Dialnet-LosFundamentosDeLaMecanicaCuanticaEnLaEscuelaSecun-2872276

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REIEC Año 3 Nro. 1 59 
 
 
 
 
REVISTA ELECTRÓNICA DE INVESTIGACIÓN 
EN EDUCACIÓN EN CIENCIAS 
 
 
Los fundamentos de la mecánica cuántica en la escuela 
secundaria utilizando el concepto de integral de camino 
Arlego, Marcelo J. F. 
 
arlego@fisica.unlp.edu.ar 
 
Instituto de Física La Plata (IFLP), Universidad Nacional de La Plata, Calle 49 y 115 s/n, c.c. 67, (1900) La Plata, 
Argentina 
 
Resumen Analizamos las posibilidades de introducir las ideas básicas de la mecánica cuántica en la escuela secundaria, 
adaptando los conceptos de la formulación de integrales de camino (path integrals) para los estudiantes. Este trabajo 
focaliza en el fundamento teórico de la propuesta y en las adaptaciones necesarias para una posible implementación de 
esta en un curso del último año. 
 
Palabras clave: Mecánica Cuántica -Integral camino – Escuela Secundaria 
 
Abstract We analyze the possibilities of introducing the basic ideas of quantum mechanics into secondary school, by 
adapting the path integral formulation’s concepts for the students. This work focuses on this proposal’s theoretical basis 
and what aspects of the formalism should be adapted in order to be implemented in the last year’s course 
 
Keywords: Quantum Mechanics – Path integrals – High School 
 
 
1. INTRODUCCIÓN 
 
El descubrimiento de las leyes de la mecánica cuántica 
en el primer cuarto del siglo XX produjo una 
revolución en el campo de la física. Los conceptos de 
la mecánica cuántica desafían la experiencia 
macroscópica acerca del comportamiento ondulatorio y 
corpuscular como mutuamente excluyentes. 
 
La cuestión central en el contexto de este trabajo es 
cómo introducir las ideas básicas de un tema tan 
complejo como este a un nivel que sea accesible a 
estudiantes de la escuela secundaria. Usualmente, en 
los libros de texto, el tema se introduce siguiendo una 
ruta histórica. Se mencionan algunos experimentos 
clave y se finaliza con la relación de De Broglie, por 
ejemplo, que el alumno utiliza sin entender. El 
resultado es completamente insatisfactorio tanto para 
docentes como alumnos. 
 
Esta propuesta no sigue el desarrollo histórico, sino que 
se basa en los conceptos de la formulación de 
integrales de camino desarrollada por R. Feynman en 
1949, basado en ideas previas de P. Dirac. Dicha 
formulación es equivalente al enfoque tradicional de la 
mecánica cuántica, el formalismo Hamiltoniano 
canónico, desarrollado previamente por E. 
Schrödinger, W. Heisenberg y P. Dirac en 1925-1926. 
La utilización de uno u otro formalismo es cuestión de 
conveniencia y a menudo resultan complementarios. 
Para un enfoque tradicional a este nivel véase Müller, 
R; Wiesner, H. (2002) y Olsen, R. (2002). 
 
Para los propósitos de este trabajo, la ventaja principal 
del formalismo de integrales camino es que en este 
resulta posible mostrar la transición entre el 
comportamiento clásico y cuántico, haciéndolo 
accesible a estudiantes de escuela secundaria. Además, 
dicha formulación muestra claramente la emergencia 
del comportamiento ondulatorio y corpuscular en un 
marco unificado y conceptualmente simple. 
 
El objetivo es exponer las ideas principales del método, 
eliminando el manejo matemático formal, e 
implementarlas con asistencia de software como 
herramienta para introducir los conceptos cuánticos. 
Sobre esta base, se analiza una posible secuencia de 
contenidos para aplicarla en un curso de escuela 
secundaria de últimos años (ver también: Fanaro, M; 
Otero, M; Arlego M. (2007)). 
 
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Se han elaborado propuestas de enseñanza de la 
mecánica cuántica basadas en el enfoque de integrales 
de camino y el uso de herramientas computacionales, 
entre las que podemos mencionar a Dowrick, N. 
(1997), Taylor E. (2003) y Hanc, J; Tuleja S. (2005). 
En general, estas propuestas se concentran en el 
comportamiento dual de la luz. Partiendo del carácter 
ondulatorio de la radiación electromagnética se arriba 
al concepto de fotón. Si bien esta es una alternativa 
posible, un tratamiento adecuado del fotón requiere 
conceptos de relatividad y teoría de campos, que son 
muy avanzados para el nivel secundario. Por ende, tal 
vez ésta, no sea la forma más sencilla de introducir el 
tema, al menos en una primera etapa (Jones D. (1991)). 
 
