unidad 9 Vectores

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Vectores
Definición-Operaciones básicas
Dra. Claudia Molinari
2
VECTORES EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO
Supongamos que una partícula se mueve
sobre una placa ante el efecto de cierta
impulso.
Si queremos representar la distancia que se
desplazó en un intervalo de tiempo, podemos
hacerlo utilizando el segmento
A B
3
Pero si nos interesa saber si el movimiento fue
desde A hacia B o desde B hacia A el
segmento no nos provee de esa información.
Necesitamos un nuevo elemento geométrico
que no solo nos indique la dirección y
magnitud del movimiento sino también el
sentido
A B
4
En el caso de la partícula, si el movimiento fue
desde A hacia B:
Mientras que si fue de B hacia A lo
representaremos:
A B
A B
5
Surge así el concepto de VECTOR
Un vector es un segmento orientado, o sea un
segmento para el cual no sólo interesa su
medida sino también su dirección y sentido.
 
A 
 
B 
AB bien o,v:otaciónn
A: origen del vector
B: extremo del vector
66
Por lo tanto, un vector queda definido a través
de tres elementos: dirección, sentido y
módulo.
Y estos tres elementos son los que se deben
indicar al definir un vector.
77
Sentido: lo indica la flecha (ej: hacia la
derecha, la izquierda, arriba abajo)
ABbienov
Dirección: recta en la cual está contenido (ej:
vertical, horizontal, formando cierto ángulo
con el eje x).
Módulo: longitud del vector. Se indica como
88
Utilizamos los vectores para representar
cantidades físicas de las cuales no sólo nos
interesa su magnitud sino también su
dirección y sentido, como ser el
desplazamiento, la velocidad, la aceleración,
las fuerzas.
99
Los vectores pueden pertenecer al plano (R2) o
al espacio (R3):
Cuando el punto origen del vector es el origen de
coordenadas, decimos que es un vector fijo en el
origen. Por ej, en R2:
 
x
y
A
B
A
B
x
y
z
 y
 yB B
xB x
1010
A los vectores fijos podemos nombrarlo con el
nombre del punto extremo, en este caso .
Además a cualquier punto del plano (x,y)
podemos asociarle un único vector fijo.
B
A las coordenadas (xB,yB) las llamamos
componentes escalares del vector.
Si el vector no tiene origen en el centro de
coordenadas, las componentes del vector
resultan ser la diferencia entre las coordenadas
de los puntos extremo y origen:
1111
x
y
A
Bv
v1
v2
:vector de origen en A=( xA, yA)
y extremo en B=( xB, yB)
v
Componentes de =(v1,v2)v
v1=xB- xA , v2=yB- yA
El gráfico anterior podría representar el ejemplo
de la partícula, ubicando un par de ejes
cartesianos en un origen (0,0)
1212
x
y
A
Bv
v1
v2
:vector de origen en A=( xA, yA)
y extremo en B=( xB, yB)
v
Componentes de =(v1,v2)v
v1=xB- xA , v2=yB- yA
Algunas definiciones:
Vectores equivalentes: aquellos que tienen
direcciones paralelas e igual sentido y módulo.
Vector nulo: es el vector cuyas componentes
son todas nulas; lo notamos como .0

1313
Vector opuesto: vector de igual dirección y
módulo que uno dado pero con sentido opuesto.
Versor: vector de módulo 1. Casos
especiales: versores fundamentales o
canónicos.
En el plano: I=(1,0) J=(0,1)
x
y
I
J
1414
Cálculo del módulo de un vector
En el espacio: I=(1,0,0) J=(0,1,0) K=(0,0,1)
x
y
z
IJ
K
( ) ( )2AB
2
AB yyxxAB −+−=
( ) ( ) ( )2AB
2
AB
2
AB zzyyxxAB −+−+−=
Recordemos: módulo del vector =longitud del vector
1515
Comenzaremos con la con el caso más sencillo, que es
cuando los vectores son colineales:
Operaciones con vectores
En forma geométrica:
Vectores de igual dirección y sentido: resultante con
la misma dirección y sentido, y módulo igual a la
suma de los módulos de los vectores.
u

v

vu

+
1616
Vectores de igual dirección pero sentido opuesto: el
vector Resultante tiene la misma dirección, sentido
como el de mayor módulo, y módulo igual a la
diferencia de los módulos de los vectores.
u

v

vu

+
1717
Vectores no colineales:
Se grafica los vectores haciendo coincidir sus orígenes
y se construye el paralelogramo que tiene como lados
a dichos vectores. Se define como vector suma al que
tiene el mismo origen que los sumandos y que forma
la diagonal del paralelogramo construido.
u
u+vv
 
