴𝐵 =
10−3
4−1
=
7
3
 
La pendiente buscada debe ser perpendicular a la 𝑚𝐴𝐵 
Para que dos pendientes sean perpendiculares se debe cumplir 
𝑚1 ∙ 𝑚2 = −1 
 
Por lo que si conocemos una pendiente se puede calcular el valor de la otra pendiente 
 
 
7
3
𝑚2 = −1 
 Despejando 𝑚2 
 𝑚2 =
−1
7
3⁄
= −
3
7
 
 
 Como 𝑀(2,6) y 𝑚 = −
3
7
 se puede obtener la ecuación de la recta 
 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
 
𝑦 − 6 = −
3
7
(𝑥 − 6) Multiplicando ambos lados por 7 
𝑌 
𝑋 
𝑥 + 2 = 0 
𝐴 
𝐵 
48 
 
(7) 𝑦 − 6 = −
3
7
(𝑥 − 6) (7) 
7𝑦 − 42 = −3(𝑥 − 6) 
7𝑦 − 42 = −3𝑥 + 18 Ordenando los términos e igualando a cero 
 3𝑥 + 7𝑦 − 42 − 18 = 0 
 3𝑥 + 7𝑦 − 60 = 0 
 
 
e. El método de depreciación en línea recta es el más sencillo de calcular, y es por 
ello por lo que es uno de los métodos más utilizados por las empresas para 
calcular la depreciación de un activo. 
Un equipo de cómputo se deprecia de manera lineal, si su vida útil es de 5 años y 
su precio de compra fue de 15 mil pesos. Determina la ecuación de depreciación. 
Para encontrar la ecuación necesitamos conocer 2 puntos 
Para 0 años el precio es de 15 mil pesos 𝐴(0, 15) 
Para 5 años el precio es de 0 pesos 𝐵(5, 0) 
Obtenemos la pendiente de la recta 
𝑚 =
0 − 15
5 − 0
=
−15
5
= −3 
Usando la ecuación 2 de la recta 
 𝑦 − 15 = −3(𝑥 − 0) 
 𝑦 − 15 = −3𝑥 
Ordenando los términos e igualando a cero 
 𝟑𝒙 + 𝒚 − 𝟏𝟓 = 𝟎 En miles de pesos 
Esta ecuación solo es válida para valores de 𝑥 entre 0 y 5 años 
 
f. Determina los vértices del triángulo, cuyos lados están dados por las ecuaciones 
de las rectas: 
3𝑥 + 7𝑦 − 13 = 0; 𝑥 − 𝑦 − 1 = 0; 7𝑥 + 3𝑦 + 23 = 0 
 
Se combinan las rectas para formas tres sistemas de ecuaciones, los cuales se 
resuelven por cualquiera de los métodos conocidos: 
Sistema de ecuaciones para el vértice A: 
3𝑥 + 7𝑦 − 13 = 0 
𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 
Punto de intersección: 𝐴(2,1) 
49 
 
Sistemas de ecuaciones para el vértice B 
𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 
7𝑥 + 3𝑦 + 23 = 0 
Punto de intersección: 𝐵(−2, −3) 
Sistema de ecuaciones para el vértice C 
3𝑥 + 7𝑦 − 13 = 0 
7𝑥 + 3𝑦 + 23 = 0 
Punto de intersección: 𝐶(−5,4) 
 
 
g. Si se compran 20 pantalones el precio unitario de la prenda es de $300, pero si 
se compran 50, entonces el costo de cada pantalón es de $280, encuentra la 
ecuación de la demanda. 
Considerando: 
 𝑥 = número de pantalones 𝑦 = precio por pantalón 
Se forman los siguientes pares coordenados: 
 (20,300) y (50, 280) 
Se aplica la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y se obtiene: 
 𝑦 − 300 =
280−300
50−20
(𝑥 − 20) → 𝑦 − 300 = −
20
30
(𝑥 − 20) 
 𝑦 − 300 = −
2
3
(𝑥 − 20) 
Al transformar esta última ecuación a su forma general, obtiene la ecuación de la demanda: 
2𝑥 + 3𝑦 − 940 = 0 
h. Un resorte de deforma 2 centímetros bajo la acción de una fuerza de 15 newtons, 
si la fuerza se incrementa a 25 newtons, entonces se deforma 3
1
3
 de centímetro, 
¿Cuál es la ecuación que representa la deformación que sufre el resorte en 
funciónde la fuerza? 
Considere: 
 𝑥 = fuerza que actúa sobre el resorte 𝑦 = deformación 
Se forma entonces la siguiente pareja de puntos: 
 5(1,2) y (25, 3
1
3
) 
 
