ESTADÍSTICA 2 MODULO 1

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Módulo 1 
Unidad 1 
Lectura 1 
Inferencia Estadística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Materia: Herramientas Matemáticas V – Estadística II 
Profesora: Mgter. Verónica Herrero 
 
 
 
                                                    Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
 Profesora: Mgter. Verónica Herrero | 2  
 
 
Unidad 1: Estimadores 
 
 
1.1. Estimación 
 
La mayoría de las aplicaciones actuales de la Estadística se relacionan con 
la obtención de conclusiones referidas a la población a partir de la evidencia 
recogida en una muestra correspondiente a una pequeña porción de casos, 
en situaciones prácticas como las siguientes: 
 
• Analizar la evolución del total de desempleados en las grandes 
ciudades de un país 
• Medir el gasto promedio de las familias en cierto rubro de interés 
• Cuantificar la variabilidad de un producto surgido de cierto proceso 
industrial estandarizado. 
• Conocer el porcentaje de votantes que prefieren a cierto candidato 
con anterioridad a una elección 
 
Las técnicas correspondientes a la Inferencia estadística permiten dar 
respuesta a estos interrogantes, utilizando sólo una pequeña porción de 
casos de la población de interés. Para los objetivos de información 
propuestos como ejemplos previamente, podrían tomarse muestras de las 
poblaciones: 
 
• Seleccionando individuos residentes en las ciudades de interés, y 
registrando su estado ocupacional. 
• Obteniendo por muestreo un conjunto de familias, y consultándolas 
sobre el gasto en ese rubro. 
• Estudiando por muestreo la característica de análisis de un grupo de 
productos elaborados en tal sistema. 
• Indagando a un conjunto representativo de votantes del lugar en 
cuestión. 
 
Como primer paso en este estudio de la Estadística inferencial, nos 
detendremos en este módulo en las diferentes técnicas que permiten dar 
considerado plausible acerca de un valor de un parámetro poblacional de 
interés (tales como la media poblacional, la varianza poblacional, la 
proporción poblacional, o las diferentes entre medias o entre proporciones). 
Bibliografía Básica 
Para cumplir con los 
objetivos de la Unidad 1 
del programa, es necesario 
profundizar en los temas 
desarrollados en el 
Capítulo 9 y 10 del texto 
de Bibliografía Básica. 
(Berenson & Levine, 
1996), relacionándolos 
con los comentarios, 
ejemplos y 
recomendaciones de las 
lecturas del módulo. 
 
Capítulos: 9 y 10 
(Apartados 10.1, 10.2, 10.3, 
10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 
10.8,10.9) 
 
 
 
 
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1.1.1 Parámetros y estadígrafos 
 
En primer lugar, recordemos la diferencia entre Parámetro y Estadígrafo. 
 
Los parámetros son las medidas de resumen poblacionales que permiten 
describir el conjunto de datos analizados. Ejemplos de parámetros son la 
media poblacional, la varianza poblacional, etc. 
 
Los estadígrafos son las medidas análogas obtenidas a partir de datos 
muestrales. Este tipo de medida incluye a la media muestral, la varianza 
muestral, la proporción muestral, entre otras. Estos valores, también 
conocidos como estimadores, se utilizan para proporcionar una idea del 
valor de la medida poblacional correspondiente, pero considerando sólo 
datos muestrales. 
 
1.1.1.1 Estimadores: características de un 
buen estimador 
 
Comenzaremos estudiando la media muestral, el estimador natural de la 
media poblacional, que es la medida de tendencia central más utilizada. La 
medida a su vez, es la medida más adecuada para describir un conjunto de 
datos que se distribuye siguiendo el modelo normal. 
 
Las tres propiedades que nos interesa destacar de la media muestral como 
estimador de la media poblacional son: 
1. Imparcialidad (insesgada) 
2. Eficiencia 
3. Consistencia 
 
Imparcialidad 
Decimos que un estimador es imparcial o insesgado cuando su valor 
esperado coincide con el parámetro poblacional que estima. 
En el caso de la media muestral, esta propiedad se demuestra muy 
fácilmente con unos pocos pasos algebraicos: 
 
 
 
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Partiendo de la fórmula de cálculo de la media muestral, estudiada en el 
curso anterior de estadística: 
 
n
x
x
n
i
i∑
== 1 
 
La esperanza o valor esperado de la media muestral es: 
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
∑
=
n
x
ExE
n
i
i
1)( 
 
Como la esperanza de una constante es la constante, resulta: 
n
xE
xE
n
i
i ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∑
=1)( 
Como la esperanza de una suma es igual a la suma de las esperanzas: 
n
xE
xE
n
i
i ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
∑
=1
)(
)( 
 
Y como sabemos que la esperanza de la variable estudiada es �: 
 
n
nxE μ.)( = 
Simplificando resulta: 
 
μ=)(xE 
 
 
 
 
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Eficiencia 
 
Un estimador es eficiente si en promedio se acerca más al parámetro 
estimado que cualquier otro estimador. 
 
La media muestral cumple este requisito para la media poblacional, ya que 
tiene la mínima varianza entre los estimadores de la media poblacional. 
 
