2do parcial - diferido - claves

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Escribir el examen con birome y letra clara. No se permite el uso de celulares. 
Ejercicios de opción múltiple. 
Se debe marcar una sola respuesta en cada ejercicio. El desarrollo de estos ejercicios no será tenido en 
cuenta, se realizará en una hoja borrador que no se entregará para su corrección. 
Ejercicio 1. (1 punto) Sabiendo que 𝑓 y 𝑔 son funciones integrables, 𝑓 es par y 𝑔 es impar, 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 4 y ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 5, el valor de la integral de ∫ (3𝑓(𝑥) − 2𝑔(𝑥))𝑑𝑥 es: 
 48 12 
 2 Ninguna de las otras es correcta. 
 
Solución. Si 𝑓 es par, entonces ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥. Por otro lado, si 𝑔 es impar, entonces 
∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 = 0. Entonces, 
3𝑓(𝑥) − 2𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = 3 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 2 𝑔(𝑥)𝑑𝑥
= 6 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − 2 .0 
= 48 
 
Ejercicio 2. (1 puntos) Sean la función 𝑓: 𝑅 → 𝑅, infinitamente derivable, cuyo polinomio de Taylor de 
tercer orden centrado en 𝑥 = 0 es 𝑃(𝑥) = 3𝑥 −𝑥 , y la función 𝑔: 𝑅 → 𝑅 definida por 𝑔(𝑥) = 𝑓(sin (𝑥)). La 
función 𝑔 en 𝑥 = 𝜋 tiene: 
 Un máximo relativo. Un punto de inflexión. 
 Un mínimo relativo. Ninguna de las otras es correcta. 
 
Solución. Para analizar extremos en 𝑥 = 𝜋, lo que tenemos que hacer es calcular la derivada primera de 𝑔 ver 
que avaluada en 𝜋 da cero, y después analizar la derivada segunda para ver como da el signo al ser evaluada 
en 𝜋. 
𝑔 (𝑥) = 𝑓 (sin(𝑥)) cos(𝑥) → 𝑔 (𝜋) = 𝑓 (0) cos(𝜋) = 𝑝 (0) cos(𝜋) = 0 . (−1) = 0 
𝑔 (𝑥) = 𝑓 (sin(𝑥)) cos (𝑥) − 𝑓 (sin(𝑥)) sin(𝑥) 
→ 𝑔 (𝜋) = 𝑓 (0) cos (𝜋) − 𝑓 (0) . 0 = 𝑝 (0) (−1) = −2 
Entonces podemos afirmar que en 𝑥 = 𝜋 tenemos un máximo relativo. 
Ejercicio 3. (1 punto) La integral indefinida ∫
( )
𝑑𝑥 es: 
 ( ) + ln (𝑥 − 1) + 𝐶 ln(𝑥 − 1) + 𝐶 
 ln(𝑥 − 1) + ln(𝑥 − 1) + 𝐶 Ninguna de las otras es correcta. 
 
Solución. Lo primero que tenemos que darnos cuenta de que es una integral por fracciones simples. Entonces 
armamos la descomposición: 
𝑥
(𝑥 − 1)
=
𝐴
(𝑥 − 1)
+
𝐵
𝑥 − 1
→ 𝑥 = 𝐴 + 𝐵(𝑥 − 1) 
ANÁLIS. MAT. 
ING. - EXACTAS 
1C 2018 
 
TEMA 1 - 15-05-18 
 
APELLIDO: 
 
SOBRE Nº: 
NOMBRES: 
 
Duración del examen: 2 hs 
DNI/CI/LC/LE/PAS. Nº: 
CALIFICACIÓN: 
 
 
Apellido del evaluador: 
 
-MAIL: 
TELÉFONOS part: cel: 
Si tomamos 𝑥 = 1, nos queda que 𝐴 = 1, y si tomamos 𝑥 = 0 nos da que 𝐵 = 1. Entonces planteamos la 
siguiente integral: 
𝑥
(𝑥 − 1)
𝑑𝑥 =
1
(𝑥 − 1)
𝑑𝑥 +
1
𝑥 − 1
𝑑𝑥 = −
1
𝑥 − 1
+ ln(𝑥 − 1) + 𝐶 
 
 
Ejercicio 4. (1 punto) El radio de convergencia de la serie ∑ es: 
 5 Infinito 
 0 Ninguna de las otras es correcta. 
 