50 
 
Se aplica la ecuación de la recta que pasa por dos puntos y al convertir a su forma general se 
obtiene: 
𝑦 − 2 =
3
1
3
− 2
25 − 15
(𝑥 − 15) → 𝑦 − 2 =
10
3
− 2
10
(𝑥 − 15) → 
 𝑦 − 2 =
4
3
10
(𝑥 − 15) 
 𝑦 − 2 =
2
15
(𝑥 − 15) 
 15(𝑦 − 2) = 2(𝑥 − 15) 
 15𝑦 − 30 = 2𝑥 − 30 
 2𝑥 − 15𝑦 = 0 
 
Para saber más 
 
 
 
 
 
 Video Khan Academy Video PruebaT 
 
 
Manos a la obra 
 
Encuentra las ecuaciones de las rectas que satisfacen las siguientes condiciones: 
1. Pasa por (−3,8) y 𝑚 = −
2
3
 
2. Pasa por (0,3) y 𝑚 = 4 
3. Pasa por (
2
3
,
1
2
) y 𝑚 = 0 
4. Pasa por (−
3
4
,
1
4
) y 𝑚 = −1 
5. Pasa por (−2, −1) y (3, −6) 
6. Una recta pasa por (−1,4) y desciende tres unidades por cada dos unidades que 
incrementar 𝑥 ¿Cuál es su ecuación? 
7. Obtén la ecuación de la recta, cuya intersección con el eje 𝑋 es de 3 y su 
inclinación es de 120°. 
8. Los vértices de un cuadrilátero son 𝐴(0,0), 𝐵(−1,2), 𝐶(3,5) y 𝐷(5,0). Obtén las 
ecuaciones de sus lados. 
https://youtu.be/tsv4KJ-9ais
51 
 
9. Una recta pasa por el punto 𝐴(5,8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos 
𝐶(−2,2) y 𝐷(3, −4). Determina su ecuación. 
 
10. Con base al triangulo cuyos vértices son los puntos 𝐴(1,2), 𝐵(3, −1) y 𝐶(−5, −4), 
realiza los siguientes incisos: 
a) Determina la ecuación de la recta que pasa por el punto medio del lado 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ y por 
el vértice 𝐴. 
b) Obtén la ecuación de la recta que pasa por el vértice 𝐶 y es perpendicular al lado 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . 
 
11. La velocidad de una partícula en un tiempo de 3 segundos es de 5 metros por 
segundo y para un tiempo de 8 segundos se mueve a razón de 16 metros por 
segundo. Determina la ecuación que relaciona la velocidad de la partícula en su 
función del tiempo. 
 
12. Si el dueño de una papelería le compra a un proveedor 100 libretas, éste le da un 
precio de $12.50 cada una, pero si le compra 120, entonces el precio de cada 
libreta disminuye en $0.50, escribe la ecuación de la demanda. 
 
13. Una empresa desea realizar una campaña publicitaria de un nuevo producto, para 
esto visita un taller de impresión y les informan que el costo de producir 15 
millares de folletos publicitarios tiene un costo de $3,000, pero si desean 20 
millares, el costo es de $3,600, obtén la ecuación de la recta que representa esta 
situación. (Considera 𝑥= número de millares; 𝑦 = costo). 
 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
 
 
 
Formas de escribir la ecuación de una recta 
Hay ocasiones que de acuerdo con la información proporcionada o lo que se desea 
buscar en la recta, se tienen diferentes formas para escribir la ecuación de la recta. 
A continuación, se presentan las diversas formas de escribir la ecuación de una recta. 
Forma pendiente ordenada al origen 
Se conoce como ordenada al origen al punto donde la recta corta al eje Y, se representa 
con la letra b. 
https://es.khanacademy.org/math/eb-3-semestre-bachillerato-nme/x4b655b3cb9bfe4eb:ecuacion-de-la-recta/x4b655b3cb9bfe4eb:forma-punto-pendiente-y-forma-estandar/e/converting_between_point_slope_and_slope_intercept?modal=1
https://pruebat.org/SaberMas/MiClase/inicia/9610/c3634b7ffd671b17a175845b545f2c61/159081
52 
 
La ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen también conocida 
como forma ordinaria está dada por: 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
 Donde: 
 m: pendiente de la recta 
 b: ordenada al origen 
 
 
Cuando conocemos la pendiente y un punto sobre el eje Y podemos hacer uso de esta 
forma. 
 