Consistencia 
 
Decimos que un estimador es consistente si a medida que se aumenta el 
tamaño de la muestra, el estimador se aproxima sistemáticamente al valor 
del parámetro poblacional. 
 
Al aumentar el tamaño de la muestra, cada vez, las diferencias entre la 
media muestral y la media poblacional se van haciendo más reducidas. 
 
El cumplimiento de estas propiedades hace de la media muestral el mejor 
estimador de la media poblacional. 
 
Error estándar de la media 
Es intuitivamente fácil de visualizar que a medida que mayor es la muestra 
(es decir, más elementos de la población se incluyen para estimar la media 
muestral), menor será la dispersión de los valores respecto de la media 
muestra, ya que el efecto de un valor extremo tiende a diluirse a medida que 
más elementos se toman en consideración para el cálculo. 
Por esto, la desviación estándar de la media muestral, conocido como error 
estándar de la media, se relaciona de la siguiente manera con la desviación 
estándar poblacional: 
n
x
x
σ
σ = 
Error estándar de la 
media 
Es el nombre que recibe la 
desviación estándar de 
la media muestral. Es 
decir, es la desviación 
estándar de la distribución 
de muestreo de la media. 
 
 
 
 
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Como puede observarse, la fórmula anterior refleja la relación indicada 
entre la dispersión de la muestra y el tamaño muestral. 
Distribución en el muestreo de la proporción 
Para las variables categóricas, en las cuales es registra la posesión o no de 
una característica, el parámetro poblacional de interés es la proporción, que 
indica justamente qué parte de la población posee una característica. 
Por ejemplo, si en una población de 10.000 individuos, 2400 tiene ojos 
claros, decimos que 
 
N
XP = 
10000
2400
=P 
es la proporción de individuos con ojos claros en la población. 
 
Donde X es la cantidad de casos de la población que tienen la característica, 
conocidos habitualmente como “éxitos”. N es el tamaño de la población. 
 
El estimador de P será p, la proporción muestral. Para obtener p: 
 
 
n
xp = 
 
Donde x es la cantidad de “éxitos” en la muestra, y n es el tamaño de la 
muestra. 
 
Como puede observarse la proporción se ubica en el intervalo [0,1], siendo 
los extremos del intervalo las situaciones extremas en las que ningún 
individuo posee la característica o bien, cuando la poseen todos. Estos dos 
casos extremos son los que implican la menor dispersión entre los 
individuos (ya que por tenero por no tener la característica, los individuos 
Distribución de 
muestreo de un 
estimador 
La distribución de 
probabilidades de los 
valores posibles que 
puede asumir un 
estadístico muestral, 
calculados a partir de 
muestras del mismo 
tamaño y extraído en forma 
aleatoria de la misma 
población, se llama 
distribución muestral de 
ese estadístico. 
 
Por ejemplo, puede ser la 
distribución de muestreo 
de la media como vimos 
en el punto anterior, o de 
la proporción, entre 
otros. 
 
 
 
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se parecen), y en cambio, la mayor dispersión ocurre en los valores 
intermedios (cuando p=0,5), ya que es máxima la cantidad de individuos 
que difieren de p. 
 
n
PP
p
)1( −
=σ 
 
La distribución muestral de la proporción sigue una distribución 
binomial, que puede aproximarse a la normal cuando se cumplen las 
siguientes condiciones: 
 
5>np 
y 
5)1( >− pn 
 
Estas condiciones implican requerimientos de muestras de tamaño 
considerables para las estimaciones de proporciones. 
 
Muestreo de poblaciones finitas 
 
Cuando se selecciona una muestra, debe establecerse con precisión cuál fue 
el mecanismo con el que se procedió a escoger a los elementos que 
componen la muestra. 
 
El diseño básico que está implícito en muchos de los desarrollos estadísticos 
supone que los elementos fueron seleccionados “con reemplazo”. Esto 
implica que una vez que se seleccionó un individuo o elemento, éste vuelve 
a formar parte de los casos seleccionables, por lo que la probabilidad de 
selección de los distintos casos no cambia a medida que se va construyendo 
la muestra. 
 
En diversas situaciones de aplicación de muestreo esto no ocurre de esta 
manera por diferentes razones. Por ejemplo, cuando realizamos una 
encuesta para un estudio de mercado, no tiene demasiado sentido encuestar 
dos veces al mismo individuo en un estudio; incluso en ocasiones, como las 
 
 
 
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aplicaciones para control de calidad, pueden implicar la destrucción del 
caso seleccionado en la muestra, tal como cuando se analiza la duración de 
una pieza, por lo que difícilmente en tales casos usemos un muestreo con 
reposición. 
 
En todas estas situaciones debemos introducir una corrección a las 
fórmulas que ajuste la diferente probabilidad de selección que tienen los 
sucesivos casos que integran la muestra. 
 
