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ANÁLIS. MATE. ING. - EXAC. 1F2C2017 TEMA 2 - 18-12-17 APELLIDO: SOBRE Nº: NOMBRES: Duración del examen: 2 hs DNI/CI/LC/LE/PAS. Nº: CALIFICACIÓN: Apellido del evaluador: E-MAIL: TELÉFONOS part: cel: Completar con letra clara, mayúscula e imprenta El examen cuenta con diez ejercicios de opción múltiple. Cada uno vale un punto. En estos ejercicios únicamente se corregirá la opción marcada. Se debe elegir una ÚNICA respuesta. Si se escribe más de una opción se considerará inválida la respuesta. El examen tiene que ser entregado en tinta y no se permite el uso de teléfonos móviles ni calculadoras. Copie sus resoluciones en una hoja que será entregada por el personal de UBA XXI para comparar con los criterios de corrección que estarán disponibles en la solapa “Evaluación” del campus virtual de la materia. 1) Sea 323)( xxxp el polinomio de Taylor de grado 3, centrado en x = 1, de una función f. Entonces, la recta tangente a x dttfxfxxg 2 1 2 )()2()( en x = 1/2 es: 58 xy 18 xy 4 11 2 13 xy Ninguna de las otras es correcta Resolución Este ejercicio es sencillo si se saben algunas propiedades. Para la recta tangente necesitamos: )2/1)(2/1(')2/1( xggy 2/1.2 1 2 )() 2 1 .2(2/1)2/1( dttffg Pero la integral desde 1 hasta 1 vale 0. Entonces quedó: 2 1 2. 4 1 )1( 4 1 )1( 4 1 )1(2/1)2/1( 2 pffg Y la derivada de g queda: 2/132/161. 2 1 2.3)1(' 2 1 2.3)1(' 2 1 )1(3 2).1(2).1('.2/1)1(. 2 1 .2)2/1(' 2).2(2).2('.)2(.2)(' 2 2 pff fffg xfxfxxfxxg Reemplazamos: 4 11 2 13 )2/1( 2 13 2 1 xy xy 2) Las ecuaciones de las asíntotas verticales de la función bxxx x xf 23 3 42 )( donde b es el valor de la ordenada del punto de inflexión de la función 223)( 23 xxxxg , son: x = 0 x = 0, x = 1 x = 0, x = 2, x = 1 Ninguna de las otras es correcta Resolución Primero sacamos el punto de inflexión, para eso hay que derivar dos veces: 1 066)('' 263)(' 223)( 2 23 x xxg xxxg xxxxg Vemos que la derivada segunda de un lado del x = 1 es negativa y del otro positiva. Por lo tanto, en x = 1 hay un punto de inflexión. Pero nos dicen la “ordenada”, es decir, el valor de y. Entonces: 22231)1( g Reescribimos la función con b = 2: xxx x xf 23 42 )( 23 Sacamos el dominio. 2,1,0 0)23( 023 2 23 RDf xxx xxx Hay 3 candidatos a ser A.V. Hay que tomar el límite con cada uno. Con x tendiendo a 0 y tendiendo a 1 el límite da infinito (sin importar el signo). En cambio con x = 2 hay una indeterminación que, una vez salvada, da 1. Por lo tanto las primeras dos son A.V. 3) La suma de la siguiente serie 2 1 3 n nr , donde nnnr n 32lim es: 3/4 3 Ninguna de las otras es correcta Resolución En primer lugar calculamos el límite, como es una indeterminación hay que salvarla. Multiplicamos y dividimos por el conjugado: 2 1 1)/3/11( /31 1)/3/11( /31 )/3/11( 3 )/3/11( 3 3 3 3 3 3 3 .33 222 2222 22 2 2 22 limlimlim limlimlim limlim nn n nnn nn nnnn n nnnn n nnn n nnn nnn nnn nnn nnnnnnr nnn nnn nn Entonces queda una geométrica, pero no comienza en n = 0 4 3 2 1 12. 2 3 2 1 1 2/11 1 . 2 3 2 1 2 1 .3 2 1 3 3 22 1 2 1 n n n n n nr 4) Una primitiva de dxex xp )()64( donde )(xp es el polinomio de Taylor de orden 2, centrado en x = 0, de la función 21)3()( xxsenxf es: 1313 22 )64(4 xxxx exe 132 xxe 162 2 xxe Ninguna de las otras es correcta Resolución El polinomio de orden 2 de la función, centrado en x = 0 es: 2)0)(0('' 2 1 )0)(0(')0()( xfxffxp 22)0(9)0('' 303).0cos()0(' 101)0()0( 23.3).3()('' 23).3cos()(' 1)3()( 2 senf f senf xsenxf xxxf xxsenxf 22 312. 