Matematicas Financieras

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Matemáticas Financieras
Departamento de Matemáticas
Cálculo de Fronteras Eficientes y 
Lí d M d d C it lLíneas de Mercado de Capital
Obtención de la Matriz de Covarianzas S.
Utilizaremos la función xlsread para leer la información de una hoja de cálculo tipoUtilizaremos la función xlsread para leer la información de una hoja de cálculo tipo
Exel. Este procedimiento será de gran utilidad dado que la mayoría de datos
financieros provienen de manejadores de bases de datos comerciales.
Comenzaremos por leer una matriz de covarianzas S de una hoja de cálculo.
[S,TXT,RAW]=XLSREAD('prueba');
S
S =
0.2060 0.0375 0.1077 0.0493 0.0208 0.0059
0 0375 0 0790 0 0355 0 1028 0 0089 0 04060.0375 0.0790 0.0355 0.1028 0.0089 0.0406
0.1077 0.0355 0.0867 0.0443 0.0194 0.0148
0.0493 0.1028 0.0443 0.4435 0.0193 0.0274
0.0208 0.0089 0.0194 0.0193 0.0083 -0.0015
0.0059 0.0406 0.0148 0.0274 -0.0015 0.0392
Para efectos de este análisis consideraremos los datos estadísticos de los activos de
las siguientes compañías:las siguientes compañías:
American Airlines 
Bethlehem Steel 
General Electric 
International Harvester International Harvester 
Philip Morris 
Union Carbide
tomados a partir de diez medidas de rendimiento continuo compuesto, tomadas
entre 1974 y 1983. Datos obtenidos del texto de S. Benninga, p. 151, presentado
en las referencias.
Obtención del Vector de Retornos 
M diMedios
A continuación leemos un vector con los retornos medios R de los activos del
análisis Ellos se tomarán de la "segunda hoja" de la hoja de cálculo llamada pruebaanálisis. Ellos se tomarán de la segunda hoja de la hoja de cálculo llamada prueba.
[R,TXT,RAW]=XLSREAD('prueba','Hoja2');
R R 
R =
0 20320.2032
0.0531
0.1501
0 15290.1529
0.1025
0.1210
Programa Matemático que Soporta la 
T íTeoría
Acorde a la literatura especializada (ver referencias al final de este informe), para
determinar los portafolios óptimos acorde a un criterio de mínimo riesgo para unp p g p
rendimiento dado r, debemos resolver el siguiente programa matemático, que
tiene función objetivo cuadrática convexa y restricciones lineales:
ˆmin . . . 1, . , PM
2m
t
x R
x Sx s a u x r x r
∈
= =
Donde es un vector compuesto de sólo unos, el cual podemos construir a
partir del vector de datos leído R, utilizando la siguiente instrucción abreviada:
2x R∈
mx R∈
u=R*0+1
u =
11
1
1
1
1
1
Parámetros de la TeoríaParámetros de la Teoría
Los parámetros de la teoría son cuatro cantidades denominadas A, B, C y D.
Definidas como formas cuadráticas a partir de la inversa de la matriz de covarianzasDefinidas como formas cuadráticas a partir de la inversa de la matriz de covarianzas
S.
1 1 1ˆ ˆ ˆ Ct t tA S B S S− − −Estas son:
Empleando Matlab calculamos estas cantidades de manera inmediata. Note el papel
1 1 1ˆ ˆ ˆ, , C=t t tA u S u B u S r r S r= =
de la función inv para invertir matrices y el papel de la operación traspuesta que se
realiza con el apóstrofe, por ejemplo: A' es la traspuesta de la matriz A. Así tenemos
que:
A=u'*(inv(S)*u)
B=u'*(inv(S)*R)
C=R'*(inv(S)*R)
D=A*C-B^2
A =
488 0546488.0546
B =
56 300056.3000
C =
6 86766.8676
D =
182.0762182.0762
Claramente D no es una forma cuadrática, pero proviene del determinante de las
dos ecuaciones lineales que permiten hallar los multiplicadores de Lagrange en elq p p g g
problema matemático -PM-.