Esta corrección se conoce como factor de corrección para poblaciones 
finitas (fcpf) y se obtiene a través del siguiente cociente: 
 
1−
−
=
N
nNfcpf 
 
Con esta fórmula se ajusta tanto el error estándar de la media muestral: 
1−
−
=
N
nN
n
x
x
σ
σ 
 
como el error estándar de la proporción muestral: 
 
1
)1(
−
−−
=
N
nN
n
PP
pσ 
El fcpf siempre será menor que 1, lo cual implica que en este tipo de 
muestreo, las estimaciones surgidas de este tipo de muestreo resultan más 
exactas, o lo que es lo mismo tienen menos dispersión en el muestreo. 
Preguntas de reflexión: 
 
• ¿Por qué usamos los estimadores habituales para estimar la media 
poblacional o la proporción poblacional? 
• ¿Cómo se comporta el error estándar si tomamos muestras más 
grandes? 
• ¿Qué debe verificarse para que la proporción muestral se distribuya 
normal? ¿Qué implicancias tiene para la muestra? 
• ¿Por qué se usa el fcpf? ¿Cómo afecta al error estándar? 
Factor de Corrección 
para poblaciones 
finitas 
Dado que este factor será 
siempre menor que 1, su 
aplicación reducirá el 
error estándar, haciendo 
las estimaciones más 
exactas. 
 
 
 
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1.1.1.2 Estimación puntual y por intervalos 
 
Hasta ahora hemos visualizado el proceso de estimación simplemente como 
proporcionar un valor único que sirva como referencia indicativa del valor 
que suponemos que alcanza el parámetro poblacional de interés. En 
definitiva, como se indica en Berenson y Levine (p. 344): 
 
“La estimación puntual consiste en una sola estadística de 
muestra que se utiliza para estimar el valor verdadero del 
parámetro de la población”. 
 
Tabla: Estimadores puntuales 
 
Parámetros Estimadores puntuales más 
usuales 
 
Media poblacional 
 
 
Media muestral 
Proporción poblacional 
 
Proporción muestral 
Varianza poblacional Varianza muestral 
 
Sin embargo, debido con este procedimiento no estamos aprovechando 
realmente la potencialidad de conocer con qué probabilidad de acertar 
hacemos nuestra afirmación. Debemos considerar la variabilidad posible 
que es propia de un estimador, ya que el valor de éste dependerá de la 
muestra que haya sido seleccionada. 
Para tener en cuenta esta característica, la estimación por intervalos 
considera justamente las distribuciones en el muestreo de los respectivos 
estimadores. 
Cuando obtengamos un intervalo, estaremos considerando una 
determinada confianza de estimar acertadamente el parámetro. 
 
 
 
 
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En definitiva vamos a poder decir, a través del intervalo, con una confianza 
establecida por el investigador (por ejemplo para la estimación de la media 
poblacional) que un intervalo a partir de la estimación puntual más / 
menos un cierto margen de error o error de muestreo, atrapa al 
verdadero valor del parámetro. Los intervalos en este caso tendrán la 
siguiente estructura: 
 
±x margen de error 
 
Estimación por intervalo de la media 
Caso: Desviación estándar conocida 
 
Por el Teorema del límite central (que Ud. conoce la materia previa, 
pero recordaremos más adelante en el módulo), sabemos que es posible 
determinar qué porcentaje de las medias muestrales se ubican a 
determinada distancia de la media de la población, teniendo en cuenta la 
distribución de la medias muestrales. 
 
Si bien tenemos en cuenta ese razonamiento, permanentemente en las 
diferentes investigaciones que llevemos a cabo, tomaremos una única 
muestra, a partir de la cual haremos la estimación, considerando lo que 
probabilísticamente podemos deducir de la distribución de muestreo de la 
media. 
 
La idea de este tipo de estimación es considerar que la muestra que fue 
seleccionada nos proporciona una de las medias muestrales posibles, que 
con una probabilidad 1-a, se encuentra a una distancia de 
 
n
Z x
σ
α
2
1−
 
 
con respecto del valor de la media poblacional. 
Donde, 
2
1 α−
Z es el valor de la tabla estandarizada normal, que tiene 
acumulado hasta ese valor 
2
1 α− de probabilidad. Este valor se denomina 
Bibliografía Básica 
Capítulo 9: Repaso de 
conceptos como 
distribución de muestreo 
y Teorema Central del 
Límite. 
Capítulo 10: Desarrollo 
de los procedimientos 
para estimación de la 
media y la proporción. 
Error de muestreo de 
la media 
Es la diferencia entre la 
media de la muestra y la 
media de la población. Su 
fórmula es: 
n
Z x
σ
α
2
1−
 
Observe que debe 
diferenciarse del error 
estándar de la media, 
dado que debe 
multiplicarse por Z. 
 
 
 
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valor crítico de la distribución. Algunos de los valores críticos más usados, 
correspondientes a los niveles de confianza (1-α) usuales, son: 
 
(1-α) 
2
1 α−
Z 
 
95% 
 
1,96 
99% 
 
2,575 
90% 
 
1,645 
 
 
Por lo tanto a través de la construcción de un intervalo de confianza, con un 
nivel de confianza de 1-α, podemos decir que la media poblacional es 
atrapada por el intervalo: 
 
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+−=
−− n
Zx
n
ZxLSLI xx
σσ
αα
2
1
2
1
;, 
 
Donde LI = límite inferior y LS= límite superior. 
 