En el enfoque propuesto aquí se construirá una imagen 
del comportamiento dual de la materia a través del 
análisis de la emergencia del comportamiento 
ondulatorio a partir del comportamiento corpuscular, 
siendo ambos relativamente familiares a los 
estudiantes. Como caso paradigmático se considerará el 
experimento de la doble rendija con partículas de 
masas cada vez más pequeñas. En dicho experimento, 
que simularemos con herramientas computacionales 
existentes (por ejemplo Muthsam, K. (2003)), la 
transición entre el comportamiento corpuscular a 
ondulatorio se manifiesta a través de la aparición de un 
patrón de interferencia en la pantalla de detección al 
tender al dominio atómico. 
 
 
2. FORMULACIÓN DE INTEGRALES DE 
CAMINO DE LA MECÁNICA 
CUÁNTICA 
 
De acuerdo a la mecánica clásica, dada una partícula en 
un estado inicial I = ri (t=0) y un estado final F= rf 
(t=T), donde r(t) es el vector posición en función del 
tiempo t, existe una única trayectoria: rcl(t), que 
conecta ambos estados, la cual está dada por la 
solución de la segunda ley de Newton. 
 
Las leyes de la Física clásica no son válidas en el 
dominio atómico. En dicho caso la descripción 
adecuada es a través de las leyes de la mecánica 
cuántica Estas leyes describen correctamente el 
comportamiento a escala atómica e incluyen a la 
mecánica clásica como caso particular cuando las 
masas se vuelven macroscópicas. El principal cambio 
conceptual en la mecánica cuántica, respecto de la 
mecánica clásica, es que dadas ciertas condiciones 
iniciales y finales, en la mecánica cuántica ya no se 
considera una única trayectoria rcl (t), describiendo la 
evolución del sistema desde un estado inicial I hasta 
un estado final F, sino la probabilidad P de arribar a F 
partiendo de I, lo cual denotamos con P [I  F ] . Ésta, 
a su vez, se obtiene evaluando el módulo cuadrado de 
otra cantidad: la amplitud de probabilidad A [I  F ] , 
es decir: 
 
 P [I  F ] = |A [I  F ]|2, (1) 
 
Derivaremos una expresión para el cálculo de la 
amplitud de probabilidad A [I  F] como integral de 
camino, considerando como primer postulado de la 
mecánica cuántica el principio de superposición. 
Para explicar el concepto, consideraremos un 
experimento en el que una fuente I emite electrones en 
t=0. La llegada de los electrones en un tiempo T, a 
diferentes puntos F de la pantalla ubicada a cierta 
distancia de I es registrada mediante detectores 
montados sobre esta. Nuestro objetivo es evaluar A [I 
 F] en t=T. 
Ahora supongamos que entre medio de I y F 
insertamos otra pantalla M con varios orificios, que 
son los únicos lugares por donde los electrones 
pueden atravesarla, como se muestra en la Fig.(1a). En 
este caso, el principio de superposición postula que: 
 
 ( ) ( )M i
i
A I F A I M F    . (2) 
Es decir, la amplitud total es la suma (superposición) 
de las amplitudes de ir de I a F en t=T, a través de cada 
uno de los orificios de M. Por supuesto ahora estamos 
calculando la amplitud de propagación AM con M entre 
medio de I y F, no la amplitud A original, pero como 
veremos esto es sólo un artificio para el cálculo. 
Agreguemos ahora una segunda pantalla N con otra 
cantidad arbitraria de orificios (Fig. (1b)). 
 
 
 
 
Figura 1: El principio de superposición de la mecánica 
cuántica. La amplitud de probabilidad de ir desde la 
fuente I hasta el punto de detección F en la pantalla es la 
I 
F M1 
M2 
M3 
N1 
N2 
N3 
N4 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
- 
(a) 
(b) 
I 
F 
M3 
M2 
M1 
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suma de las amplitudes deir por cada una de las 
diferentes alternativas. El número de alternativas o 
caminos crece con el agregado de más pantallas 
intermedias y más orificios en cada una (comparar (a) 
con (b)). 
 