Análisis del Programa MatemáticoAnálisis del Programa Matemático
Para resolver el programa cuadrático convexo dado en -PM-, tomamos su función
Lagrangiana:Lagrangiana:
1 2 1 2ˆ( , , ) ( . ) ( . )2
tx SxL x u x r xλ λ λ λ= − −
que podemos derivar e igualar a cero como es usual en optimización, para obtener
las siguientes ecuaciones descritas en forma vectorial:
ˆ EQS λ λ
Multiplicando por la inversa de la matriz de covarianzas S, por la izquierda, sobre
ambos lados de la ecuación -EQ- encontramos:
1 2ˆ EQSx u rλ λ= +
ambos lados de la ecuación EQ encontramos:
1 1
1 2ˆ SLx S u S rλ λ
− −= +
y utilizando las ecuaciones:
ˆ. 1, .x u x r r= =
que provienen de las restricciones del programa -PM-, encontramos la siguiente
pareja de ecuaciones lineales cuyas incógnitas son los multiplicadores de Lagrangepareja de ecuaciones lineales, cuyas incógnitas son los multiplicadores de Lagrange
del programa -PM-.Así tenemos:
1 2 1 21, A B B C rλ λ λ λ+ = + =
cuya solución da lugar a las siguientes expresiones:
C B A B
l l it t lí it t l t d i i
1 2, ML
C rB Ar B
D D
λ λ− −= =
las cuales a su vez permiten encontrar explícitamente el vector de inversiones x
mediante las relaciones -SL- dadas más arriba.
Cálculo de la Frontera EficienteCálculo de la Frontera Eficiente
Una vez hemos estimado los parámetros A, B, C y D del problema, procedemos a
delinear la frontera eficiente para ello utilizamos la fórmula explícita:delinear la frontera eficiente, para ello utilizamos la fórmula explícita:
2
2 2( ) FRAr rB Cr
D
σ − +=
que se obtiene multiplicando por la traspuesta del vector óptimo x, por el lado
izquierdo, ambos lados de la ecuación -EQ-.
D li ió d l F t Efi i tDelineación de la Frontera Eficiente
Utilizando la fórmula -FR- podemos delinear sobre una gráfica de riesgo contra
retorno la frontera eficiente que corresponde a los portafolios óptimos, queq p p p q
podemos formar con los activos de nuestro mercado de capitales.
INSTRUCCIONES GRÁFICAS
Creamos un vector de 100 posiciones con los 100 valores, igualmente espaciados,
que podemos tomar entre cero y un rango apropiado para el retorno máximo de
nuestro análisis, que aquí tomaremos como el doble del máximo retorno medio de, q q
los activos disponibles.
x=linspace(0,2*max(R));
(A* ^2 2*B* C)/Dy=(A*x.^2-2*B*x+C)/D;
plot(y,x)
xlabel('riesgo como varianza')
ylabel('retorno')
title('frontera eficiente')
Ubicación de los Activos en el 
Di g d Ri g V R tDiagrama de Riesgo Vs. Retorno
Sobre el mismo dibujo de la frontera eficiente, pondremos los activos que
conforman nuestro mercado de acuerdo a sus medidas de riesgo y rendimientoconforman nuestro mercado de acuerdo a sus medidas de riesgo y rendimiento,
señalando que el riesgo lo medimos con la varianza de cada activo. Note que la
varianza del activo -i- ocupa la -i-ésima posición en la diagonal de la matriz de
covarianzas, esta es S(i,i)., ( , )
hold on
DTA=['A';'B';'G';'I';'P';'U'];DTA=[ A ; B ; G ; I ; P ; U ];
for i=1:6
plot(S(i,i),R(i),'+g')
text(S(i i)+0 01 R(i) DTA(i))text(S(i,i)+0.01,R(i),DTA(i))
end
Vértice de la Frontera EficienteVértice de la Frontera Eficiente
Con los parámetros A y B de la teoría, podemos señalar de una forma muy clara el
vértice de la frontera eficiente Usted debe observar que la ecuación FRvértice de la frontera eficiente. Usted debe observar que la ecuación -FR-
corresponde a una parábola con vértice en el punto de coordenadas (1/A,B/A)
sobre el plano varianza v.s. rendimiento. La siguiente instrucción dibuja ese punto
con color rojo.j
plot(1/A,B/A,'or')
Significado del Vértice de la Frontera 
Efi i tEficiente
El punto de coordenadas (1/A,B/A) señalado en la gráfica, corresponde al
portafolio con menor riesgo que podemos encontrar entre todos los portafoliosportafolio con menor riesgo que podemos encontrar entre todos los portafolios
factibles que podemos formar con los activos del mercado bajo estudio. El cociente
B/A nos dice el rendimiento correspondiente a dicho portafolio y el cociente 1/A
su varianza.su varianza.