Si se tomaran todas las muestras posibles de tamaño n de la población bajo 
estudio, en el (1-α)% de los intervalos surgidos de tales estimaciones de la 
media poblacional, la media poblacional (que es fija aunque desconocida 
para nosotros) quedaría incluida en tales intervalos. Como destacamos 
antes, ya que en cualquier estimación trabajaremos con una muestra al 
azar, podemos decir que la probabilidad de que se cumpla la condición 
detallada es (1-α). 
 
 
Tabla de la 
distribución normal 
Es importante que Ud. 
pueda manejar con 
suficiente solvencia la 
tabla de la distribución 
normal. En el anexo del 
módulo tiene disponible 
una tabla y en los anexos 
del texto de bibliografía 
básica otra con un 
formato diferente. 
Verifique cuál le resulta 
más práctica para 
trabajar. A modo de 
ejercitación, intente 
encontrar los valores 
críticos más usados que se 
presentan en la tabla a la 
derecha. 
 
 
 
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Veamos un ejemplo: 
 
Deseamos estimar la altura promedio de una población de 
estudiantes varones de esta Universidad. 
Utilizaremos para ello una muestra aleatoria de 10 estudiantes. Los 
valores obtenidos de la medición de la altura son: 
 
Caso Altura (en cm.) 
1 162 
2 176 
3 169 
4 165 
5 171 
6 172 
7 169 
8 168 
9 175 
10 167 
 
 
De un estudio previo se conoce que la varianza de esta población es 
16 cm2. 
¿Cómo podemos estimar la altura promedio? 
En primer lugar veamos una estimación puntual de la media, que va 
a estar dada por la media muestral. 
 
n
x
x
n
i
i∑
== 1 
cmx 4,169= 
 
 
 
 
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Para obtener el intervalo de confianza suponemos que la variable 
aleatoria se distribuye normal, y calculamos cada uno de los valores 
que indicamos. Trabajaremos con un 1-α=0,95. 
 
96,1
2
1
=
−
αZ 
 
4=xσ 
 
10=n 
 
 
Por lo tanto el intervalo que surge será: 
[ ] [ ]879,171;920,166, =LSLI 
 
Y podemos expresar la conclusión: Con un nivel de confianza del 
95%, la altura promedio de los varones de la población de 
estudiantes de la Universidad es atrapada por el intervalo [166,92 
cm; 171,88 cm]. 
Como puede analizarse a partir del ejemplo, el intervalo que surge depende 
de la muestra que ha sido seleccionada, en el caso de haber elegido a otros 
estudiantes y no a esos, el resultado de la media muestra podría haber sido 
distinto, y en consecuencias también el intervalo obtenido. 
 
 
 
 
 
 
Estimación por intervalo de la media 
Caso: Desviación estándar desconocida 
 
 
 
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En general, cuando no se dispone de información referida a la media 
poblacional, tampoco resulta conocido el valor de la varianza poblacional. 
Si tal es la situación, no podemos aplicar la distribución normal para la 
estimación por intervalos de la media poblacional. 
 
Para solucionar esta situación, se aplica la distribución t, que 
presentaremos, para calcular el intervalo de confianza. 
 
Distribución t de Student1 
 
La distribución t de Student fue estudiada por William Gosset (1876-1937) 
quien se ocupaba de tareas de control de calidad en la fábrica de cervezas 
Guiness, en Irlanda. 
 
Figura: Comparación de la distribución t y la normal estándar para 
diferentes grados de libertad 
 
                                                            
1 La nota que se indica está basada en: 
http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/tstudent.html. En 
este sitio se pueden realizar visualizaciones de las diferentes distribuciones que 
estudiaremos en este módulo, simplemente ajustando los parámetros de las 
mismas. En la página 
http://www.matematicasvisuales.com/html/probabilidad/varaleat/tstudentprob.html 
pueden calcularse y compararse las respectivas probabilidades de la tabla normal 
y la tabla t de Student. 
Distribución t con 2 grados de 
libertad 
Gráfico de la distribución 
normal: línea roja 
Gráfico de la distribución t: azul 
Tabla de la 
distribución t 
Es importante que Ud. 
pueda manejar con 
suficiente solvencia la 
tabla de la distribución t 
de Student. En el anexo 
del módulo tiene 
disponible una tabla. Más 
adelante en el módulo se 
explica cómo trabajar con 
la tabla. 
 
 
 
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Fuente: Elaboración propia en base a herramienta de simulación provista 
por: 
http://www.geogebra.org/en/upload/files/Juan%20de%20Jesus%20Sand
oval/la_distribucion_normal_t_student.html 
 
Desarrolló trabajos acerca de esta distribución que le permitiera analizar 
muestras pequeñas. Debido a ciertas restricciones que le imponía la fábrica, 
no pudo publicar sus trabajos con su nombre y usó el seudónimo de 
Student, dado que consideró que su aporte podría servir a otros. 
 
La distribución t, en realidad está conformada por una familia de variables 
aleatorias continuas. Esta familia se diferencia entre sí de acuerdo con un 
parámetro que se denomina "grados de libertad". 
Distribución t con 5 grados de 
libertad 
 
Distribución t con 15 grados de 
libertad 
 
Distribución t con 30 grados de 
libertad 
Observar cómo prácticamente 
no hay diferencia entre ambas 
distribuciones. 
 
