Análisis Vectorial GO

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Es verdaderamente importante que reconozcas que en nuestra naturaleza algunos 
fenómenos físicos requieren algo más que números y unidades físicas para quedar 
plenamente explicados. Para detallar algunos fenómenos se usa el vector, y las magnitudes 
físicas que lo necesitan se llaman magnitudes vectoriales. 
 
¿QUÉ ES UN VECTOR? Es un segmento de recta orientado, que nos permite representar gráficamente a 
una magnitud vectorial, también se le conoce como flecha o sagita. 
 
Los elementos de un vector son: 
 
 
 
a) Punto de origen: Es el punto “A” donde se aplica el vector, también se le llama punto de partida. 
 
b) Dirección: Es la recta que contiene al vector. Se define por el ángulo θ medido en sentido 
antihorario (positivo) o en sentido horario (negativo) a partir del semieje “x” positivo, también es 
llamada línea de acción. 
 
c) Sentido: Es la característica del vector que nos indica hacia dónde se dirige. Se le representa por una 
saeta o sagita. (En el gráfico está representado por el punto “B”, llamado también punto de llegada). 
 
d) Módulo: Llamado también intensidad, medida, norma, viene a ser el valor de la magnitud vectorial 
representada. (En la figura está representado por el segmento “AB” y el módulo es el tamaño del 
segmento). Se representa como: 

|V|= V 
 
 
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DOCENTE: David Guevara Galdos CURSO: Física 
 
 
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CLASIFICACIÓN DE VECTORES Existen diferentes tipos de vectores, según sus características 
particulares, aquí mencionamos sólo algunos tipos: 
 
1. Vectores Coplanares: 
Son aquellos que se encuentran en un mismo plano. Ejemplo: 
   
A, B, C, y D son coplanares. 
 
 
2. Vectores Concurrentes: 
Estos se caracterizan porque sus rectas de acción se cortan en un mismo punto. Ejemplo: 
  
A, B, y C 
son concurrentes; 
 
P y Q también son concurrentes. 
 
 
3. Vectores Colineales: 
Llamamos así a todos aquellos vectores que son paralelos a una misma recta. 
 
 
4. Vectores Codirigidos o paralelos: 
Son aquellos que siendo paralelos presentan el mismo sentido, tal como ↑↑
 
A D . 
 
5. Vectores Contrariamente Dirigidos o antiparalelos: 
Estos vectores además de ser paralelos tienen sentidos opuestos, tal como ↑↓
 
A C . 
 
6. Vectores perpendiculares u ortogonales: 
Son aquellos cuyas líneas de acción se cruzan formando un ángulo recto (90º). 
 
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7. Vectores Iguales: 
Dos vectores son iguales si además de tener el mismo módulo son codirigidos, tal como 
 
A y B . Si: 
= ⇒ ↑↑ ⇒
     
A B A B |A|=|B| 
 
 
8. Opuesto de un Vector (Negativo de un vector): 
Un vector tal como 

D es el opuesto del vector 

C si: = −
 
C D ; = = − = −
   
|C| |D| | D| | C|. 
 
 
OPERACIONES CON VECTORES 
Las operaciones que se pueden realizar con los vectores son la adición, sustracción y multiplicación. 
 
A. ADICIÓN DE VECTORES: 
 
Es la operación vectorial que consiste en encontrar un único vector llamado vector suma o resultante 
“R” capaz de sustituir a un grupo de vectores de una misma especie, llamados sumandos. 
 
En el ejemplo siguiente tenemos tres vectores 

A , 

B y 

C , para sumar estos vectores, se les ha 
colocado uno a continuación de otro y el vector suma o resultante es aquel que comienza con el 
primer vector y termina junto con el último. 
 
 
 
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Observación: 
• Aquí el vector suma es igual a: = + +
   
R A B C , a esta operación se le conoce como suma vectorial. 
• Deberás tener cuidado, pues en la expresión anterior, no se pueden reemplazar los módulos o 
tamaños de los vectores; para calcular el tamaño o módulo de este vector se utilizarán procedimientos 
geométricos. 
• Además, a los vectores 

A , 

B y 

C se les conoce también como componentes del vector 

R 
 
NOTA: En el caso particular de la suma de dos vectores, la forma más práctica de sumarlos es 
mediante el método gráfico del paralelogramo, a continuación, un ejemplo. 
 
 
 
Observación: 
• Donde el vector suma es: = +
  
R A B . 
• Para determinar el módulo o tamaño del vector suma deberás utilizar la “ley o fórmula del 
Paralelogramo” que dice: = + + θ2 2R A B 2AB.Cos . 
• Además, el ángulo “ θ ” es el ángulo comprendido entre los vectores A y B respectivamente. 
 