Retomando el ejemplo de la depreciación del equipo de cómputo se calculó la 
pendiente 𝑚 = −3 y el punto 𝐴 ( 0, 15), por lo tanto la ordenada al origen es 𝑏 = 15 
 
Así aplicando la forma pendiente ordenada al origen se tiene: 
 𝑦 = −3𝑥 + 15 (I) Si ordenamos e igualamos a cero 
 3𝑥 + 𝑦 − 15 = 0 (II) Ecuación obtenida anteriormente 
Por tanto, podemos observar que la ecuación I y la ecuación II son iguales, es decir, es la misma ecuación, 
pero escrita de diferente manera, la ecuación II está expresada en la forma general. 
 
a. Traza la gráfica de la recta 𝑦 = 2𝑥 − 3 
Como está en la forma pendiente ordenada al origen, entonces 𝑚 = 2 y 𝑏 = −3 
Así la coordenada del punto es: (0, −3) 
 
Como la pendiente es 𝑚 = 2 =
2
1
 
De punto inicial nos desplazamos 
2 unidades hacia arriba 
1 unidad a la derecha 
 
 
b. Dada la gráfica de la recta escribe la ecuación en su forma pendiente ordenada al 
origen. 
 
 
 
 
 
 
 
(0,b) 
2 
1 
53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Así la ecuación de la recta en su forma pendiente ordenada al origen 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
Sustituyendo los valores de 𝑚 y de 𝑏 
𝑦 = −
1
2
𝑥 + 3 
 
c. Encuentra la ecuación de la recta, cuya intersección con el eje 𝑌 es 7 y su pendiente 
−2. 
Los datos son: 𝑚 = −2 y 𝑏 = 7, 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
al sustituir en la ecuación se obtiene: 
𝑦 = −2𝑥 + 7 Ordenando e igualando a cero 
2𝑥 + 𝑦 − 7 = 0 
Así, la ecuación es: 2𝑥 + 𝑦 − 7 = 0. 
d. Determine la ecuación general de la recta que tiene pendiente 
1
2
 y su intersección con 
el eje 𝑌 es el punto (0,6). 
Los datos son: 𝑚 =
1
2
 y 𝑏 = 6, al sustituir en la ecuación ordinaria, se obtiene: 
 𝑦 =
1
2
𝑥 + 6 Multiplicamos por 2 para eliminar el denominador. 
 2𝑦 = 𝑥 + 12 Ordenamos e igualamos a cero la ecuación 
𝑥 − 2𝑦 + 12 = 0 
e. Una recta pasa por el punto (2, 2) y es paralela a la recta 𝑥 − 4𝑦 = 0, ¿cuál es su 
ecuación general? 
 
La ordenada al origen 𝑏 es 3 
la pendiente 
∆𝑦
∆𝑥
 se obtiene 
desplazando 
∆𝑦 = −1 (hacia abajo) 
∆𝑥 = 2 (hacia la derecha) 
Así 𝑚 = −
1
2
 
-1 
2 
54 
 
Se expresa la ecuación 𝑥 − 4𝑦 = 0 en su forma pendiente ordenada al origen: 
𝑦 =
1
4
𝑥 
 
La pendiente de esta recta es 𝑚 =
1
4
, como la recta que se busca es paralela, 
entonces tiene la misma pendiente: 𝑚1 = 𝑚2 =
1
4
. 
 