 
 
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La distribución t es similar a la distribución normal estándar: tiene forma 
de campana, su media es 0 y es simétrica. Su varianza es mayor que 1. 
Cuanto más grados de libertad posee, más cercana a 1 es la varianza y más 
se aproxima la distribución t de Student a la normal estándar. Si trabajamos 
con más de 30 grados de libertad, se considera despreciable la diferencia 
entre la t de Student y la normal estándar. 
 
Para buscar valores de t en la tabla se procede de manera similar a la 
correspondiente a la búsqueda en la tabla normal estándar. En este caso 
deberán considerarse los grados de libertad (indicados en las filas de las 
tablas). 
 
Por ejemplo, si queremos buscar el t (con 25 grados de libertad) que 
acumula 0,90 de probabilidad hasta ese valor, en primer lugar ubicamos la 
fila que corresponde a esos grados de libertad. Como la tabla que 
presentamos en este caso señala las probabilidades a la derecha del valor 
respectivo, se debe seleccionar el valor de t asociado con una probabilidad a 
la derecha de 0,10. A continuación recuadramos el valor de t buscado. 
 
 
 
 
 
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En otras ocasiones, como ya han aprendido para la distribución normal, 
queremos conocer cuál es la probabilidad acumulada hasta determinado 
valor de la variable aleatoria. Podemos querer saber qué probabilidad hay 
de que una variable t, con 17 grados de libertad sea menor o igual a 2,1098. 
Nuevamente, buscamos en la tabla la fila correspondiente a los grados de 
libertad que nos interesan. Luego, entre los valores de la fila, identificamos 
el valor que nos interesa. En este caso, la columna donde se ubica el 2,1098 
nos señala que la probabilidad de obtener un número mayor a ese valor de t 
es 0,025. Por lo tanto, la probabilidad acumulada hasta ese número será su 
complemento: 1 – 0,025 = 0,975. 
 
 
 
 
 
Para los diversos problemas en los cuales es requieren valores de to 
probabilidades asociadas con valores de la variable t se pueden utilizar las 
tablas que indicamos a continuación. Existen diversas tablas publicadas. La 
única recomendación importante para el uso es considerar cuidadosamente 
qué probabilidad están informando, y hacer uso de la propiedad de simetría 
de la distribución t (que se debe aplicar de manera análoga a la de la 
distribución normal, ya conocida del curso anterior). 
Estadística I… 
En el curso anterior se ha 
estudiado la 
distribución normal, 
sus parámetros y la 
manera de obtener 
probabilidades en la 
tabla correspondiente. Su 
Ud. no recuerda esos 
conceptos y 
procedimientos deberá 
repasarlos a partir del 
material de ese curso. 
 
 
 
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Figura: Valores de la Tabla t (según la probabilidad de la cola superior) 
 
 
Fuente: Anderson , David y Sweeney, (2008) Dennis J. Estadística para 
administración y economía. 10ª edición. Cengage Learning. México. 
 
 
 
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Figura: Valores de la Tabla t (según la probabilidad de la cola superior) – 
Continuación 
 
 
 
 
 
 
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Las distribuciones t de Student son parecidas a la normal. Se pueden 
utilizar para hacer estimaciones de la media cuando se desconoce la 
varianza (situación que de más está decirlo es la habitual) y se usan 
muestras pequeñas. 
 
Los intervalos así obtenidos son, no podría ser de otra manera, más grandes 
y menos precisos que los que se obtendrían si conocemos la varianza en una 
distribución normal. 
 
Si la variable aleatoria X es normal, el estadístico: 
 
n
s
x μ−
 
 
Se distribuye t con n-1 grados de libertad. 
 
 
Para buscar valores de probabilidad o de la variable aleatoria en la tabla t, 
se deben considerar los grados de libertad de la variable que se está 
analizando. 
 
Grados de libertad 
 
La idea de grados de libertad remite a la cantidad de valores de una muestra 
que podrían asumir cualquier valor. Si nosotros conocemos o calculamos en 
función de tales datos un estadístico, podemos perder grados de libertad o 
valores que pueden variar, del total de datos disponibles de la muestra. El 
Diccionario de metodología estadística (Gonzalo Gonzalvo Maynar, 1978, 
Morata Ed., Madrid) indica que cuando un estadístico se usa en la 
estimación de un parámetro poblacional, los grados de libertad dependen 
de las restricciones impuestas sobre las observaciones: cada restricción 
hace perder un grado de libertad. 
 
 
Tabla de la 
distribución t 
En el punto 10.3 del texto 
de Berenson & Levine 
(1996) se desarrolla el 
tema de estimación de un 
intervalo de confianza de 
la media cuando la 
desviación estándar es 
desconocida. Le 
recomendamos que siga 
con detalle los ejemplos 
propuestos en el texto, 
verificando si llega a los 
mismos resultados. 
 
 
 
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Estimación del intervalo de confianza 
 
El intervalo de confianza para la media se construirá según el siguiente 
esquema: 
 
Nivel de confianza: (1-α)% 
 
Límites del intervalo: 
Inferior: 
n
stx
n 1;
2
1 −−
− α 
 
Superior: 
n
stx
n 1;
2
1 −−
+ α 
 
Veamos un ejemplo: 
 
Repitamos el ejercicio vinculado con la altura promedio de una 
población de estudiantes varones de esta Universidad, pero ahora 
suponiendo que no conocemos la varianza poblacional. 
 
