Dominio y rango de una función en forma gráfica y analítica

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UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR EN LÍNEA 
 FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
 MATEMÁTICA I 
Este material ha sido proporcionado al estudiante en el marco de su formación a través de una carrera en línea en la 
Universidad de El Salvador. Se han respetado los derechos de autor para su elaboración. El debido uso del mismo es 
responsabilidad del estudiante. 
DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN EN FORMA GRÁFICA Y 
ANALÍTICA. 
 
1.1 FORMA GRÁFICA 
 
Ejercicio 5: Determinar el dominio y contradominio (rango) de cada una de las funciones 
siguientes: 
 
 
 
 
a) 
 
Recordemos que el dominio de una función lo conforman los valores de la variable 
independiente, en este caso 𝒙, que participan en la función. Por esta razón, una manera de 
establecer el dominio de una función es proyectando la gráfica hacia el eje “x” y lo que quede 
sombreado ese será el dominio de dicha función. 
 
 
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Las flechas de la gráfica indican que la función continúa indefinidamente, por lo tanto, el dominio 
de la función es el conjunto de todos los números reales 𝑫𝒇 = ℝ. 
Para determinar el rango o contradominio, proyectamos la gráfica hacia el eje de la variable 
dependiente, en este caso “y”. 
 
 
Y de similar forma concluimos que el contradominio para esta función es 𝑹𝒇 =] − ∞, −𝟏] 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
En este caso, hay dos círculos pequeños que están en blanco, lo que significa que dichos puntos 
no le pertenecen a la gráfica. 
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𝑫𝒇 = ℝ − {−𝟐, 𝟑} 
 
𝑹𝒇 = ℝ − {𝟎, 𝟐} 
 
c) 
 
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𝑫𝒇 = ℝ − {−𝟏} 
𝑹𝒇 = ]−∞, 𝟎[ ∪ [𝟏, +∞[ 
 
 
1.2 FORMA ANALÍTICA 
 
1.2.1 DOMINIO 
Recordemos que el dominio de una función son todos los valores que puede tomar la variable 
independiente y que pueda determinársele el valor que le corresponde de la variable 
dependiente. Dicho de otro modo, si “x” es la variable independiente y “y” es la variable 
dependiente, el dominio son todos los valores de 𝒙 para los cuales se puede encontrar un valor 
de “y”. 
 
Para determinar el dominio de una función, en forma analítica, se supone que no se tiene la 
gráfica y solamente tenemos la regla de asignación (la fórmula). Para ello hay que tener en 
cuenta las siguientes consideraciones: 
1) La división entre cero no existe 
2) Las raíces pares de números negativos no existen en los reales 
3) Los logaritmos de números negativos no existen (esta consideración la utilizaremos más 
adelante) 
 
Ejemplo: 
¿Qué consideraciones hay que tener en cuenta para encontrar el dominio de las siguientes 
funciones? 
a) 𝒑(𝒙) = −𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟎 R/ la variable independiente “x” puede tomar cualquier 
valor no hay ninguna restricción. Esto sucede con las funciones polinómicas. 
b) 𝒈(𝒕) =
𝒕+𝟑
𝒕𝟐−𝟒
 R/ La división entre cero no existe, es decir que la variable “t” no puede 
tomar valores que hagan cero el denominador. En este caso son 2 valores, ¿Podrías 
determinar cuáles son...? 
c) 𝒉(𝒙) = √𝒙 − 𝟑
𝟒
 R/ La raíz par de números negativos no existe. Por ej. Si 𝒙 toma el valor 
de 1, dentro del radical nos quedaría un valor negativo 𝒉(𝟏) = √𝟏 − 𝟑
𝟒
= √−𝟐
𝟒
 . 
d) 𝒇(𝒕) =
𝟏
√𝟒−𝒕𝟐
 R/ Hay que tomar en cuenta dos consideraciones: La raíz cuadrada de 
números negativos no existe y, además, la división entre cero no existe. 
 
1.2.2 RECORRIDO O RANGO 
No se puede determinar en forma analítica el rango de toda función o a veces es muy complicado. 
Sin embargo, a algunas funciones se les puede determinar el rango o recorrido en forma fácil. 
Ejemplo: 
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Determinar el dominio y recorrido de la función 𝒈(𝒙) =
𝒙+𝟑
𝒙−𝟒
 
Solución: 
Podemos ver fácilmente que el dominio de la función son todos los reales excluyendo 𝒙 = 𝟒 , 
que es el que hace cero el denominador. 
Para determinar el rango analíticamente, hacemos lo siguiente: 
𝒈(𝒙) =
𝒙 + 𝟑
𝒙 − 𝟒
 
 
𝒚 =
𝒙 + 𝟑
𝒙 − 𝟒
 
 
𝒚(𝒙 − 𝟒) = 𝒙 + 𝟑 Despejamos la variable 𝒙 
𝒚𝒙 − 𝟒𝒚 = 𝒙 + 𝟑 
𝒚𝒙 − 𝒙 = 𝟑 + 𝟒𝒚 
𝒙(𝒚 − 𝟏) = 𝟑 + 𝟒𝒚 
𝒙 =
𝟑 + 𝟒𝒚
𝒚 − 𝟏
 