 
Aplicando nuevamente el principio de superposición 
obtenemos: 
 
,
,
( ) ( )M N i j
i j
A I F A I M M F     . 
Ahora aplicaremos el razonamiento de las “infinitas 
pantallas con infinitos orificios”: Supongamos que 
agregamos un gran número de pantallas intermedias 
con cantidad arbitraria de orificios en cada una. Luego, 
hagamos tender el número de orificios en cada pantalla 
a infinito, entonces cada pantalla tiende a desparecer! y 
la amplitud resultante tiende a la de la propagación 
original en el vacío A [I  F] en t=T, sin pantallas 
intermedias, es decir 
 
 
( )
min ( )
( ) ( )cada
r ttodos los
ca osr t
A I F A I F   . (3) 
 
La Ec.(3) es la expresión para obtener la amplitud de 
probabilidad A [I  F] de un electrón que es emitido 
por la fuente en t=0 y arriba a un punto F de la pantalla 
en t=T, atravesando el espacio vacío intermedio. Como 
puede observarse, consiste en sumar todas las 
amplitudes correspondientes a cada camino posible r(t) 
que conecte I con F. El resultado se muestra 
esquemáticamente en la Fig. (2). 
 
 
 
 
Figura 2: La amplitud de probabilidad de ir desde I a F a 
través del vacío es la suma de las amplitudes asociadas a 
todos los caminos posibles que conectan I con F (se 
muestran sólo algunos). Arribamos a este resultado 
mediante el razonamiento de las “infinitas pantallas con 
infinitos orificios” siguiendo la tendencia mostrada en 
las Figs. (1a y 1b), como se explica en el texto. 
 
Sin embargo, todavía debemos determinar la forma de 
calcular la amplitud para cada camino en la Ec. (3). 
Este será nuestro segundo postulado, que enunciamos a 
través de las siguientes reglas: 
 
Primero, para cada trayectoria posible, r(t), que une el 
estado inicial I = ri (t=0) con el estado final F= rf 
(t=T), se calcula la acción correspondiente S [r(t)], 
donde: 
 
0
[ ( )] [ ( )] ,
T
S r t L r t dt  (4) 
siendo L[r(t)] el Lagrangiano del sistema, en este caso: 
2[ ( )] (1/ 2) ( )L r t mv t , es decir, la energía cinética (la 
energía potencial es cero aquí). 1 
 
Segundo, la amplitud asociada a esa trayectoria viene 
dada por: 
 
  ( )( ) exp [ ( )] /cada r tA I F iS r t   , (5) 
 
donde  = h / 2 , siendo h = 6.625 x10-34 J.s, la 
constante de Planck. 
 
 
La expresión (5) se interpreta del siguiente modo: cada 
camino que conecta I con F contribuye a la amplitud de 
probabilidad con un número complejo de módulo 1 y 
una fase dada por S [r(t)] / , que, en general, será 
diferente para cada camino. 
 
En resumen, las Ecs. (1), (3), (4) y (5) son la base de la 
formulación de integrales de camino de la mecánica 
cuántica. La amplitud de probabilidad resultante 
(Ec.(3)) se obtiene al sumar cada una de las amplitudes 
asociadas a cada camino posible (Ecs. (4) y (5)). Luego 
se eleva al cuadrado el módulo de la amplitud de 
probabilidad resultante A[I  F], para obtener la 
probabilidad de arribar a F partiendo de I (Ec.(1)). 
 
La suma sobre todos los caminos se formaliza 
mediante un procedimiento de discretización y pasaje 
al límite, que es una generalización del método habitual 
para evaluar integrales ordinarias, de allí el nombre 
integrales de camino. En la práctica, la integral de 
camino sólo puede evaluarse en algunos casos sencillos 
como el de la partícula libre o el oscilador armónico. 
En dichos casos se puede obtener una expresión 
analítica exacta En los otros casos se tiene que recurrir 
a métodos aproximados, como teoría de perturbaciones 
o soluciones numéricas. 
 
Antes de concluir esta Sección mencionamos que los 
lectores que prefieran un desarrollo matemático formal 
al razonamiento de las “infinitas pantallas con infinitos 
 
1 Recordemos que el principio de mínima acción 
establece que de todas las trayectorias posibles, r(t), la 
trayectoria clásica rcl(t), es la que minimiza a la acción, 
es decir: S[rcl(t)] es mínimo. La equivalencia entre el 
principio de mínima acción y la segunda ley de Newton 
se muestra, por ejemplo, en Goldstein, H. (1966). 
 