Supongamos que estimamos con los datos de la muestra la varianza 
muestral, s2 = 16,16 cm2. 
 
Trabajaremos con un 1-α=0,95. 
 
cmx 4,169= 
 
 
 
 
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02,4=s 
 
10=n 
 
 
Por lo tanto el intervalo que surge será: 
[ ] [ ]26,172;52,166, =LSLI 
 
La conclusión en este caso será: Con un nivel de confianza del 95%, 
la altura promedio de los varones de la población de estudiantes de 
la Universidad es atrapada por el intervalo [166,52 cm; 172,26 cm]. 
Si comparamos el resultado con el caso de varianza conocida (a 
pesar de la pequeña diferencia de varianzas implicadas), el intervalo 
que surge de considerar que no conocemos la varianza implica un 
intervalo más amplio (menos preciso), lo cual está asociado con un 
mayor margen de seguridad debido a que no conocemos el 
verdadero valor de la varianza. 
 
2622,2
2
1;9
=
−
αt
 
 
 
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Estimación por intervalo de la proporción 
 
En el caso de datos categóricos también podemos aplicar estimación por 
intervalos de la proporción poblacional de casos que poseen cierta 
característica. 
 
Tal como señalamos en el caso de la estimación puntual, la base de la 
estimación va a estar dada por la proporción muestral. 
 
La propiedad que permite hacer uso de la distribución normal en este caso 
es la aproximación de la distribución binomial a la normal cuando se 
verifican las condiciones: 
 
P.n≥5 
 
y 
 
(1-P).n≥5 
 
Con esta premisa, los límites del intervalo van a estar dados por: 
 
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
−
−=
−− n
ppZp
n
ppZpLSLI )1(;)1(,
2
1
2
1 αα
 
 
Donde: 
 
Bibliografía Básica 
En el punto 10.6 del texto 
de Berenson & Levine 
(1996) se desarrolla el 
tema de estimación de un 
intervalo de confianza 
para la proporción. Le 
recomendamos que siga 
con detalle los ejemplos 
propuestos en el texto, 
verificando si llega a los 
mismos resultados. 
 
 
 
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normalóndistribuciladecríticovalorZ
muestraladetamañon
lpoblacionaproporciónP
muestralproporciónp
=
=
=
=
 
 
Veamos un ejemplo de estimación de una proporción poblacional. 
En un estudio de opinión pública, en el cual se quiere estimar la proporción 
de votantes que elegirán a un candidato, se realiza una encuesta a una 
muestra representativa de votantes. El tamaño de la muestra es 400 casos. 
 
Tras procesar las encuestas se obtiene que 178 individuos están seguros que 
elegirán al candidato en cuestión en la elección. 
 
¿Cómo se estima la proporción de electores que tendrá el candidato en la 
elección, con un nivel de confianza del 99%? 
La estimación puntual que surge de la proporción muestral es: 
445,0
400
178
=
=
p
p
 
 
Veamos si se cumplen las condiciones para aproximar la distribución 
binomial a la distribución normal. 
 
n . p = 400 . 0,445 
 
 = 178 
 
n (1-p) = 400 . 0,555 
 
 = 222 
 
En ambos casos se cumple la condición. 
 
 
 
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Ahora procedamos a estimar el intervalo de confianza: 
 
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
−
−=
−− n
ppZp
n
ppZpLSLI )1(;)1(,
2
1
2
1 αα
 
 
El estadístico Z que tiene acumulada una probabilidad de 0,995, 
 
576,2
2
1
=
−
αZ 
 
[ ] ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
−
−=
400
)445,01(445,0576,2445,0;
400
)445,01(445,0576,2445,0, LSLI
 
 
[ ] [ ]51,0;38,0, =LSLI 
 
Como conclusión, podemos decir que con un nivel de confianza del 99%, el 
intervalo [0,38; 0,51] atrapa el verdadero valor poblacional de la proporción 
de votantes que tienen decidido votar al candidato. Observe que, 
dependiendo de los porcentajes de otroscandidatos, esto podría significar 
que pierda la elección (si obtiene un porcentaje inferior al 50% de los votos, 
algún otro candidato puede alcanzar un porcentaje mayoritario) o bien que 
gane (si obtiene un valor mayor al 50% de los votos), en ambos casos, con el 
nivel de confianza definido, que siendo tan elevado, le permite estar casi 
seguro de que el resultado se encuentra en el intervalo estimado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Resumen de casos de estimación 
 
La siguiente figura resume los casos presentados de estimación por 
intervalos. 
Figura: 
 
 
Fuente: Elaboración propia 
¿Cuándo aplicar cada estadístico? 
• Como mencionamos, para estimar el intervalo para la media 
poblacional, se aplica distribución normal, en caso de distribución 
normal de la variable de estudio, o en su defecto, si la muestra es 
superior a 30 casos. 
 