Selección de Portafolios Eficientes 
b l F t Efi i tsobre la Frontera Eficiente
El usuario debe introducir el rendimiento del portafolio óptimo que le interesa
seleccionar Para efectos de este tutorial asignaremos el valor predeterminado:seleccionar. Para efectos de este tutorial, asignaremos el valor predeterminado:
r=0.4; 
Observamos que esta cantidad debe estar dentro de el rango apropiado para los
rendimientos de los activos involucrados. En este caso lo hemos fijado como el
doble del retorno máximo observado:
2*max(R) 
ans = 
0.4065
Tomando el valor r=0.4 comoel rendimiento del portafolio óptimo que nos
interesa podemos dibujar su posición sobre la frontera eficiente utilizando lainteresa, podemos dibujar su posición sobre la frontera eficiente utilizando la
fórmula -FR-.
l t((A* ^2 2*B* C)/D ' ')plot((A*r^2-2*B*r+C)/D,r,'om')
close
Gráfica de la Frontera Eficiente (sobre un 
Plano de Riesgo) Vs Retorno (Desviación Plano de Riesgo) Vs. Retorno (Desviación 
Estándar como Medida de Riesgo)
Aquí dibujaremos la frontera eficiente empleando la desviación estándar comoAquí dibujaremos la frontera eficiente empleando la desviación estándar como
medida de riesgo. Para ello tomamos la raíz cuadrada de la función cuadrática dada
en la expresión -FR-. Como estamos evaluando raíces cuadradas, tendremos un
poco de precaución y revisaremos que los argumentos sean siempre valores
positivospositivos.
for i=1:100
if (A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D>0 
z(i)=sqrt((A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D);
else 
z(i)=0;
end end 
end 
plot(z,x) 
hold on 
l b l(' i d i ió tá d ') xlabel('riesgo como desviación estándar') 
ylabel('retorno') 
title('frontera eficiente donde el riesgo es la DVSTD') 
Representación de los Activos en el 
Diagrama de Desviación Estándar Vs Diagrama de Desviación Estándar Vs. 
Retorno
Ah dib j l i l i di d d i ió á dAhora dibujaremos los activos en el mismo diagrama de desviación estándar v.s.
retorno. Note que la desviación estándar de cada uno de ellos la obtenemos
tomando la raíz cuadrada de sus varianzas, las cuales a su vez aparecen en la
diagonal de la matriz de covarianzasdiagonal de la matriz de covarianzas.
for i=1:6
plot(sqrt(S(i,i)),R(i),'+g')
text(sqrt(S(i,i))+0.02,R(i),DTA(i)) 
End
Tasa de Interés y Cálculo del Portafolio 
d M d C di tde Mercado Correspondiente
La Teoría de la Cartera nos ofrece ventajas muy importantes para responder
preguntas concretas en finanzas En concreto si nos proponen una tasa de interéspreguntas concretas en finanzas. En concreto, si nos proponen una tasa de interés
determinada, podemos encontrar el portafolio de mercado que le corresponde,
empleando la regla de tangencia que debe cumplir dicho portafolio. Esta regla de
tangencia se describe de una manera muy cómoda a través de la siguiente relacióng y g
lineal:
2ˆ, RL
P
p
r rSx r tuγ γ
σ
−
= − =
de manera que si nos proporcionan la tasa de interés $\tau$, podemos encontrar
los valores para el portafolio de mercado correspondiente. Basta utilizar las
siguientes fórmulas ue se obtienen fácilmente de las ecuaciones en RLsiguientes fórmulas, que se obtienen fácilmente de las ecuaciones en -RL-.