Solución. Analizamos que pasa con la serie de los módulos con algún criterio, por ejemplo, el de D’Lambert. 
Cuando planteamos la desigualdad respecto a 1 para pedir la convergencia y despejamos el módulo de x 
obtenemos el radio de convergencia. 
lim
→
𝑥
(𝑛 + 1) 5
.
𝑛 5
𝑥
= |𝑥| lim
→
𝑛
(𝑛 + 1) 5
= |𝑥|
1
5
< 1 → |𝑥| < 5 
Entonces, el radio de convergencia es 5 
 
 
Ejercicio 5. (1 puntos) La serie ∑ ( ) √ es: 
 
 Condicionalmente convergente. 
 Divergente. 
 Absolutamente convergente. 
 
Solución. Para analizar la convergencia absoluta hay que ver si converge la serie de los módulos. Lo hacemos 
con el criterio de la raíz. 
lim
→
 √𝑛
𝑛 + 1
= lim
→
 𝑛
(𝑛 + 1)
= 0 < 1 
Como el límite es menor a 1, podemos afirmar que la serie converge absolutamente. 
Ejercicio 6. (1 puntos) La función 𝑓 definida por 𝑦 = 𝑓(𝑥) que satisface (𝑥 − 1) 𝑦′ + (𝑥 − 1)𝑦 = 0 es: 
 𝑦 = −(𝑥 − 1) + 𝐶 𝑦 = 
 𝑦 = ln(𝑥 − 1) + 𝐶 Ninguna de las otras es correcta. 
 
Solución. Hay que resolver la ecuación diferencial y encontrar la solución general. Separamos variables e 
integramos: 
(𝑥 − 1) 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −(𝑥 − 1)𝑦 →
1
𝑦
𝑑𝑦 = −
1
𝑥 − 1
𝑑𝑥 → 𝑦 = 𝐶(𝑥 − 1) 
Ejercicios para completar 
Escribir las respuestas en las líneas punteadas. El desarrollo de estos ejercicios no será tenido en 
cuenta. Se realizarán en una hoja borrador que no se entregará para su corrección. 
 
Ejercicio 1. Dada la función 𝑓 definida por 𝑓(𝑥) = 𝑒 . Calcular el polinomio de Taylor de orden 
2 centrado en 𝑥 = −1. 
𝑃 (𝑥) = 1 − 2(𝑥 + 1) + 3(𝑥 + 1) 
…………………………………………………………………………………………………. 
 
Solución. El polinomio pedido es de la forma: 𝑃 (𝑥) = 𝑓(−1) + 𝑓 (−1)(𝑥 + 1) +
( )
(𝑥 + 1) . 
Calculamos las derivadas evaluadas en 𝑥 = −1, y obtenemos el polinomio deseado. 
𝑓(−1) = 1 
𝑓 (𝑥) = 𝑒 2𝑥 → 𝑓 (−1) = −2 
𝑓 (𝑥) = 𝑒 4𝑥 + 𝑒 2 → 𝑓 (−1) = 6 
 
 
 
Ejercicio 2. (3 puntos) Dada la curva 𝑦 = y la recta 𝑦 = −𝑥 + 4. Se pide: 
a) Hacer el gráfico de ambas y sombrear el área que 
encierran. 
b) Plantear la integral definida para calcular el área y 
resolverla. 
 
 
 −𝑥 + 4 −
1
𝑥
 𝑑𝑥 = −
𝑥
2
+ 4𝑥 − ln (𝑥)
√
√
≈ 4.29
√
√
 
 
 
………………………………………….……..