F 
I 
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orificios”, la equivalencia entre la formulación de 
integrales de camino y el método canónico de 
operadores se muestra en muchos libros de texto de 
mecánica cuántica (por ej. Shankar, R. (1980)). 
 
 
 
 
 
3. TRANSICIÓN COMPORTAMIENTO 
CUANTICO-CLÁSICO: EL PAPEL DE 
LA CONSTANTE DE PLANCK 
 
La mecánica cuántica predice los mismos resultados 
que la mecánica clásica cuando las magnitudes de las 
masas de los objetos considerados se vuelven 
macroscópicas. Más precisamente, es la relación entre 
la magnitud de la acción S y la constante de Planck (o 
), quien define el comportamiento de un sistema. 
Cuando S   el mismo se considera cuántico, mientras 
que cuando S >>  el comportamiento clásico domina. 
Esto se debe, como veremos, al extremadamente 
pequeño valor de la constante de Planck, h, en un 
contexto macroscópico. 
 
Una ventaja conceptual importante del enfoque de 
integrales de camino, es que permite explicar la 
transición entre el comportamiento microscópico y 
macroscópico de una forma simple. 
 
Haremos una demostración gráfica de dicha transición, 
dejando de lado el formalismo matemático (ver 
Shankar, R. (1980)). Podemos visualizar la amplitud 
resultante directamente graficando la suma de las 
amplitudes asociadas con las diferentes trayectorias. 
Esto es una suma de números complejos en el plano 
Re, Im, donde cada una tiene módulo unidad y una fase 
dada por S /  (ver Ec. (3)). 
Mientras que en el dominio atómico, en general, se 
deberán considerar todos los caminos, en un contexto 
macroscópico la situación es diferente. En este caso, S 
>>  y el cambio de fase al pasar de una trayectoria a 
la otra es extremadamente grande. Por lo tanto, en 
promedio, al sumar los aportes correspondientes a 
trayectorias arbitrarias habrá una tendencia a anularse y 
no aportarán a la suma. Sin embargo esto no sucederá 
para todas las trayectorias ¿Que ocurre con la 
trayectoria clásica, que sigue la partícula 
macroscópica? Como se sabe, la acción es mínima en 
ese caso. Esto implica que al menos en un entorno 
extremadamente reducido alrededor de la trayectoria 
clásica, todos los caminos aportan con 
aproximadamente la misma fase. Es decir la 
trayectoria clásica es la única que prácticamente aporta 
a la suma. Por lo tanto, para una masa macroscópica, la 
probabilidad para la trayectoria de mínima acción 
tiende a uno y así obtenemos, a partir de la mecánica 
cuántica, vía la formulación de integrales de camino, 
los mismos resultados de la mecánica clásica. 
En la Fig. (3) muestra una representación esquemática 
del proceso de suma, que ilustra el razonamiento 
anterior. En la misma se puede observar que los caminos 
cercanos a la trayectoria clásica contribuyen en fase 
(línea recta central), mientras los otros se cancelan unos 
con otros y por lo tanto no aportan a la amplitud de 
probabilidad (extremos). 
 
Para los propósitos de nuestro trabajo es importante 
notar que en el caso de un sistema libre (V=0), incluso 
en el dominio atómico la trayectoria clásica y su 
entorno mantienen un rol especial. Sólo que ahora el 
entorno puede ser una región más extendida alrededor 
de la trayectoria clásica. De hecho, la amplitud de 
probabilidad (Ec. (3)), para el caso de una masa 
arbitraria (incluso a nivel atómico) y libre puede 
expresarse en una forma factorizada exacta, incluyendo 
sólo el aporte de la acción clásica: S[xcl] en el 
exponencial y multiplicado por un factor C que tiene en 
cuenta las contribuciones en fase de loscaminos en la 
vecindad de la trayectoria clásica, es decir: 
 
 A(IF) = C exp (i Scl / h) (V=0, m arbitraria). (6) 
 
La demostración de la Ec.(6) nos aleja de los objetivos 
del trabajo y remitimos al lector interesado a la 
bibliografia (Shankar, R. (1980)). 
 
 
 
 
 
Figura 3: Representación esquemática de la suma de 
amplitudes de probabilidad. Cada amplitud es 
representada por un número complejo de módulo 
unidad y ángulo de fase S / h. El caso mostrado puede 
representar un objeto macroscópico en que sólo los 
caminos extremadamente cercanos a la trayectoria 
clásica aportan a la suma (línea recta central). Otros 
caminos tienden a anularse mutuamente (extremos). 
Ver explicación en el texto. 
 