2, ROP P
C rB r rr
B rA B rA
σ− −= =
− −
Empleando estas fórmulas, calcularemos el rendimiento y la varianza del portafolio
de mercado (portafolio óptimo) en función de la tasa de interés dada:de mercado (portafolio óptimo) en función de la tasa de interés dada:
tasa=0.102;
retorno=(C-tasa*B)/(B-tasa*A)
varianza=(retorno-tasa)/(B-tasa*A)
desviacion=sqrt(varianza)
retorno= 
0.1726
varianza =
0.0108
desviacion =
0.1041 
Dibujo de la Tasa de Interés y Línea de 
M dMercado
Dibujamos aquí, con rojo, el punto correspondiente a la tasa de interés sobre el eje
de rendimiento Cuidamos que el valor calculado para el retorno del portafolio dede rendimiento. Cuidamos que el valor calculado para el retorno del portafolio de
mercado sea mayor al de la tasa dada, porque en caso contrario no nos
encontramos en el rango de valores posibles para utilizar como tasas de interés.
Esto se debe a que la pendiente de la frontera eficiente tiene dos asíntotas cuandoq p
se representa sobre el plano de retorno v.s. desviación estándar.
plot(0 tasa 'or')plot(0,tasa, or )
if retorno>tasa
plot(desviacion,retorno,'or')
ElseElse
plot(0,tasa,'om')
end
Dib j d l Lí d M d C it lDibujo de la Línea de Mercado Capital
Dibujaremos ahora la línea de mercado de capital que une a la tasa de interés dada,
sobre el eje retorno con el punto del portafolio de mercado que se encuentrasobre el eje retorno, con el punto del portafolio de mercado, que se encuentra
sobre la frontera eficiente. Note que esta línea es tangente a la frontera eficiente
justamente en el punto que corresponde al portafolio de mercado. Esta condición
geométrica es la definición alternativa para los portafolios eficientes, además es lag p p ,
guía para obtener las condiciones de primer orden dadas en la expresión -RL-.
w=(x tasa)*(desviacion)/(retorno tasa);w=(x-tasa) (desviacion)/(retorno-tasa);
for i=1:100
if w(i)<0 
w(i)=0;w(i)=0;
End
End
plot(w x 'm')plot(w,x, m )
close
Cálculo de las Inversiones del 
P t f li d M dPortafolio de Mercado
Es importante conocer, no solamente la ubicación del portafolio de mercado en el
diagrama riesgo v.s. rendimiento, sino que además nos interesa conocer eldiagrama riesgo v.s. rendimiento, sino que además nos interesa conocer el
conjunto de inversiones que lo definen. Para ello debemos utilizar las fórmulas -
SL- y -ML- para los multiplicadores de Lagrange, obteniendo la expresión:
C B A B
o alternativamente la condición de primer orden -RL- que nos proporciona la
1 1ˆC rB Ar Bx S u S r
D D
− −− −= +
p q p p
solución:
2 1 ˆ( )P
P
S r rux
r r
σ − −
=
−
con la cual podemos implementar las instrucciones que dejan en la variable
óptimos el vector de las inversiones que componen el portafolio de mercado.