18
Resta: Dados los vectores y , se define
como la suma entre y el vector opuesto a . Luego:
u
-v u-v
v
 
 u

 v

 vu

−
 u

 v

1919
Producto de un vector por un escalar: El producto de
un vector por un escalar c se define como un vector
de:
➢ igual dirección que el dado,
➢sentido igual, si c>0 y opuesto al dado, si c<0
➢módulo igual al producto entre |c| y el módulo del
vector dado.
Todas las operaciones anteriores se generalizan a R3
u

u2

u.2

−
u.
2
1 
2020
Descomposición de un vector según los versores 
fundamentales (en componentes canónicas)
axI x
y
J
ay
A
 
=axI+ayJA
y
z
I
J
K
ay
ax
az
x
A
 
=axI+ayJ+azK A
Componentes vectoriales del 
vector
2121
En forma analítica: Sean
Operaciones con vectores
Suma:
A =axI+ayJ
Producto por un escalar (c R) :
= (ax+bx)I+(ay+by)J
Resta:
B =bxI+byJ;
BA +
BA − = (ax-bx)I+(ay-by)J

= (cax)I+(cay)JAc

2222
Ejemplo:
Operaciones con vectores
; c=3A =2I+5J
La suma de vectores cumple con las propiedades
conmutativa y asociativa y tiene al como elemento
neutro y al vector opuesto como elemento simétrico.
=-1I+9J
B =-3I+4J;
BA + BA − =5I+1J
=6I+15J
0

Ac

2323
Propiedad conmutativa de la suma de vectores:
Queremos demostrar que : siendo
y
(1) por def de suma de vectores
(2) por prop conmutativa de la suma de números reales
ABBA

+=+ JaIaA
yx
+=

JbIbB
yx
+=

ABJ)ab(I)ab(J)ba(Iba()JbIb()JaIa(BA
)1(
yyxx
)2(
yy)xx
)1(
yxyx

+=+++=+++=+++=+
Vectores 2424
El producto de un vector por un escalar verifica
las siguientes propiedades:
c(A+ B) = cA+cB1.
2.
3.
c+ d( ) A= cA+ dA
cd( ) A = c dA( ) = d cA( )
4. cA = c A
25
Si entonces el vector : A
A
1
U



=0A


Es unitario y en la misma dirección y sentido que A

Propiedad:
26
Vectores
Producto escalar y vectorial
2727
En el plano: producto escalar
En el espacio: producto escalar y producto vectorial
Producto entre vectores
Dados dos vectores se define el producto escalar
entre ellos como el producto de sus módulos por el
coseno del ángulo que forman :
Producto escalar (interno):
α
A
B
= cos B A B. A

2828
Observemos que los valores posibles para son
todos los que se encuentran entre 0 y .
Propiedad:El producto escalar entre dos vectores 
puede calcularse como la suma del producto de 
sus componentes; o sea:
en R2 = ax bx+ayby
en R3 = ax bx+ayby+azbz
La siguiente propiedad, que aceptaremos sin
demostrar, nos provee de una forma de calcular
el producto escalar a partir de las componentes
de los vectores
B.A

B.A

α

Vectores 2929
Propiedades del producto escalar:
a. (Prop.Conmutativa)
b. (Prop.Distributiva)
C. ; luego: 0. AA

( ) ( ) ( )B AB A B A d

== .....
ABBA

.. =
( ) CABACBA

... +=+
2
. AAA

=
Dem ABababbabaBA yyxxyyxx

.. =+=+=
por prop conmutativa del 
producto de números reales
222. AaaaaaaA A yxyyxx

=+=+=
Dem
3030
De la definición del producto escalar se deduce :
➢ , lo cual provee de una fórmula para hallar 
el ángulo entre dos vectores.
➢ Dos vectores no nulos son ortogonales (perpendiculares) 
si y sólo si su producto escalar vale 0.
Ejemplo: Calcular los ángulos del triángulo de vértices: A(6,0), 
B(3,5), C(-1,-1).
BA
B.A
cos
AB 

=
3131
Definición analítica:
Dados dos vectores en R3 se define el producto
vectorial entre ellos y lo notamos como:
Producto vectorial (o producto cruz) :
BA


( ) ( ) ( )KbabaJbabaIbabaBA xyyxxzzxyzzy −+−−−=

El resultado del producto vectorial es otro vector y no
un número como en el caso del producto escalar.
Luego, podemos dar también una definición
geométrica:
3232
Dirección de = perpendiculara y aBA


Sentido de = regla del tirabuzón
A B
BA


Forma práctica de hallar :BA


 I J K 
ax ay az ay az ax az ax ay 
A xB = 
bx by bz 
= 
by bz 
I - 
bx bz 
J + 
bx by 
K 
 
El producto vectorial entre dos vectores y da 
como resultado otro vector definido por los siguiente 
elementos:
A B
AB
senBABxA =

3333
Propiedades del producto vectorial:
a. (observar que esto implica que no
es conmutativo)
b.
c.
d.el módulo del producto vectorial es igual al área del
paralelogramo de lados coincidentes con yA B
 
h
A
B
base= A
Área de paralel= base x altura
AxBBxA

−=
0AxA

=
( ) CxABxACBxA

+=+
AB
senBh =