4. EXPERIMENTO DE LA DOBLE 
RENDIJA 
 
La formulación de integrales de camino brinda un 
marco unificado en el cual los aspectos corpuscular y 
ondulatorio surgen naturalmente, junto con el concepto 
de longitud de onda asociada a una dada partícula. 
Analizaremos el experimento de la doble rendija (Fig. 
(4)) desde el punto de vista de integrales de camino. 
Consideremos una fuente que emite electrones. A una 
cierta distancia se encuentra una pantalla con dos 
contribuciones 
trayectorias más 
alejadas 
 
Re 
Im 
contribuciones 
entorno 
trayectoria 
clásica 
 
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orificios. Se supone que en las pantallas el electrón está 
sujeto a una barrera de potencial impenetrable V=, 
excepto en los orificios y en el resto del espacio, donde 
el electrón es libre y por lo tanto es válida la Ec.(6). 
Nuestro tratamiento es simplificado, ya que ignora la 
difracción de los electrones en cada rendija y se supone 
que de cada rendija los electrones salen con velocidad 
media v. La pregunta que debemos responder es: ¿Cual 
es la probabilidad de que el electrón arribe a un punto a 
una distancia x del centro de la pantalla en la pantalla 
partiendo de la fuente? Para ello sean: 
 
A(O1  x) = C exp (i Scl [O1  x] /  ) y A(O2  x) = 
C exp (i Scl [O2  x] /  ), 
 
las amplitudes de arribar a x pasando por uno de los 
dos orificios O1 o el otro orificio O2, respectivamente, 
donde hemos utilizado la Ec.(6). Además, por el 
principio de superposición, la amplitud total de arribar 
a x, que denotaremos con A(x), es la suma de arribar a x 
pasando por uno u otro orificio, es decir: 
 
 A(x) = A(O1  x) + A(O2 x) 
= C(exp (i Scl [O1  x] / ) + exp (i Scl [O2  x] / ), 
 
donde la acción clásica Scl [O1,2  x] =½ m v2 T1,2 =½ 
m v R1,2 , siendo T1,2 el tiempo transcurrido para llegar a 
x desde cada orificio con una velocidad media v y R12 
las distancias de los orificios O12 a x. La probabilidad 
de arribar a x, estará dada por: 
 
 P (x) = |A(x)|2 = |C (exp i  R1 + exp i  R2 )| 2 ; (7) 
 
 siendo  = m v / ( 2  ) 
 
Figura 4: Ilustración esquemática de la experiencia de 
la doble rendija con electrones. Se muestran las 
variables geométricas involucradas. 
 
Desarrollando la Ec.(7) se obtiene: 
 
 P(x) = 2 C2 (1 + cos [ (R1 - R2)]) 
 = 4 C2 cos2 [ (R1 - R2) / 2]. (8) 
 
Considerando que la pantalla está muy alejada de las 
rendijas, puede observarse a partir de la Fig.(4) que se 
cumple: R1 - R2 ~ d sen θ ~ d tg θ = d x / R , donde d es 
la separación de las rendijas. Reemplazando esto en la 
Ec. (8) se obtiene: 
 
 P (x) = c’ cos2 [(p / ) (d x / (4 R))], (9) 
 
siendo p = mv es la cantidad de movimiento y c’= 4 C2 
es un factor irrelevante para nuestros propósitos. La 
Ec.(9) predice el patrón de interferencia que resulta en 
la experiencia con electrones, la distribución de 
probabilidades relativa, está modelada con una función 
coseno cuadrado. La distribución de máximos y 
mínimos en la pantalla involucra dos conjuntos de 
parámetros. Uno depende de geometría de la 
disposición experimental: d x / (4 R). El otro de las 
características cuánticas intrínsecas del electrón: p / h. 
 
Si calculamos el patrón de interferencia en el mismo 
experimento pero con ondas electromagnéticas clásicas 
o mecánicas de longitud de onda , siendo la intensidad 
del patrón en la pantalla equivalente a la probabilidad, 
obtendríamos idénticas expresiones si identificamos: 
 
  = h / p. (10) 
 
La Ec.(10) es la fórmula de De Broglie, que representa 
el carácter ondulatorio del electrón (y de la materia en 
general). 
 
