Desigualdades e intervalos

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR EN LÍNEA 
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
MATEMÁTICA I 
Este material ha sido proporcionado al estudiante en el marco de su formación a través de una carrera en línea en la 
Universidad de El Salvador. Se han respetado los derechos de autor para su elaboración. El debido uso del mismo es 
responsabilidad del estudiante. 
 
 
 
1. DESIGUALDADES 
 
 
 
Podemos decir que el símbolo < la “abertura” señala a la expresión mayor y la “punta” a la 
expresión menor. 
 
Otros símbolos empleados en las desigualdades son >, ≤, ≥; recordando que la abertura la 
leemos “mayor que” y la punta la leemos “menor que”. 
 
Ejemplos: 
𝟓 > 𝟑 se lee: 𝟓 𝒆𝒔 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟑 o que 𝟑 𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟓. 
−𝟏 < 𝟔 se lee: −𝟏 𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟔 o que 𝟔 𝒆𝒔 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 − 𝟏. 
 
Si la desigualdad tiene la forma 𝒂 ≤ 𝒃, esta se lee: 
𝒂 𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒐 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒃 (O también que 𝒃 𝒆𝒔 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒐 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝒂). 
 
 
 
 
Ejemplos: 
 El enunciado 𝟒 ≤ 𝟕 es cierto, ya que se cumple que 𝟒 𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝟕, aunque no se 
cumple 𝟒 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟕. 
 El enunciado 𝟒 ≥ 𝟕 es falso, ya que no se cumple que 𝟒 𝒔𝒆𝒂 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒂 𝟕, ni que 
𝟒 𝒆𝒔 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟕. 
 El enunciado 𝟑 ≤ 𝟑 es cierto, ya que se cumple que 𝟑 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒒𝒖𝒆 𝟑, aunque no se 
cumple 𝟑 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒂 𝟑. 
 
Una desigualdad es un enunciado de la forma 𝒂 < 𝒃, la cual se lee: 
𝒂 𝒆𝒔 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒃 , o también 𝒃 𝒆𝒔 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒒𝒖𝒆 𝒂 
 
El enunciado 𝒂 ≤ 𝒃, es verdadero siempre que sea cierto que 𝒂 sea menor que 𝒃 o que sea 
cierto que 𝒂 = 𝒃 (cualesquiera de las dos condiciones sean ciertas). Es decir, 
𝒂 ≤ 𝒃 ⟺ 𝒂 < 𝒃 ó 𝒂 = 𝒃 (el símbolo ⟺ significa “equivalente a”) 
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La expresión 𝒂 ≤ 𝒄 ≤ 𝒃 es más comprensible si se lee del centro hacia los lados, es decir, 
𝐜 𝐞𝐬 𝐦𝐚𝐲𝐨𝐫 𝐨 𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥 𝐪𝐮𝐞 𝐚 y que 𝐜 𝐞𝐬 𝐦𝐞𝐧𝐨𝐫 𝐨 𝐢𝐠𝐮𝐚𝐥 𝐪𝐮𝐞 𝐛 (significa que el valor de 𝒄 debe 
estar entre 𝒂 y 𝒃, incluyendo dichos valores). 
 
La expresión 𝒂 < 𝒄 < 𝒃 se lee 𝐜 𝐞𝐬 𝐦𝐚𝐲𝐨𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐚 y que 𝐜 𝐬𝐞𝐚 𝐦𝐞𝐧𝐨𝐫 𝐪𝐮𝐞 𝐛 (significa que el 
valor de c debe de estar entre 𝒂 y 𝒃, sin incluir dichos valores). 
 
Ejemplos: 
 El enunciado 𝟏 ≤ 𝟒 ≤ 𝟑 es falso, ya que debe cumplirse al mismo tiempo que 𝟏 ≤ 
𝟒 𝒚 𝟒 ≤ 𝟑. La primera expresión es cierta, pero la segunda es falsa. Es decir, no se 
cumplen las dos expresiones. 
 El enunciado −𝟑 ≤ 𝟎 < 𝟓 es cierto, ¿Por qué? 
 El enunciado 𝟏 ≤ 𝟑 < 𝟑 es falso, ¿Por qué? 
 Sin embargo, la desigualdad 𝟏 ≤ 𝟑 ≤ 𝟑 es cierta, ¿Por qué? 
 