 
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B. SUSTRACCIÓN DE VECTORES: 
 
En el caso de la diferencia de vectores, éstos sólo se pueden restar de dos en dos, y de forma práctica 
utilizaremos el método gráfico del triángulo, que consiste en colocar los vectores de modo que ambos 
tengan el mismo punto de origen, de modo que el vector diferencia es aquel que complete la figura 
formando de esta manera un triángulo. A continuación, un ejemplo. 
 
 
 
Observación: 
• En este caso, podemos decir que el vector diferencia de 

A y 

B es el vector 

D , y se cumple que: 
= −
  
D A B , a ésta operación se le llama diferencia vectorial. 
• De igual manera que para la suma vectorial, para calcular el tamaño del vector diferencia utilizaremos 
“la ley o fórmula del paralelogramo”, obteniendo: = + − θ2 2D A B 2AB.Cos . 
• Como siempre “ θ ” es el menor ángulo comprendido entre los vectores. 
 
Conclusión: 
 
• Como te habrás dado cuenta, para encontrar el módulo o tamaño de la suma o diferencia de dos 
vectores, usaremos la “Ley del Paralelogramo”, y sólo cambiaremos el signo de acuerdo con la 
operación que deseemos realizar. 
 
LEY DEL PARALELOGRAMO: = + ± θ2 2X A B 2AB.Cos ; Donde: “X” representa al módulo 
de la suma o diferencia respectivamente, de acuerdo con la operación que queramos realizar. Y en 
cuanto a los signos colocaremos (+) para la suma y (–) para la resta o diferencia. 
 
CASOS ESPECIALES DE LA SUMA VECTORIAL 
 
Primer caso: Cuando los vectores A y B forman entre sí un ángulo de 0º. 
 
 
 
• Donde el vector suma o resultante es: = +
  
R A B 
• El tamaño de este vector se determina así: = +R A B , no es necesario hacer ningún cálculo adicional, 
además a este vector se le conoce como resultante máxima = +máxR A B . 
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Segundo caso: Cuando los vectores A y B forman entre sí un ángulo de 180º. 
 
 
 
• Donde el vector suma o resultante es: = +
  
R A B 
• El tamaño de este vector se determina así: = +R A B , además a este vector se le conoce como 
resultante mínima = −mínR |A B|. 
 
Tercer caso: Cuando los vectores A y B forman entre sí un ángulo de 90º. 
 
 
 
• Donde el vector suma o resultante es: = +
  
R A B 
• Para determinar el módulo de este vector sólo tendrás que aplicar el teorema de Pitágoras, es decir: 
= +2 2R A B 
• También podemos decir que los vectores son: perpendiculares u ortogonales. 
 
Observación: Si hallamos la diferencia de los vectores A y B cuando forman 90º entre sí obtenemos 
lo siguiente: 
 
 
 
• Aquí el vector D es la diferencia entre A y B , de modo que: = −
  
D B A 
• Pero su módulo se determina también por el teorema de Pitágoras, es decir que: = +2 2D A B 
• Por lo tanto, cuando dos vectores forman 90º el módulo de su resultante es igual al módulo de su 
diferencia: =
 
|R| |D|  + = −
   
|A B| |A B| 
 
 
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Cuarto caso: 
 
 
 
Quinto caso: 
 
 
 
Sexto Caso: 
 
 
 
Séptimo caso: 
 
 
 
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COMPONENTES DEUN VECTOR 
 
En algunos casos, para poder realizar algunas operaciones con los vectores es necesario expresarlos en 
función de sus componentes o sumandos. 
 
Ejemplo: vamos a descomponer el vector A mostrado a continuación: 
 
 
 
• En el grafico se cumple que: = +
  
A B C 
 
 
 
• En el grafico se cumple que: = + +
   
A B C D 
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• En cualquier caso, a los vectores 

B , 

C y 

D se le conoce como componentes del vector 

A 
• Podemos concluir que un vector puede tener infinitas componentes. 
 
COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR 
Existen además componentes especiales como son las componentes rectangulares, las cuales tienen la 
particularidad de formar entre sí un ángulo recto. 
 
Veamos el siguiente ejemplo: 
 
 
 
• En la figura podemos observar que: 
• Las componentes rectangulares del vector A son B y C, cumpliéndose que: = +
  
A B C 
• Geométricamente, el tamaño del vector A se calculará con el teorema de Pitágoras: = +2 2 2A B C 
• Podemos añadir que en el plano cartesiano un vector solamente posee dos componentes 
rectangulares; y en el espacio tridimensional, todo vector posee tres componentes. 
 