Cuando las masas se incrementan, por ejemplo 
repitiendo el experimento con perdigones, su longitud 
de onda de De Broglie asociada disminuye, eliminando 
el patrón de interferencia en la pantalla. El límite 
clásico de la mecánica cuántica es en este sentido 
equivalente al limite   0 de la óptica geométrica de 
las ondas electromagnéticas. 
 
 
5. ADAPTACIÓN DE LA FORMULACIÓN 
DE INTEGRALES DE CAMINO PARA 
LA ESCUELA SECUNDARIA – 
SECUENCIA DE CONTENIDOS 
 
En esta sección se plantea una posible secuencia de 
contenidos tomando como referencia la formulación de 
integrales de camino. En la secuencia cambiaremos el 
nombre del método por el de suma de todas las 
alternativas (STA). Éste resultará más comprensible a 
los estudiantes, en función del planteo que se les 
propondrá. 
 
A pesar de la matemática involucrada, los conceptos 
principales de la formulación STA pueden hacerse 
accesibles a los estudiantes de escuela secundaria 
mediante herramientas informáticas de simulación. En 
particular, estas herramientas reemplazan el lenguaje 
algebraico por el geométrico, utilizando un marco de 
operaciones básicas con vectores. El lenguaje 
geométrico permite a los alumnos visualizar el proceso 
de suma y entender que es la fase del número complejo 
asociado con dicha trayectoria y no su módulo quien 
varía de una trayectoria a otra. 
 
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Para evitar problemas conceptuales y de nomenclatura, 
en esta propuesta, se denominará sistema cuántico a un 
sistema formado por objetos a escala atómica. 
 
Antes de comenzar la propuesta, los estudiantes deben 
poseer ideas básicas de mecánica clásica, tales como 
las leyes de Newton y el concepto de energía. 
 
El objetivo central de esta propuesta es analizar la 
emergencia del comportamiento ondulatorio de objetos 
materiales al reducir la masa. Se comienza con el 
análisis de la experiencia de la doble rendija y la 
discusión de sus resultados. El esquema planteado para 
llevar a cabo esta propuesta es el siguiente: 
 
 
a) Experimento de la doble rendija 
 
a1) con perdigones. Analizar los resultados de la 
experiencia de la doble rendija cuando se realiza con 
objetos macroscópicos, por ejemplo perdigones. 
El análisis es el siguiente: como cada perdigón es un 
objeto clásico, que sigue una trayectoria definida, la 
distribución de los impactos en la pantalla es una curva 
de no interferencia, es decir se obtiene sumando los 
aportes separados de los perdigones que pasan por una 
rendija, manteniendo la otra cerrada y viceversa. 
 
a2) en cubas de agua. Repetir la experiencia de la 
doble rendija con ondas mecánicas, por ejemplo en 
cubetas de agua. Dadas las dificultades de reproducir 
esto en el laboratorio, pueden utilizarse filmaciones o 
simulaciones, disponibles en Internet. Se deberá 
analizar la distribución de intensidades en la pantalla 
de detección debido a la interferencia de las ondas que 
se generan en cada rendija y el rol de la longitud de 
onda. 
 
a3) con electrones Analizar los resultados del 
experimento de la doble rendija con electrones. Es 
probable que los estudiantes tengan conceptualizados a 
los electrones como pequeñas partículas y que por lo 
tanto, para ellos, no serían esperables diferencias 
significativas con el mismo experimento hecho con 
perdigones. Se pretende confrontar esto con el patrón 
de interferencia obtenido. Dada la dificultad de realizar 
esta experiencia en elcontexto escolar, haremos uso de 
un software de simulación interactivo de la experiencia 
y una filmación de la misma (Muthsam (2003)). Con 
ambas herramientas es posible visualizar la 
construcción del patrón de interferencia obtenido a 
partir de los impactos de los electrones individuales al 
llegar a la pantalla. El principal aspecto a destacar aquí 
es que a pesar de que los electrones llegan en unidades 
discretas, el patrón resultante es de interferencia, es 
decir que la curva resultante cuando ambas rendijas 
están abiertas, no se puede obtener sumando las curvas 
individuales (abriendo las rendijas de a una por vez). 
 