 
 
Ahora hay que hacerse la siguiente pregunta ¿Cuáles son los valores de “y” para los cuales “x” 
no está definida? 
Observe que el único valor de “y” para el cual “x” no está definida es 𝒚 = 𝟏 entonces se tiene 
que el rango de la función es: 𝑹𝖌 = ℝ − {𝟏} 
Ejercicio 6: Determinar el dominio de la función 𝒈(𝒕) =
𝒕+𝟑
𝒕𝟐−𝟒
 
Solución: 
Como la división entre cero no existe, el denominador no puede ser cero. 
Podemos igualar a cero el denominador, para ver los elementos que hay que extraer de los 
números reales. 
𝒕𝟐 − 𝟒 = 𝟎 
𝒕𝟐 = 𝟒 
𝒕 = ±√𝟒 
𝒕 = ±𝟐 
 
Notemos que es la única restricción, por lo tanto, el dominio de la función 𝒈 son todos los 
números reales menos el -2 y el 2. O sea que 𝑫𝖌 = ℝ − {−𝟐, 𝟐}, lo cual puede escribirse también 
como 𝑫𝖌 = ]−∞, 𝟐[ ∪ ]−𝟐, 𝟐[ ∪ ]𝟐, +∞[ 
 
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Ejercicio 7: Determinar el dominio de 𝒈(𝒕) = √𝟓𝒕 − 𝟒
𝟔
 
 
Solución: 
Recordemos que raíces pares de números negativos no existen en los reales, por lo tanto, para 
que existan debe de cumplirse que 𝟓𝒕 − 𝟒 tiene que ser positivo o cero. Es decir que 𝟓𝒕 − 𝟒 ≥ 𝟎 
y ésta es una inecuación lineal que al resolverla nos resulta que 𝒕 ≥
𝟒
𝟓
. 
Lo que significa que el dominio de la función 𝒈son los números reales mayores o iguales que 
𝟒
𝟓
, 
lo cual se pude expresar en forma de intervalo como: 𝑫𝖌 = [
𝟒
𝟓
, +∞[ 
 
Ejercicio 8: Determinar el dominio de 𝒇(𝒙) = √𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 
 
Solución: 
 
Observemos que la raíz par (en este caso raíz cuadrada) está definida para valores mayores o 
iguales a cero, es decir que encontrar el dominio de esta función equivale a resolver la inecuación 
𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟒 ≥ 𝟎 , que es una inecuación cuadrática, que ya hemos visto que los pasos a seguir 
son: 
(𝒙 − 𝟒)(𝒙 − 𝟏) ≥ 𝟎 Factorar la expresión sub-
radical y reescribirla. 
i. (𝒙 − 𝟒) = 𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟒 
ii. (𝒙 − 𝟏) = 𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟏 
Encontrar la raíz de cada 
factor, para ello deberá 
igualarse cada factor a cero: 
 
 
Construir cuadro de variación 
 
 
Luego 𝑫𝒇 = ]−∞, 𝟏] ∪ [𝟒, +∞[ 
 
 
 
 
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Ejercicio 9: Determinar el dominio de 𝒇(𝒙) = √𝟏 −
𝟐
𝒙−𝟏
𝟔
 
Solución: 
Ya que la regla de asignación de la función es un solo término y que posee una raíz par, para que 
exista un valor de “y”, debe de cumplirse que 𝟏 −
𝟐
𝒙−𝟏
≥ 𝟎 ésta es una desigualdad que ya 
sabemos cómo resolverla (inecuación con términos fraccionarios con variable en el 
denominador). 
Recordemos cómo son los pasos a seguir: 
1. Se trasladan todos los términos a un solo miembro de la desigualdad. 
2. Se suma o se restan las fracciones transformándola a la forma 
𝒂
𝒃
< 𝟎 (el símbolo de la 
desigualdad puede ser también ≤, ≥, o >. 
3. Se factoriza (si es posible) el numerador y el denominador. 
4. Luego se encuentran las raíces de cada uno de los factores, tanto del numerador como 
del denominador. 
5. Posteriormente se construye un cuadro de variación. 
 
Observemos que el primer paso ya no es necesario, en este ejercicio en particular 𝟏 −
𝟐
𝒙−𝟏
≥ 𝟎 
Favor de continuar resolviéndolo... 
 