optimos1=(inv(S)*(R-tasa*u))*varianza/(retorno-tasa) 
optimos2=(inv(S)*u)*(C-B*retorno)/D+(inv(S)*R)*(A*retorno-B)/D 
optimos1 =
0 22040.2204
-0.7752
-0.2624
0 10850.1085
0.8108
0.8979
optimos2 =
0.2204
-0.77520.7752
-0.2624
0.1085
0.8108
0.8979
Cálculo de los BetasCálculo de los Betas
Para calcular los betas correspondientes a cada activo, utilizamos la definición
básica:básica:
que da lugar a las siguientes instrucciones:
,
Q
Q P
P
r r
r r
β
−
=
−
que da lugar a las siguientes instrucciones:
beta=(R-tasa)/(retorno-tasa);
plot(beta R);plot(beta,R);
text(beta,R+0.005,DTA);
hold on
for i=1:6for i=1:6
plot(beta(i),R(i),'or')
End
xlabel('betas')( )
ylabel('retornos')
close
Forma Alternativa para el Cálculo de 
l B tlos Betas
Como una forma alternativa para estimar los betas, podemos utilizar la definición:
ty Sxσ
De esta manera implementamos las siguientes operaciones:
,
, 2
Q P
Q P t
P
y Sx
x Sx
σ
β
σ
= =
for i=1:6
activo=zeros(1,6);
activo(i)=1;
beta(i) activo*S*optimos1/varianza;beta(i)=activo*S*optimos1/varianza;
End
plot(beta,R);
text(beta,R+0.005,DTA);
hold on
for i=1:6
plot(beta(i),R(i),'or')
EndEnd
xlabel('betas')
ylabel('retornos')
close
Cálculo de la Tasa de Interés a Partir 
d P t f li d M dde un Portafolio de Mercado
Una labor muy importante en finanzas es proponer tasas de interés a partir de la
información de un portafolio de mercado Para ello tomaremos el nivel deinformación de un portafolio de mercado. Para ello tomaremos el nivel de
rendimiento r=0.25
r=0 25;r=0.25;
con el cual estimaremos la desviación estándar del portafolio, utilizando la raíz
d d d l fó l FRcuadrada de la fórmula -FR-:
desviacion=sqrt((A*r^2-2*B*r+C)/D)
desviacion = 
0.2250
Dibujo de la Frontera EficienteDibujo de la Frontera Eficiente
Dibujaremos la frontera eficiente, pero empleando la desviación estándar como 
medida de riesgo:medida de riesgo:
for i=1:100
if (A* (i)^2 2*B* (i) C)/D 0if (A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D>0
z(i)=sqrt((A*x(i)^2-2*B*x(i)+C)/D);
else
(i) 0z(i)=0;
end
end
plot(z x)plot(z,x)
hold on
xlabel('riesgo como desviación estándar')
ylabel('retorno')ylabel( retorno )
title('frontera eficiente donde la desviación estándar mide al riesgo')
Cálculo de la Tasa de Interés a Partir 
d l P t f li d M ddel Portafolio de Mercado
Utilizando la fórmula del rendimiento óptimo -RO-, podemos hallar la tasa de 
interés: r B C−interés:
de manera que podemos utilizar la siguiente instrucción para estimar la tasa de
interés:
P
P
r B Cr
r A B
−
=
−
interés:
tasa=(r*B-C)/(r*A-B)
tasa = 
0.1097 
correspondiente al portafolio de mercadocorrespondiente al portafolio de mercado
[r,desviacion] 
ans= 
0.2500 0.2250
Dib j d l Lí d M d C it lDibujo de la Línea de Mercado Capital
Sobre la frontera eficiente dibujaremos la línea de mercado de capital, señalaremos
la tasa de interés calculada y el portafolio de mercado propuesto por el usuariola tasa de interés calculada y el portafolio de mercado propuesto por el usuario.
w=(x-tasa)*(desviacion)/(r-tasa); 
f i 1 100for i=1:100
if w(i)<0 
w(i)=0;
dend
end
plot(w,x,'m')
plot(desviacion r 'or')plot(desviacion,r,'or')
plot(w,x,'m')
plot(0,tasa,'or') 
title('línea de mercado de capital')title( línea de mercado de capital )
BibliografíaBibliografía
Capinski, Marek, “Mathematics for finance : an introduction to financial engineering”, New York, 
Springer, 2003. p g
S. Benninga, “Financial Modeling”, MIT Press, 2000.