1 9 Determinación del valor de una función en forma gráfica y analítica

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR EN LÍNEA 
 FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
 MATEMÁTICA I 
Este material ha sido proporcionado al estudiante en el marco de su formación a través de una carrera en línea en la 
Universidad de El Salvador. Se han respetado los derechos de autor para su elaboración. El debido uso del mismo es 
responsabilidad del estudiante. 
DETERMINACIÓN DEL VALOR DE UNA FUNCIÓN EN FORMA GRÁFICA Y 
FORMA ANALÍTICA 
 
Recordemos que el valor de una función, es el valor de la variable “y” que le corresponde a un 
valor de “x” determinado. O, dicho de otro modo, el valor de una función, es el número que le 
corresponde a la variable dependiente para un determinado número de la variable 
independiente. 
 
1.1 FORMA GRÁFICA 
 
Ejercicio 1: Dada las gráficas de las funciones siguientes determinar el valor que corresponde a 
la función para un determinado elemento de la variable independiente. 
a) 
 𝒇(𝟐) = 𝟏 
 𝒇(𝟎) = 
 𝒇(𝟓) = 
 𝒇(−𝟏) = 𝟒 
 𝒇(𝟏) = 
 
En esta función f, la 
variable independiente 
es “x”. 
Se nos piden los valores 
de la función que 
corresponden a algunos 
elementos “x” del 
dominio: 2,0, -1, 1 y 5. 
Por ejemplo, el valor de 
la función que 
corresponde a x=2 es 
y=1 
 
b) 
 𝑻(𝟎) = 
 𝑻(𝟏𝟎) = 
 𝑻(𝟑𝟎) = 𝟓𝟎 
 𝑻(𝟓𝟎) = 
 𝑻(𝟏𝟎𝟎) = 𝟏𝟒𝟎 
 
 
En la función T, la 
variable independiente 
es “c”. Por ejemplo, 
cuando c=30, podemos 
decir que T(30) = 50 
(aproximadamente). 
¿Por qué no es 
T(30)=40? 
Notemos que hay un 
punto oscuro y un punto 
claro. El punto claro 
significa que (30, 40) no 
le pertenece a la 
gráfica. 
 
 
 
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c) 
 𝒈(−𝟒) = 𝟎 
 𝒈(−𝟑) = 
 𝒈(−𝟐) = 
 𝒈(−𝟏) = 𝑵𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 
 𝒈(𝟎) = 𝟐 
 𝒈(𝟑) = 
 𝒈(𝟒) = 
 
 
 
1.2 FORMA ANALÍTICA 
 
Ejemplo: La regla para elevar al cuadrado un número real 𝒙 está dada por la ecuación: 𝒚 = 𝒙𝟐 o 
bien 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 . Los valores de 𝒇 en 𝒙 = −𝟑 y 𝒙 = √𝒙 se obtienen sustituyendo a su vez 
𝒙 𝑝𝑜𝑟 − 𝟑 𝑦 √𝟐. 
 
𝒇(−𝟑) = (−𝟑)𝟐 = 𝟗 
𝒇(√𝟐) = (√𝟐)
𝟐
= 𝟐 
 
NOTA: El valor de una función para un determinado elemento del dominio “a”, se conoce 
también como evaluación de una función en el valor de “a” 
 
Ejercicio 2: Si 𝒇(𝒙) = −𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟒; encuentre 
𝑎)𝒇(𝟎) 𝑏) 𝒇(√𝟐) 𝑐) 𝒇(−𝟏) 𝑑) 𝒇(𝟏) − 𝒇(𝟐) 
 
Solución para a) 
Donde quiera que aparezca “x” en la función 𝒇, la sustituiremos por “cero” 
𝒇(𝟎) = −(𝟎)𝟐 + 𝟑(𝟎) − 𝟒 La función f, a cada número lo eleva al cuadrado 
y lo multiplica por -1, a este resultado le suma 3 
veces el valor del número y le resta 4 
 
= 𝟎 + 𝟎 − 𝟒 
𝒇(𝟎) = −𝟒 Lo que significa que para 𝒙 = 𝟎, 𝒚 = −𝟒 o 
también que el punto (0,-4) pertenece a la 
gráfica de la función 𝒇. 
 
 
 
 
 
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Solución para b) 
𝒇(√𝟐) = −(√𝟐)
𝟐
+ 𝟑(√𝟐) − 𝟒 
 
= −𝟐 + 𝟑√𝟐 − 𝟒 
 
𝒇(√𝟐) = −𝟔 + 𝟑√𝟐 
 
 
 
Solución para c) 
 
𝒇(−𝟑) = −(−𝟏)𝟐 + 𝟑(−𝟏) − 𝟒 
 
−(𝒂)𝟐 = −[(−𝒂)(−𝒂)] = −(𝒂𝟐) 
Tiene prioridad la potenciación 
= −(𝟏) − 𝟑 − 𝟒 
 
 
𝒇(−𝟑) = −𝟏 − 𝟑 − 𝟒 
 
 
𝒇(−𝟑) = −𝟖 
 
Solución para d) 
 
 
𝒇(𝟏) − 𝒇(𝟐) = [−(𝟏)𝟐 + 𝟑(𝟏) − 𝟒] − [−(𝟐)𝟐 + 𝟑(𝟐) − 𝟒] 
 