• El uso de la distribución t en la estimación por intervalos de la 
media poblacional es un requisito cuando desconocemos la varianza 
poblacional, con distribución de la variable de estudio normal si la 
muestra es menor a 30 casos, y es recomendable, en idénticas 
condiciones, aún cuando la muestra es mayor. De hecho, los 
paquetes estadísticos, usan las pruebas t, en los casos en los que se 
necesita estimar la varianza. 
Anexo de Ejercitación 
Además de los ejemplos 
presentados en la lectura y 
el texto básico, Ud. 
encontrará en el anexo del 
módulo una guía de 
ejercicios y sus 
respectivas soluciones. 
Le recomendamos que 
realice toda la ejercitación 
posible para identificar con 
claridad las situaciones en 
las que se aplica cada 
prueba estudiada. 
 
 
 
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• Para la estimación de la proporción poblacional, debe verificarse que 
tanto p.n≥5 y (1-p).n≥5. 
 
Determinación del tamaño de la muestra 
Hasta ahora, se ha estudiado el modo de realizar la estimación de 
parámetros poblacionales a partir de una muestra de tamaño n. Sin 
embargo, una cuestión fundamental en la estadística inferencial es 
determinar cuál es el tamaño de muestra óptimo para lograr resultados 
dentro de un error máximo tolerable, minimizando los recursos empleados. 
1. Determinación del tamaño de la muestra para la media 
La fórmula que permite obtener el tamaño adecuado de la muestra para la 
estimación de la media es la siguiente: 
 
Esta fórmula se obtiene despejando la fórmula del error de muestreo “e”. 
Esto puede verse con detenimiento en el punto 10.7 del texto de Berenson & 
Levine (1996). Como se observa, son datos necesarios para el cálculo: 
conocer el nivel de confianza deseado (a partir del cual se obtiene Z), tener 
en cuenta el error máximo permitido o aceptable en cada caso (e) y la 
desviación estándar de la población (posiblemente a partir de datos 
históricos o conocidos por la experiencia del investigador) 
2. Determinación del tamaño de la muestra para la 
proporción 
 
La fórmula que permite obtener el tamaño adecuado de la muestra para la 
estimación de la proporción es la siguiente: 
  
 
Al igual que en el caso anterior, esta fórmula se desprende de la expresión 
del error de muestreo (en este caso para la proporción). Además de los 
datos sobre el nivel de confianza deseado y el error máximo tolerable, debe 
conocerse alguna estimación o dato histórico sobre para p. De lo contrario, 
una regla práctica consiste en darle a p el valor 0,5. De esta manera, la 
expresión p (1-p) será la mayor posible, al igual que el tamaño de muestra 
determinado. 
3. Determinación del tamaño de la muestra para la 
poblaciones finitas. 
Bibliografía Básica 
Le recomendamos que 
revise en detalle este tema 
en el texto de Berenson 
y Levine (1996). Los 
puntos 10.7, 10.8 y 10.9 
desarrollan estos 
conceptos. Preste 
atención a los ejemplos 
allí propuestos. 
Si se cuenta con una 
estimación de p… 
En este caso, la regla 
práctica indica que se 
utilizará un valor de 
p=0,5 dado que es un 
criterio conservador 
(que dará un mayor valor 
de la varianza y del 
tamaño de la muestra. 
Ver Berenson & Levine 
(1996) punto 10.8 
 
 
 
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Tal como se estudió en los casos anteriores la fórmula para obtener el 
tamaño de la muestra se obtiene despejando n de la fórmula del error (en el 
que se utilizará el factor de corrección por población finita. (Ver punto 10.9 
del texto). 
 
1.1.2 Concepto de Distribución de muestreo 
Dada una población, si se consideran todas las muestras posibles de un 
mismo tamaño, n, para las que se calcula un estadístico determinado (por 
ejemplo, la media o la proporción), la distribución de los resultados 
obtenidos de esas muestras recibe el nombre de distribución de 
muestreo. 
 
Un resultado fundamental para la Inferencia estadística: 
 
Si bien este tema fue desarrollado en Estadística I, es muy importante 
recordarlo, ya que es un concepto fundamental para la Inferencia 
estadística, del cual se nutren los contenidos de este y los siguientes 
módulos. 
 
1.1.2.1 Teorema Central del límite 
 
Este resultado nos indica que: 
 
Cuando el tamaño es suficientemente grande, la distribución de la variable 
aleatoria media muestral puede aproximarse a la distribución normal. Y 
esta relación es válida, cualquiera sea la distribución de los datos de la 
variable original. 
 
Por ejemplo, si estamos interesados en analizar la media de ingresos en 
cierta población, aún cuando la distribución de ingresos en esa población 
no sea normal, si tomamos muestras suficientemente grandes, la 
distribución en el muestreo de las medias muestrales de ingresos, tendrán 
una forma aproximadamente normal. 
 
Analicemos un ejemplo: 
Bibliografía Básica 
Le recomendamos que 
revise en detalle este 
tema en el texto de 
Berenson y Levine 
(1996). El Capítulo 9, 
también estudiado en 
Estadística I, trata el 
tema de la distribución 
de muestreo y el 
Teorema Central del 
Límite. 
 