VECTORES UNITARIOS 
 
Son utilizados para indicar la dirección de un vector. Su módulo es la unidad. 
 
 
 
En General: 
• =


A
Au
|A|
; o también: =
  
AA |A|u 
• Dónde: 

Au : vector unitario paralelo al vector 

A o vector unitario de 

A . 
 
 
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VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ALGUNOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS NOTABLES 
 
 
 
1. Hallar el módulo del vector resultante de dos 
vectores de 15u y 7u que forman entre sí un 
ángulo de 53º. 
a) 15u b) 13u c) 20u 
d) 21u e) 17u 
 
2. Si la resultante máxima de dos vectores es 17u 
y la resultante mínima es 7u, determinar el 
módulo de la resultante cuando los vectores 
formen entre sí un ángulo de 90º. 
a) 12u b) 10u c) 13u 
d) 11u e) 20u 
 
3. Si la resultante máxima de dos vectores es 8u y 
la resultante mínima es 2u, determinar el 
módulo de la resultante cuando los vectores 
formen entre sí un ángulo de 60º. 
a) 4u b) 5u c) 6u 
d) 7u e) 8u 
 
4. Dados dos vectores: =A 20 2u y =B 10u , 
determinar su diferencia, si el ángulo 
comprendido entre dichos vectores es de 135º. 
a) 20u b) 10 10u c) 10 13u 
d) 30u e) 15 2u 
 
5. Se desea extraer un clavo de una madera 
mediante la acción de dos fuerzas de 30N y 
50N que forman entre sí un ángulo de 127º. 
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Hallar el efecto neto que producen las dos 
fuerzas actuando sobre el clavo. 
a) 20N b) 30N c) 40N 
d) 50N e) 60N 
 
6. Si el módulo de la suma de dos vectores de 
igual módulo es dos veces el módulo de su 
diferencia, hallar el ángulo comprendido entre 
dichos vectores. 
a) 30º b) 37º c) 45º 
d) 53º e) 60º 
 
7. Si el módulo de la suma de dos vectores de 
igual módulo es el triple del módulo de su 
diferencia. Hallar el ángulo comprendido entre 
dichos vectores. 
a) 30º b) 37º c) 45º 
d) 53º e) 60º 
 
8. La resultante de dos vectores de módulo 
constante varía al hacer girar uno de ellos. El 
mínimo módulo de la resultante es 2u y el 
máximo es 14u. Determinar el módulo de la 
resultante, cuando los vectores forman un 
ángulo recto. 
a) 16u b) 8u c) 12u 
d) 10u e) 6u 
 
9. Dados los vectores =a 5N y =b 6N , calcular: 
−
 
a b . 
 
a) 3N b) 4N c) 5N 
d) 2N e) 6N 
 
10. La figura adjunta muestra dos vectores 

A y 

B , siendo, =A 20u y =B 7u , determinar: 
−
 
A B . 
 
a) 13u b) 12u c) 15u 
d) 18u e) 10u 
 
11. Dos vectores miden A=7u y B=15u. ¿Cuál 
será el módulo de su vector diferencia si 
además se sabe que dichos vectores forman 
127º? 
a) 24u b) 25u c) 20u 
d) 18u e) 12u 
 
12. Dados los vectores 

A y 

B mostrados en la 
figura, determinar: −
 
A 2B , si se cumple que: 
=A 5u y =B 3u . 
 
a) 4u b) 5u c) 6u 
d) 8u e) 20u 
 
13. Dos fuerzas, “F” y “2F”, simultáneamente 
actúan sobre un cuerpo formando un ángulo 
de 60º entre sí. Hallar la magnitud de la 
resultante. 
a) 7F b) F 7 c) F 
d) 2F e) F 
 
14. Los módulos de dos vectores y su diferencia 
son como los números 3, 4 y 4, 
respectivamente. Hallar el coseno del ángulo 
que forman los vectores. 
a) 3/8 b) 1/4 c) 1/8 
d) 1/2 e) –3/4 
 
15. Dos vectores forman un ángulo de 120º, el de 
mayor magnitud mide 80u y la resultante es 
perpendicular al menor. Hallar la magnitud de 
dicha resultante. 
a) 20u b) 40u c) 40 3u 
d) 80u e) 15u 
 
16. Si el módulo de la suma de dos vectores de 
igual módulo es el triple del módulo de su 
diferencia. Hallar la medida del ángulo 
comprendido entre dichos vectores. 
a) 30º b) 45º c) 60º 
d) 53º e) 37º 

A

B
69º 16º

A

B
48º 11º

a 
b
25º78º