 
b) Dualidad onda – partícula: Respecto del 
experimento del inciso (a3), se busca que los 
estudiantes comprendan que aunque los electrones 
llegan a la pantalla del detector en unidades enteras, es 
decir exhibiendo carácter de partícula, se distribuyen 
en la pantalla formando un patrón de interferencia, es 
decir, también exhiben características ondulatorias. 
Esto hace que ya no se los pueda seguir considerando 
como partículas, ni como ondas, sino como algo 
totalmente diferente que exhibe este carácter dual y que 
denominaremos sistema cuántico. 
c) El principio de mínima acción: Se comenzará con 
el estudio del caso de movimiento unidimensional 
libre, haciendo una revisión del significado de la 
relación x(t) como conjunto de pares (tiempo; 
posición). Luego se debe definir la acción para una 
partícula libre S dadas las condiciones iniciales (0, xi) y 
finales (T, xf) 2: 
 
S = EC . T, 
 
donde EC es el valor promedio de la energía cinética, 
concepto conocido por los estudiantes. Se puede 
utilizar un software de simulación interactivo para que 
los alumnos se familiaricen con el concepto de acción y 
evalúen el cambio de S al elegir diferentes trayectorias 
x(t). La idea es que los alumnos corroboren que la 
acción S es mínima para la trayectoria x(t) clásica, una 
recta en este caso, comparándola con otras x(t) 
arbitrarias. Se debe enfatizar la idea de trayectoria 
única en el dominio clásico y que la física clásica 
describe correctamente el comportamiento de los 
objetos macroscópicos. Finalmente, aplicar estos 
conceptos al experimento de la doble rendija con 
perdigones. 
 
d)- Formulación de Suma de todas las alternativas 
(STA) de la mecánica cuántica. Se introducen los 
principios de la mecánica cuántica a través de los 
conceptos de la STA. Se comienza con el problema de 
una masa libre y pequeña (por ejemplo un electrón) en 
una dimensión. En primer lugar se debe aclarar que a 
nivel cuántico sólo tiene sentido preguntar: ¿Cual es la 
probabilidad de arribar al estado final F(xf,T) partiendo 
del estado inicial I(xi,0)?. Dicha probabilidad será 
proporcional a la fracción de electrones que llegan a un 
estado final F. Se enuncian las reglas para obtener 
dicha probabilidad: 
 
d1) Para cada trayectoria o alternativa x(t) posible que 
une el estado inicial I con el final F, se calcula la 
acción S correspondiente (como se hizo previamente). 
 
d2) Con dicha acción S se asocia un vector en el plano 
de módulo uno y cuyo ángulo, con respecto al eje de 
absisas positivo, está dado por S /  (definir ). Notar 
la decisión didáctica de reemplazar el lenguaje de 
números complejos original por una formulación en 
términos de vectores en el plano, equivalente para los 
 
2 Si los estudiantes, al momento de implementar la 
secuencia no conocen los conceptos de derivada e 
integral, éstos se reemplazarán por incrementos finitos 
y valores medios. 
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propósitos de este trabajo, y más adecuada al nivel de 
los estudiantes de secundaria. 
 
d3) La probabilidad de arribar al estado final, partiendo 
del estado inicial se obtiene sumando todos los 
vectores asociados a las diferentes trayectorias x(t) que 
conectan ambos estados y elevando el módulo del 
vector resultante, al cuadrado. 
 
 
e) Evaluación de casos simples mediante 
simulaciones Familiarizar a los estudiantes con los 
conceptos de la formulación de la STA, enunciados en 
el ítem anterior, mediante el uso de un software de 
simulación que modela el comportamiento cuántico de 
los electrones en términos del enfoque STA. (por 
ejemplo MODELLUS, (2006)). El mismo permitirá la 
evaluación rápida del cambio de fase al pasar de un 
camino a otro, como así también sumar los aportes de 
diferentes caminos. 
Comenzando por masas atómicas y libres, se propone 
que el alumno evalúe con el software los aportes de los 
diferentes caminos. Haciendo un muestreo de 
diferentes trayectorias se puede observar que no sólo 
aportan a la amplitud la trayectoria clásica sino que 
también las trayectorias de sus alrededores contribuyen 
constructivamente a la suma. También podrá 
observarse la anulación de los aportes provenientes de 
las trayectorias demasiado alejadas del camino clásico. 
Se busca arribar conceptualmente a la Ec.(6). 
 