2 1 31)( xxxxxp Entonces, una primitiva es: dxexdxexdxex xxxxxp 22 3131)( )32(2)64()64( que se resuelve aplicando el método de sustitución: CeCedue xxuu 231222 5) Sea RRf : derivable en R infinitamente, tal que cumple 1)(' )( xxfxf , 2)1( f , entonces, su polinomio de Taylor de grado 2, centrado en x = 1 es: 2)1( 4 1 2)( xxp 2)1( 4 1 2 3 )( xxp 2)1( 2 1 2)( xxp Ninguna de las otras es correcta Resolución Armamos el polinomio de Taylor: 2)1)(1('' 2 1 )1)(1(')1()( xfxffxp f(1) = 2 por dato Para f ‘ (1) despejamos: 0)1(' 0)1('2 11)1(')1( 1)(' )( f f ff xxfxf Para la segunda hay que derivar: 2/1)1('' 01)1(''20 01)1('')1()1(')1(' 01)('')()(')(' 1)(' )( f f ffff xfxfxfxf xxfxf Armamos el polinomio y queda la respuesta. 6) La integral de dx x xg 1 )( 2 donde )(xg es la función inversa de 3 1 3 1 )( xxf es: Cxx 11ln 2 Cxx 1ln1ln 2 3 22 Cx 1ln 2 Ninguna de las otras es correcta Resolución La inversa de f es: 13)( xxg Entonces: dx x x 1 13 2 que se resuelve aplicando fracciones: dx x B dx x A dx xx x dx x x 11)1)(1( 13 1 13 2 Despejando, A = 2 y B = 1. Entonces: CxxCxxdx x dx x 1ln1ln1ln1ln2 1 1 1 2 2 7) El área encerrada entre la recta xy y la parábola que pasa por el punto (– 1, 2) y cuyas raíces son 0 y 1 es: 4/3 – 4/3 2 Ninguna de las otras es correcta Resolución La parábola es: )1( 1 22 )2)(1(2 )1)(0())(( 21 xxy a a a xxaxxxxay Vemos dónde se corta con la recta y = x 2 0 )1( xox xxx Entonces, función techo es la recta y el piso es la parábola: 3/43/84 3 1 2)( 2 0 32 2 0 2 2 0 2 xxdxxxdxxxx 8) El área encerrada entre las curvas xy /1 , su recta tangente en x = 1 y la recta y = 1/4 se calcula haciendo: 4/7 1 4 1 4 7 4 11 dxxdx x 2 4/7 4/7 1 2 1 4 11 dxx x dx x 4 1 4 71 dxx x Ninguna de las otras es válida Resolución La recta tg a y = 1/x en x = 1 es: 2 )1(11)(' 000 xy xxxyyy Si graficamos las curvas queda: La recta roja se cruza con la horizontal en 4/7 4/12 4/12 x x x Y la curva azul se cruza con la horizontal en: 4 4/1/1 x x Por lo tanto nos quedan 2 áreas: la primera va desde x = 1 hasta x = 7/4, y la segunda desde x = 7/4 hasta x = 4. El techo es siempre 1/x en las dos, pero cambian los pisos. Pero no es la única forma de calcularla, Si hacemos la integral desde x = 1 hasta x = 4, de 1/x menos 1/4 estaríamos calculando el área amarilla + la verde: Luego restamosel área en color verde y nos queda la respuesta marcada. 9) El valor del máximo absoluto de la función 1 3 1 )( 3 xxxf , con 32 x es: – 1 7 5/3 Ninguna de las otras es correcta Resolución Para sacar el máximo absoluto en un intervalo cerrado de una función continua hay que ver los PC y los bordes. Para los PC derivamos: 1 01)(' 1 3 1 )( 2 3 x xxf xxxf Nos fijamos si están dentro del intervalo que nos piden. Sí, ambos puntos son PC. Ahora evaluamos en los PC y en los bordes: 7139133. 3 1 )3( 3 1 12 3 8 1)2()2( 3 1 )2( 3 5 11 3 1 1)1()1( 3 1 )1( 3 1 11 3 1 111. 3 1 )1( 3 3 3 3 f f f f Vemos que el más chico es 1/3 mínimo absoluto, y el más grande un 7, valor máximo absoluto. 10) La serie 1 3n n n a , donde a es el valor de la derivada en x = 0 de la función 0 0 0 2 )( )( 2 xsi xsi x xsen xf converge de manera absoluta converge en forma condicional no puede calcularse porque f no es derivable en x = 0 Ninguna de las otras es correcta Resolución Para encontrar la derivada debemos hacerlo por definición ya que es una función partida. 2 1 .2 )()( 2 )( 0 2 )( )0()0( )0(' lim limlimlim 0 2 2 0 2 00 hh hsenhsen h hsen h h hsen h fhf f h hhh Luego, reemplazamos la a por 1/2 y queda: 11 3 2/1 3 n n n n nn a que aplicando el criterio de D’ Alambert o de Cauchy (más fácil) queda 1/2, como es menor que 1 converge en forma absoluta.
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