Se sustituye el punto y la pendiente en la ecuación 
 𝑦 − 2 =
1
4
(𝑥 − 2) Multiplicando por 4 
 4𝑦 − 8 = 𝑥 − 2 Organizando los términos 
𝑥 − 4𝑦 + 6 = 0 
 
f. Un taxi foráneo por derecho de abordaje tiene una tarifa inicial de 12 pesos, si cobra 
10 pesos por cada kilómetro recorrido. 
i) ¿El precio es lineal? Justifique 
ii) Determine la ecuación que permita obtener el precio para cualquier número de 
kilómetros. 
iii) Trace la gráfica 
 
i) Si es lineal ya que el cobro es de 10 pesos por kilómetro, es decir la 
pendiente es constante y por tanto cumple la condición de una recta. 
ii) Como la tarifa inicial es de $12 pesos entonces, para una distancia de 0 Km 
se tiene un precio a pagar de $12 pesos 
 
Así: 𝐴(0, 12) por lo que 𝑏 = 12 
y la pendiente será 𝑚 = 10 
por lo que se puede usar la forma pendiente ordenada al origen. 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
Sustituyendo los valores se tiene la ecuación 
 𝒚 = 𝟏𝟎𝒙 + 𝟏𝟐 
Donde 𝑦 es el precio por cobrar por el taxista y 𝑥 los kilómetros recorridos 
iii) la gráfica sería 
 
 
 
55 
 
Forma general 
La forma general de la recta está dada por: 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 
Esta es una de las formas más comunes de escribir la ecuación de la recta, además se 
puede obtener la formapendiente ordenada al origen solo con despejar la variable 𝑦. 
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 
Despejando y 
 𝐵𝑦 = −𝐶 − 𝐴𝑥 
 𝑦 =
−𝐶−𝐴𝑥
𝐵
 
 𝑦 = −
𝐶
𝐵
−
𝐴𝑥
𝐵
 Ordenando los términos 
 𝑦 = −
𝐴
𝐵
𝑥 −
𝐶
𝐵
 
Donde: 
 −
𝐴
𝐵
 es la pendiente de la recta 
 −
𝐶
𝐵
 es la ordenada al origen 
a. ¿Cuál es la pendiente y la ordenada al origen de la recta 3𝑥 − 6𝑦 + 2 = 0? 
Despejando 𝑦 de la ecuación 
 3𝑥 − 6𝑦 + 2 = 0 
 −6𝑦 = −3𝑥 − 2 Dividiendo cada término por −6 
 𝑦 =
−3
−6
𝑥 +
−2
−6
 Simplificando las fracciones 
 𝑦 =
1
2
𝑥 +
1
3
 
Por lo que 𝑚 = 
1
2
 y 𝑏 = 
1
3
 
b. Traza la gráfica de la ecuación 4𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 
Despejando la variable y 
4𝑥 + 𝑦 − 8 = 0 
𝑦 = −4𝑥 + 8 
 Por lo que 𝑚 = −4 y 𝑏 = 8 
 Graficando 
56 
 
 Se ubica primero la coordenada del punto (0,8) 
 Como la pendiente es -4 se desplaza 
 4 unidades hacia abajo 
 1 unidad hacia la derecha 
 Se unen los dos puntos para formar la recta 
 
c. Grafica la siguiente recta 2𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0 
Se transforma la ecuación a su forma pendiente ordenada la origen (ordinaria) 
2𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0 
 
3𝑦 = −2𝑥 + 9 
𝑦 = −
2
3
𝑥 + 3 
 Se obtiene: 
La ordenada al origen es 𝑏 = 3, significa que la recta corta 
al eje y 3 unidades por encima del origen. 
La pendiente 𝑚 = −
2
3
, significa que y disminuye 2 unidades 
y 𝑥 aumenta tres. 
 
d. Grafica la recta de la ecuación 2𝑦 − 7 = 0 
Se expresa la ecuación como: 
0𝑥 + 2𝑦 − 7 = 0 
 Se despeja 𝑦 de la ecuación y se obtiene: 
𝑦 =
0
2
𝑥 +
7
2
 
 El valor de 𝑏 =
7
2
 y 𝑚 = 0 
Cuando la pendiente toma el valor de cero la recta es horizontal 
e. Transforma la ecuación 4𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 a la forma pendiente ordenada al 
origen. 
Se despeja la ordenada (𝑦) de la ecuación. 
 4𝑥 − 𝑦 + 2 = 0 
 −𝑦 = −4𝑥 − 2 Se multiplica cada término por -1 
 𝑦 = 4𝑥 + 2 Forma pendiente ordenada al origen 
𝑌 
𝑋 
2𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0 
3 
−2 
3 
𝑌 
7
2
 