2. INTERVALOS 
 
 
 
En un intervalo, se coloca entre corchetes el primero y el último elemento separados por una 
coma, así: 
 
𝒂: primer elemento del conjunto 
𝒃: último elemento del conjunto 
 
Cuando el primero y el último elemento no pertenecen al intervalo se escribe ]𝒂, 𝒃[. 
 
El enunciado 𝒂 ≤ 𝒄 ≤ 𝒃, es equivalente a que 𝒂 ≤ 𝒄 y a la vez que 𝒄 ≤ 𝒃, es decir, que 
deben de ser ciertas las dos condiciones. Esto se puede escribir como 
𝒂 ≤ 𝒄 ≤ 𝒃 ⟺ 𝒂 ≤ 𝒄 𝒚 𝒄 ≤ 𝒃 
[𝒂, 𝒃] 
 
Un intervalo es un conjunto denso de números reales y se representa por medio de 
corchetes. Un conjunto se dice que es denso, si entre dos números cualesquiera del 
conjunto existe otro número que pertenece al mismo conjunto. 
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2.1 CLASES DE INTERVALOS 
 
2.1.1 INTERVALO CERRADO 
 
[𝒂, 𝒃] también puede escribirse en notación de conjunto como {𝒙 ∈ ℝ⁄𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃}. Lo que 
significa que el intervalo está formado por todos los números reales 𝒙 tales que se encuentren 
entre los valores de 𝒂 y de 𝒃, ambos inclusive. 
 
Gráficamente: 
 
 
 
Fig. 2.1.1.a 
Ejemplo: 
Intervalo [−𝟐, 𝟐], 
[−𝟐, 𝟐] = {𝒙 ∈ ℝ⁄−𝟐 ≤ 𝒙 ≤ 𝟐}. 
 
Gráficamente: 
 
 
 
Fig. 2.1.1.b 
 
2.1.2 INTERVALO ABIERTO 
 
]𝒂, 𝒃[ también puede escribirse en notación de conjunto como {𝒙 ∈ ℝ⁄𝒂 < 𝒙 < 𝒃}. Lo que 
significa que el intervalo está formado por todos los números reales 𝒙 tales que se encuentren 
entre los valores de 𝒂 y de 𝒃, sin incluir los extremos. 
 
Gráficamente: 
 
Fig. 2.1.2.a 
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Ejemplo: 
Intervalo ] − 𝟑, 𝟑[, 
] − 𝟑, 𝟑[ = {𝒙 ∈ ℝ⁄−𝟑 < 𝒙 < 𝟑}. 
 
Gráficamente: 
 
Fig. 2.1.2 b 
 
 
 
2.1.3 INTERVALO SEMICERRADO A LA IZQUIERDA 
 
[𝒂, 𝒃[ también puede escribirse en notación de conjunto como {𝒙 ∈ ℝ⁄𝒂 ≤ 𝒙 < 𝒃}. 
Gráficamente: 
 
Fig. 2.1.3.a 
Ejemplo: el intervalo [𝟎, 𝟏[ está formado por todos los números reales entre 𝟎 y 𝟏, incluyendo 
𝟎 y no incluye el 𝟏 (observemos que entre cero y uno, hay una infinidad de números reales). 
 
Este intervalo se puede escribir en forma de conjunto como {𝒙 ∈ ℝ⁄𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟏}. 
 
Gráficamente: 
 
OBSERVACIÓN: en el ejemplo anterior, un número que pertenece al intervalo tiene que 
estar entre −𝟑 y 𝟑, pero no puede tomar los valores de −𝟑 y 𝟑. O 
sea que un elemento del conjunto se puede acercar a −𝟑 o al valor de 
𝟑 (−𝟐. 𝟗, −𝟐. 𝟗𝟗, −𝟐. 𝟗𝟗𝟗𝟗, 𝒆𝒕𝒄. 𝒐 𝟐. 𝟖𝟓, 𝟐. 𝟗𝟓, 𝟐. 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗) sin llegar a ser −𝟑 ni 𝟑. 
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Fig. 2.1.3.b 
Ejercicio: escriba un ejemplo de intervalo semicerrado a la izquierda, utilizando la notación 
de intervalo, notación de conjunto y en forma gráfica. 
 