 𝒇(𝟏) 𝒇(𝟐) 
 
= [−(𝟏) + 𝟑 − 𝟒] − [−𝟒 + 𝟔 − 𝟒] 
 
= (−𝟐) − (−𝟐) 
 
= −𝟐 + 𝟐 
 
= 𝟎 
 
 
Ejercicio 3: Si 𝒇(𝒙) = 𝟑𝒙 − 𝟓 y 𝒈(𝒙) =
𝟒
𝒙
 determinar 
 𝑎) 𝒈(𝟐 + 𝒉) − 𝒈(𝒉) 𝑏) 𝒇(𝒈(𝒙)) 𝑐)𝒈(𝒇(𝒙)). 
 
Solución para a) 
 
Observemos que la función 𝒈, le asigna a cada elemento del dominio (“x”) un valor de “y” dado 
por 𝒚 =
𝟒
𝒙
 , en este caso “x” toma el valor de 𝟐 + 𝒉 y luego “x” toma el valor de h 
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𝒈(𝟐 + 𝒉) = 
𝟒
𝟐 + 𝒉
 
 𝒙 𝒙 
𝒈(𝒉) = 
𝟒
𝒉
 
 
𝒈(𝟐 + 𝒉) − 𝒈(𝒉) =
𝟒
𝟐 + 𝒉
− 
𝟒
𝒉
 
 
 
Solución para b) 
En este caso estamos evaluando una función 𝒈 en otra función 𝒇 
 
𝒇(𝒈(𝒙)) = 𝒇 (
𝟒
𝒙
) 
 
 𝒈(𝒙) 
Luego evaluaremos la función 𝒇 en el valor de 
𝟒
𝒙
. Es decir, que donde aparezca 𝒙 en la función 
𝒇, la sustituiremos por 
𝟒
𝒙
 
= 𝟑 (
𝟒
𝒙
) − 𝟓 
 
 
=
𝟏𝟐
𝒙
− 𝟓 
 
 
Solución para c) 
𝒈(𝒇(𝒙)) = 𝒈(𝟑𝒙 − 𝟓) 
 𝒇(𝒙) 
=
𝟒
𝟑𝒙 − 𝟓
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 4: Dada la gráfica de la función 𝒈, determinar la regla de asignación de dicha función. 
 
 
 
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Solución: 
 
Notemos que: 
 
- La gráfica de la función 𝒈 es una función de 3 secciones 
 
- Cada una de las secciones tiene respectivamente los siguientes dominios 
 [−𝟐, 𝟎], ]𝟎, 𝟐], 𝑦 ]𝟐, +∞[ 
 O sea, respectivamente: −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎 , 𝟎 < 𝒙 ≤ 𝟐 𝑦 𝒙 > 𝟐 
 
La sección de la izquierda es una recta. La regla de asignación para este tramo o sección la 
podemos obtener de varias maneras (Recordemos que con dos puntos que pertenecen a una 
recta podemos escribir la ecuación punto-pendiente). 
La pendiente mediante la fórmula 𝒎 = 
𝒚𝟐−𝒚𝟏 
𝒙𝟐−𝒙𝟏
 con: 
 
(𝒙𝟏, 𝒚𝟏), (𝒙𝟐, 𝒚𝟐) Puntos de la recta 
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) Ecuación punto - pendiente 
 
Para la sección de la izquierda los puntos que le pertenecen a la recta son: 
 
 
 
 
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Así, la pendiente es: 
𝒎 = 
𝒚𝟐 − 𝒚𝟏
𝒙𝟐 − 𝒙𝟏
 
 
𝒎 = 
𝟑 − (−𝟏)
𝟎 − (−𝟐)
 
 
𝒎 =
𝟑 + 𝟏
𝟎 + 𝟐
 
 
𝒎 = 𝟐 
 
 
 
La ecuación punto pendiente es 
𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏) 𝒚𝟏 = −𝟏, 𝒙𝟏 = −𝟐 𝑦 𝒎 = 𝟐, como se tiene que: 
 
 
𝒚 − (−𝟏) = 𝟐(𝒙 − (−𝟐)) 
 
Esta es la regla de asignación para la primera 
sección cuyo dominio es −𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟎 
𝒚 + 𝟏 = 𝟐(𝒙 + 𝟐) 
 
 
𝒚 + 𝟏 = 𝟐𝒙 + 𝟒 
 
 
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟒 − 𝟏 
 
 
𝒚 = 𝟐𝒙 + 𝟑 
 
La sección del centro es una recta horizontal que intercepta al eje “y” en el valor de 2, por tanto, 
la ecuación o regla de asignación de esta función es 𝒚 = 𝟐. 
Esta sección tiene por dominio 𝟎 < 𝒙 ≤ 𝟐. 
Y, por último, la sección de la derecha se puede verificar (siguiendo el mismo proceso usado para 
determinar la primera sección de este ejemplo) que la regla de asignación es la ecuación de la 
recta 𝒚 = −𝒙 + 𝟔 . 
Por lo tanto, la función seccionada 𝒈 es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 3 , 2 0
( ) 2 , 0 2
6 , 2
x x
g x x
x x
   

  
  