La solución es: 𝑫𝒇 = ]−∞, 𝟏[ ∪ [𝟑, +∞[ 
 
Pregunta: ¿Por qué se excluyó el valor de 1 del dominio, aunque el símbolo de la inecuación es: 
≥? 
Ejemplo: Determinar el dominio de 𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙𝟐+𝒙−𝟔
 
Solución: 
Observemos que no hay en la función ninguna raíz par, por lo tanto, no hay ninguna inecuación 
que resolver. 
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 1) Recordar que 𝒇(𝒙) no existe cuando 
𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 
(𝒙 + 𝟑)(𝒙 − 𝟐) = 𝟎 2) Determine las raíces del denominador: 
 
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𝒙 + 𝟑 = 𝟎 𝒙 − 𝟐 = 𝟎 
𝒙 = −𝟑 𝒙 = 𝟐 Es decir 𝒇(𝒙) no existe cuando 𝒙 = −𝟑 y 
cuando 𝒙 = 𝟐 por lo tanto el dominio es: 
𝑫𝒇 = ℝ − {−𝟑, 𝟐} 
 
Ejercicio 10: Determinar el dominio de 𝒇(𝒙) = √
𝟏
𝒙𝟐+𝒙−𝟔
𝟑
 
Solución: 
Notemos que la regla de asignación es una raíz impar (raíz cúbica), por lo tanto, no hay problemas 
con números negativos dentro del radical, entonces la única restricción son los valores que hacen 
“cero el denominador”. Es decir, el dominio son todos los números reales quitándole esos 
valores. ¿Cuáles son? 
 
MODELADO DE FUNCIONES 
Ejercicio 11: 
a) Un rectángulo tiene 40 m . de perímetro. Expresar el área del rectángulo en función de la 
longitud de uno de sus lados. 
Solución: 
El área de un rectángulo se obtiene multiplicando el largo por el ancho, en este caso podemos 
decir que el área del rectángulo está en función del largo y del ancho. Sin embargo, podemos 
escribir en este caso en particular, el área en función del ancho o el área en función del largo del 
rectángulo y esto se debe a que nos piden que el rectángulo debe de tener 40 m de perímetro. 
 
𝑨 = 𝒙𝒚 Sean 
𝒙: 𝒍𝒂𝒓𝒈𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒄𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒏 𝒎. 
𝒚: 𝒂𝒏𝒄𝒉𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒄𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒏 𝒎. 
𝑨: á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒄𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒆𝒏 𝒎𝟐 
𝒑: 𝒑𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝒅𝒆𝒍 𝒓𝒆𝒄𝒕á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 
𝒑 = 𝟐𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟒𝟎 
𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟎 
ó 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝟐 
𝒚 = 𝟐𝟎 − 𝒙 Despejando “y” de la ecuación 𝒙 + 𝒚 = 𝟐𝟎 
𝑨 = 𝒙𝒚 
𝑨 = 𝒙(𝟐𝟎 − 𝒙) 
Ahora sustituyendo esta ecuación en la del 
área, tenemos 
Lo que podemos escribir como 𝑨(𝒙) =
𝒙(𝟐𝟎 − 𝒙). 
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 Ahora si el área está en función de uno de sus 
lados (en función del largo). 
Observemos que pudimos haber colocado el 
área en función del ancho 
𝑨(𝒚) = ⋯ 
 
El dominio de esta función aparenta ser todos los reales, sin embargo, hay que hacer notar que 
el área de un rectángulo no puede ser negativa ni cero, esto implica también que el largo y el 
ancho tampoco pueden ser negativos ni cero, ya que si una de estas magnitudes es cero no 
existiría ningún rectángulo. 
Por lo tanto, el dominio de la función son los valores de x entre cero y 20, sin incluir ambos. 
𝑨(𝒙) = 𝒙(𝟐𝟎 − 𝒙), 𝒄𝒐𝒏 𝟎 < 𝒙 < 𝟐𝟎 
 
b) La tarifa eléctrica mensual de una compañía “pocaluz” se determina de la siguiente 
manera: Si el número de kilowatts hora es menor que 100, la tarifa es de $0.18 por cada 
kilowatt hora. Si está entre 100 y 200, la tarifa es de $0.21 por cada KWH. Si es mayor a 
200, la tarifa es de $50 fijos más $0.20 por cada KWH que exceda a 200 KWH. Exprese la 
función que represente el costo de la energía en función del consumo mensual. 
 
Solución: 
 C: costo mensual de la energía (tarifa mensual) 
K: Número de kWH consumidos en el mes 
𝑪(𝒌) = 𝟎. 𝟏𝟖𝒌 Cuando el consumo es entre cero y cien 
𝑪(𝒌) = 𝟎. 𝟐𝟏𝒌 Cuando el consumo es entre 100 y 200 
 Si es mayor a 200, la tarifa es de $50 fijos más 
$0.20 por cada KWH que exceda a 200 KWH; es 
decir, por cada KWH que exceda a 200, significa 
por cada KWH que sea mayor de 200. Por 
ejemplo, si algún hogar consumió K=225 KWH 
al mes, son 25 KWH que exceden a 200. Cada 
uno de estos 25 KWH cuesta $0.20 más $50 
fijos. 
𝑪(𝒌) = 𝟓𝟎 + 𝟎. 𝟐𝟎(𝒌 − 𝟐𝟎𝟎) Cuando el consumo es mayor de 200 
 
0.18 , 0 100
(K) 0.21 , 100 200
0.20( 200) 50, 200
K K
C K K
K K
 

  
   