2.1.4 INTERVALO SEMICERRADO A LA DERECHA 
 
]𝒂, 𝒃] también puede escribirse en notación de conjunto como {𝒙 ∈ ℝ⁄𝒂 < 𝒙 ≤ 𝒃}. 
Gráficamente: 
 
Fig. 2.1.4.a 
Ejercicio: escriba un ejemplo de intervalo semicerrado a la derecha, utilizando la notación 
de intervalo, notación de conjunto y en forma gráfica. 
 
2.1.5 INTERVALOS AL INFINITO 
 
I. Intervalo [𝒂, +∞[, {𝒙 ∈ ℝ⁄𝒙 ≥ 𝒂} 
II. Intervalo ] − ∞, 𝒃], {𝒙 ∈ ℝ⁄𝒙 ≤ 𝒃} 
III. Intervalo ] − ∞, 𝒃[, {𝒙 ∈ ℝ⁄𝒙 < 𝒃} 
IV. Intervalo ]𝒂, +∞[, {𝒙 ∈ ℝ⁄𝒙 > 𝒂} 
 
Cuyas gráficas respectivas son: 
 
I. 
II. 
 
III. 
 
IV. 
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Ejercicio: escriba un ejemplo de cada uno de los intervalos infinitos, utilizando la 
notación de intervalo, notación de conjunto y en forma gráfica. 
 
 
 
 
2.1.6 OPERACIONES CON INTERVALOS: UNIÓN E INTERSECCIÓN 
 
Sean Α y 𝐵 intervalos,las operaciones de unión e intersección: 
 
I. 𝑨⋃𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ⁄𝒙 ∈ 𝑨 𝑜 𝒙 ∈ 𝑩} (hacer un solo intervalo de los dos) 
II. 𝑨⋂𝑩 = {𝒙 ∈ ℝ⁄𝒙 ∈ 𝑨 𝑦 𝒙 ∈ 𝑩} (los elementos comunes a los dos intervalos) 
 
 Un elemento pertenece a la unión si pertenece al intervalo 𝑨 o al intervalo 𝑩 o 
ambos. 
 Un elemento pertenece a la intersección si pertenece al intervalo 𝑨 y la vez 
pertenece al intervalo 𝑩. 
 Las operaciones anteriores se pueden extender a más de dos intervalos. 
 
Ejemplo: 
Dados 𝑨 = [𝟐, +∞[ y 𝑩 =] − 𝟑, 𝟒] efectuar las operaciones 𝑨⋃𝑩, 𝑨⋂𝑩. 
 
Solución: se puede resolver sin hacer uso de la representación gráfica de los intervalos, sin 
embargo, es de mucha utilidad. 
 
Fig. 2.1.6.a 
La unión es la parte que resulta ya sea de color rojo, verde o ambos colores. 
La intersección es la parte que tiene los dos colores (rojo y verde). 
NOTA: El conjunto de todos los números reales ℝ se puede representar en forma de 
intervalo ℝ =] − ∞, +∞[, y en forma gráfica se puede representar en lo que se le llama “la 
recta real”: 
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Respuestas: 
𝑨⋃𝑩 =] − 𝟑, +∞[ 
𝑨⋂𝑩 = [𝟐, 𝟒] 
 
Observemos que el -3 no pertenece a ninguno de los intervalos y por lo tanto, no pertenece 
a la unión. 
 
Ejercicio: siendo 𝑨 = [𝟎, 𝟔[ y 𝑩 = [−𝟔, 𝟒], efectuar las operaciones 𝑨⋃𝑩, 𝑨⋂𝑩. 
 
NOTA: Si no se tiene colores se puede usar rayas //// para un intervalo y rayas \\\\ para 
el otro y lo que quede rayado en ambos sentidos en la recta, es la intersección.