 
 
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Analizamos la supervivencia adulta en una pequeña población rural. Uno de 
los datos que analizamos es el número de hermanos tenidos en promedio. 
Consideremos la siguiente tabla que indica el número de hermanos tenidos 
por todos los residentes. 
Tabla: Datos de análisis 
Caso Número de 
hermanos 
Caso Número de 
hermanos 
1 8 26 4 
2 4 27 2 
3 1 28 6 
4 5 29 4 
5 2 30 3 
6 6 31 1 
7 4 32 7 
8 6 33 3 
9 4 34 5 
10 2 35 2 
11 5 36 4 
12 3 37 5 
13 2 38 9 
14 6 39 4 
15 2 40 3 
16 1 41 5 
17 4 42 4 
18 5 43 3 
19 4 44 1 
20 3 45 4 
21 7 46 5 
22 4 47 6 
23 5 48 3 
24 2 49 8 
25 4 50 3 
 
La información que proveemos en la tabla anterior corresponde a los 50 
residentes mayores de 40 años del paraje. 
 
 
 
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Vamos a analizar qué hubiéramos estimado si las muestras hubieran sido 
de tamaños: 3, 5 y 7 casos. Para ejemplificar, tomamos 10 muestras de cada 
tamaño, de entre todas las posibles de ese tamaño. 
 
• Tamaño 3 
Muestra Casos 
seleccionados 
1 24 14 7 
2 37 4 49 
3 11 41 48 
4 21 7 8 
5 6 50 30 
6 10 40 48 
7 4 26 34 
8 3 11 17 
9 47 40 9 
10 31 47 11 
 
 
• Tamaño 5 
Muestra Casos seleccionados 
1 9 45 21 14 15 
2 33 41 33 16 38 
3 34 49 22 35 17 
4 49 30 17 15 8 
5 39 21 35 2 28 
6 11 26 40 24 45 
7 42 5 31 23 19 
8 19 38 46 50 6 
9 37 33 31 8 48 
10 34 46 33 46 37 
 
 
• Tamaño 7Materia: Herramientas Matemáticas V (Estadística II) 
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Muestra Casos seleccionados 
1 40 41 20 14 7 17 8 
2 32 30 50 23 45 21 4 
3 13 37 30 4 2 13 22 
4 1 17 35 10 25 19 28 
5 17 14 2 42 6 28 31 
6 41 9 27 36 10 14 20 
7 38 1 36 2 18 38 48 
8 18 7 48 35 6 46 17 
9 2 23 39 14 33 19 48 
10 8 13 49 20 27 48 34 
 
 
Ahora, para muestra, calculemos la media muestral: 
 
• Tamaño 3 
Muestra Valores de los 
casos de la 
muestra 
seleccionada 
Media muestral 
1 2 6 4 4 
2 5 5 8 6 
3 5 5 3 4,33 
4 7 4 6 5,67 
5 6 3 3 4 
6 2 3 3 2,67 
7 5 4 5 4,67 
8 1 5 4 3,33 
9 6 3 4 4,33 
10 2 6 5 4,33 
 
 
 
 
 
 
 
 
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• Tamaño 5 
Muestra Valores de los casos de la 
muestra seleccionada 
Media muestral 
1 4 4 7 6 2 4,6 
2 3 5 6 1 9 4,8 
3 5 8 4 2 4 4,6 
4 8 3 4 2 6 4,6 
5 4 7 2 4 6 4,6 
6 5 4 3 2 4 3,6 
7 4 2 1 5 4 3,2 
8 4 9 5 3 6 5,6 
9 5 3 1 6 3 3,6 
10 5 5 3 5 5 4,6 
 
 
• Tamaño 7 
Muestra Valores de los casos de la muestra 
seleccionada 
Media 
muestral 
1 3 5 3 6 4 4 6 4,43 
2 7 3 3 5 4 7 5 4,86 
3 2 5 3 5 4 2 4 3,57 
4 8 4 2 2 4 4 6 4,28 
5 4 6 4 4 6 6 1 4,43 
6 5 4 2 4 2 6 3 3,71 
7 9 8 4 4 5 9 8 6,71 
8 5 4 3 2 6 5 4 4,14 
9 2 5 4 6 3 4 3 3,86 
10 6 2 8 3 2 3 5 4,14 
 
Veamos a continuación cómo se distribuyen las medias muestrales 
obtenidas en cada tamaño de muestra, a través de histogramas de 
frecuencia: 
 
Figura: distribución de medias muestrales de muestras de tamaño 3 
 
 
 
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Figura: distribución de medias muestrales de muestras de tamaño 5 
 
 
 
Figura: distribución de medias muestrales de muestras de tamaño 7 
 
 
 
 
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A partir de este ejemplo, ¿qué reflexión puede hacer, teniendo en cuenta el 
Teorema del Límite central, vinculada con la media muestral que se analiza 
de una muestra en particular (y el tamaño de una muestra que se 
considere), y la probabilidad de aproximarse lo más posible al verdadero 
valor del parámetro poblacional de interés? 
 
 
 
Bibliografía Lectura 1 
Berenson & Levine (1996). Estadística para administración y 
economía. Sexta Edición. Ed. Prentice Hall Hispanoamericana. México. 
 
 
 
www.uesiglo21.edu.ar 
 
 
 
 
 
 
 
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