 
f) Emergencia de la trayectoria clásica: Como primer 
ejemplo de la transición de la física cuántica a la 
clásica, se propone repetir el cálculo anterior con una 
masa macroscópica. Se observará que la única 
contribución de la suma que no se anula es la de la 
trayectoria clásica, para la cual S es mínima y no como 
sucedía en el caso de la masa microscópica, en la cual 
los caminos alrededor de la trayectoria clásica 
contribuían constructivamente en la suma. Se 
interpretará esta transición en términos del valor de la 
constante de Planck. 
 
 
g) Interpretación del experimento de la doble 
rendija. Este es uno de los puntos centrales de nuestro 
análisis. El objetivo es desarrollar los puntos Sección 4 
en un lenguaje adecuado para los estudiantes. Para 
lograrlo, hemos de considerar los resultados de los 
experimentos de la doble rendija analizados (ítem a), 
los postulados de la formulación STA enunciados 
(ítems c y d) y el rol especial que juega la trayectoria 
clásica para el caso libre, independientemente de la 
masa (Ec. (6)). Con todas estas herramientas, el 
alumno, con la asistencia del profesor, debe ser capaz 
de seguir la línea deductiva que lleva de la Ec.(7) a la 
Ec.(9). 
Se propone que los alumnos reconstruyan el patrón de 
interferencia mediante el análisis y la evaluación de la 
Ec.(9) en diferentes puntos de la pantalla, con la ayuda 
de software. 
 
Es sumamente instructivo, además, que los alumnos 
reconozcan que para una geometría dada, el patrón de 
interferencia depende de características propias del 
electrón, a través del cociente: p / h. El paso final es 
arribar a la relación de De Broglie (Ec.(10)) por 
analogía a lo que obtendrían para el patrón de 
interferencia en el experimento de la doble rendija con 
ondas mecánicas de longitud de onda , por ejemplo en 
cubetas de agua (item a2). 
 
h)- de electrones a perdigones Estudiar la transición 
entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica en el 
experimento de la doble rendija. El objetivo es que los 
alumnos identifiquen el papel de p y la constante de 
Planck en la formación del patrón de interferencia. Para 
ello se propone repetir los cálculos del ítem anterior 
con masas de tamaño creciente, hasta llegar a una masa 
macroscópica, manteniendo todos los demás 
parámetros constantes. Los alumnos deben observar la 
desaparición del diagrama de interferencia con el 
incremento de la masa. En este punto el docente debe 
guiar la discusión para reafirmar el concepto de que la 
longitud de onda de De Broglie asociada a dicha masa 
(Ec.(10)) es quien rige la transición entre el 
comportamiento cuántico o clásico de la misma. 
 
 
6. CONCLUSIONES 
 
En este trabajo se propone una introducción alternativa 
a los principios de la mecánica cuántica en la escuela 
secundaria. A diferencia de las aproximaciones usuales 
al tema, se utiliza el formalismo de integrales de 
camino, desde un marco geométrico-vectorial. 
 
La gran ventaja que tiene este enfoque, respecto a 
otros, es que en éste es posibleconstruir con los 
estudiantes la idea de transición entre el 
comportamiento corpuscular a ondulatorio al pasar del 
dominio macroscópico al atómico, respectivamente. 
 
Se propone el empleo de simulaciones informáticas que 
reducen al mínimo el formalismo matemático y ayudan 
a visualizar los conceptos involucrados, tomando como 
caso de estudio el experimento de la doble rendija con 
partículas de masas cada vez más pequeñas. 
 
Se está implementando una secuencia didáctica en la 
escuela secundaria, basada en este trabajo y la 
viabilidad de la misma quedará determinada cuando se 
realice el análisis didáctico correspondiente. 
 
 
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ARLEGO MARCELO J. F. 
 
Instituto de Física La Plata (IFLP), UNLP, La Plata, Argentina. E-Mail: arlego@fisica.unlp.edu.ar 
 
TÍTULO DE POSTGRADO: Doctor en Física, (UNLP), La Plata, Argentina, (2004). 
 
ESTUDIOS POSTDOCTORALES: TU Braunschweig (Alemania). 11/2004 al 06/2007. 
 
ÁREAS CIENTÍFICAS DE ACTUACIÓN MÁS RELEVANTES 
 
 Física teórica: sistemas de electrones fuertemente correlacionados, en particular magnetismo cuántico. 
 
 Enseñanza de las ciencias: nuevas metodologías en la enseñanza de conceptos cuánticos en la escuela 
secundaria. 
 
OTROS DATOS DE INTERÉS: Miembro de la carrera de investigador (asistente) del Conicet