2 
𝑋 
57 
 
f. Transforma la ecuación 𝑦 =
2
7
𝑥 − 5 a la forma general de la ecuación de la 
recta. 
𝑦 =
2
7
𝑥 − 5 Multiplicamos todos los términos por 7 
 
7𝑦 = 2𝑥 − 35 Ordenado los términos e igualando a cero 
2𝑥 − 7𝑦 − 35 = 0 Forma general de la recta 
 
g. Obtén la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴(−3,7) y es paralela a la 
recta 𝑥 + 5𝑦 − 2 = 0 
Si dos rectas son paralelas sus pendientes tienen el mismo valor por lo que la 
pendiente de la recta 𝑥 + 5𝑦 − 2 = 0 será la misma que el de la recta buscada. 
La fórmula para hallar el valor de la pendiente dada la forma general de la recta es: 
𝑚 = −
𝐴
𝐵
 
 Para la ecuación 𝑥 + 5𝑦 − 2 = 0, 𝐴 = 1 𝑦 𝐵 = 5 
por lo que 𝑚 = −
1
5
 
Conocido el punto A (-3,7) y la pendiente 𝑚 = −
1
5
 
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
Sustituyendo 
 𝑦 − 7 = −
1
5
(𝑥 − (−3)) 
𝑦 − 7 = −
1
5
(𝑥 + 3) Multiplicando por 5 
 
5𝑦 − 35 = −𝑥 − 3 Ordenando y dejando 𝑥 positiva 
 𝑥 + 5𝑦 − 35 + 3 = 0 
 𝑥 + 5𝑦 − 32 = 0 
h. Cierta empresa se dedica a fabricar bolsas de plástico, el costo de fabricación 
de 𝑥 número de ellas es de 𝐶 = 4𝑥 + 3,200. 
Los ingresos por la venta de las bolsas fabricadas están dados por 𝐼 = 12𝑥. 
a) ¿Cuál es el costo de producción de 1,500 bolsas? 
b) Si se fabrican 1,000 bolsas, ¿de cuánto es la utilidad? 
c) ¿Cuántas bolsas se deben fabricar para que la utilidad sea nula? 
d) Construye la gráfica que muestra la ecuación de costos e ingresos. 
58 
 
a) Se sustituye el valor de 𝑥 = 1,500 en la ecuación de costos: 
𝐶 = 4𝑥 + 3,200 
 
 
 
por consiguiente, producir 1,500 bolsas tiene un costo de $9,200. 
b) La ecuación de la utilidad resulta de la diferencia de la ecuación de ingresos y costos. 
𝑈 = 𝐼 − 𝐶 𝑈 = 12𝑥 − (4𝑥 + 3,200) 𝑈 = 8𝑥 + 3,200 
 Para 𝑥 = 1,000 se obtiene: 
 𝑈 = 8(1,000) − 3,200 
 = 8,000 − 3,200 
 = 4,800 
 La utilidad que genera la venta de 1,000 bolsas es de $4,800. 
c) El número de bolsas que deben fabricarse y venderse para que la utilidad sea nula es: 
 
 𝑈 = 8𝑥 − 3,200 0 = 8𝑥 − 3,200 
 
 
 
 Para que la utilidad sea nula deben fabricar y vender 400 bolsas. 
 
 
Forma simétrica 
La forma simétrica de la ecuación de la recta está dada por 
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1 
Donde: 
 a: abscisa al origen 
 b: ordenada al origen 
 
La abscisa al origen 𝑎 es el punto donde la recta corta (intersecta) al eje X 
 
 
 
 
𝐶 = 4(1,500) + 3,200 
= 6,000 + 3,200 
= 9,200 
−8𝑥 = −3,200 
𝑥 =
−3,200
8
 
𝑥 = 400 
59 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cuando los dos puntos conocidos uno está sobre el eje X y el otro sobre el eje Y se puede 
hacer uso de la forma simétrica de la recta para escribir su ecuación. 
 
a. Determine la ecuación de la recta que pasa por los puntos S(3,0) y T(0,1) 
 Dado que los puntos son las intersecciones con el eje X y el eje Y se tiene que: 
 𝑎 = 3 y 𝑏 = 1 
Por lo tanto, se puede hacer uso de la forma simétrica de la recta. 
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1 
𝑥
3
+
𝑦
1
= 1 
 
 
 
b. Dada la gráfica de la recta escribe la ecuación en su forma simétrica y en su 
forma general 
 
 
 
 
 
 Como 𝑎 = 4 𝑦 𝑏 = 3 
Sustituyendo en la ecuación 
 
𝑥
𝑎
+
𝑦
𝑏
= 1 
 
𝑥
4
+
𝑦
3
= 1 Forma simétrica de la recta 
 
 
(0, 𝑏) 
(𝑎, 0) 
60 
 
Para convertir a la forma general, primero se realiza la suma de fracciones 
 
3𝑥+4𝑦
12
= 1 el 12 multiplica al 1 para quitar el denominador 
 3𝑥 + 4𝑦 = 12 Se pasa el 12 a la izquierda para igualar a cero 
 3𝑥 + 4𝑦 − 12 = 0 Forma general de la recta 
 
c. Transforma a la forma simétrica la ecuación 3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0 y grafícala 
3𝑥 − 4𝑦 + 8 = 0 Pasamos a la derecha el termino independiente 
3𝑥 − 4𝑦 = −8 Dividimos cada término entre −8 
3𝑥
−8
+
−4𝑦
−8
=
−8
−8
 Simplificamos cada fracción si es posible 
3𝑥
−8
+
𝑦
2
= 1 Reescribimos el término x para que su coeficiente sea 1 
𝑥
−8
3⁄
+
𝑦
2
= 1 Forma simétrica de la ecuación 
Donde 𝑎 = −
8
3
 y 𝑏 = 2 
 
 
 
 
 
 
 
d. La gráfica muestra el recorrido que hace un camión de carga de una empresa 
transportadora de materiales de la bodega hasta el punto de entrega 
 
a) ¿Qué distancia recorrió el camión? 
b) Escribe el modelo algebraico que 
representa esta situación. 
c) ¿Cuál es la velocidad promedio del 
camión? 
d) ¿Después de tres horas de viaje que 
distancia le falta por recorrer? 
 
a) La distancia recorrida de acuerdo con la gráfica es de 250 kilómetros 
b) Debido a que se tiene los puntos de intersección con los ejes coordenados 
entonces 
𝑎 = 4 y 𝑏 = 250 𝑃1 (4, 0) y 𝑃2 (0, 250) 
D
is
ta
n
c
ia
 (
k
m
) 
 
tiempo (horas) 
61 
 
Por lo tanto, el modelo algebraico es una ecuación lineal, que en su forma 
simétrica es: 
 
𝑥
4
+
𝑦
250
= 1 
 
c) La velocidad promedio es la pendiente de la recta 
𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
Sustituyendo el punto 1 y 2 en la fórmula de pendiente 𝑃1 (4, 0) y 𝑃2 (0, 250) 
 𝑚 = 
250−0
0−4
 
𝑚 =
250
−4
= −62.5 𝑘𝑚/ℎr 
por lo que viaja a una velocidad promedio de 62.5 kilómetros por hora 
 
d) Para conocer al distancia que le falta por recorrer para un tiempo de 3 hrs se usa 
la ecuación 
𝑥
4
+
𝑦
250
= 1 
Se sustituye 𝑥 = 3 
 
3
4
+
𝑦
250
= 1 Despejando y 
 
𝑦
250
= 1 −
3
4
 
 
𝑦
250
=
1
4
 
 𝑦 =
1
4
(250) 
 𝑦 = 62.5 km 
 
Para saber más 
 
 
 
 
 
Forma Pendiente ordenada al origen (forma ordinaria) 
 
 
 
 
 
https://youtu.be/WAXC8sVupN0
https://youtu.be/NmgsJXOooIg
https://youtu.be/NmgsJXOooIg
62 
 
 
 
 
 
 
Forma General y forma simétrica 
 
 
Manos a la obra 
 
1. Transforma a la forma ordinaria (pendiente ordenada al origen) y simétrica las 
siguientes ecuaciones: 
a) 𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 
b) 3𝑥 − 𝑦 = 0 
c) 
1
2
𝑥 + 3𝑦 + 6 = 0 
2. Grafica las siguientes ecuaciones