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Facultad de Ciencias
G R A D O E N F Í S I C A
T R A B A J O F I N D E G R A D O
A G U J E R O S N E G R O S E N
2 + 1 D I M E N S I O N E S
Presentado por:
Da. Elisa Vicente Escobar
Curso Académico 2021/2022
Resumen
Matemáticamente, un agujero negro es una solución a las ecuaciones de
Einstein, con una singularidad y un horizonte rodeándola. Fı́sicamen-
te, se trata de un objeto tan masivo que genera un pozo gravitatorio
del que ni siquiera la luz puede salir si se acerca a un radio lo sufi-
cientemente pequeño. La gran mayorı́a de agujeros negros con interés
fı́sico están en un espaciotiempo cuadridimensional (tres dimensiones
espaciales y una temporal). En este trabajo estudiaremos qué condicio-
nes deben darse para que exista un agujero negro en tres dimensiones
(dos espaciales y una temporal) que exhiba las caracterı́sticas clave de
un agujero negro sin necesidad de complicar los cálculos, mucho más
sencillos en 2 + 1 dimensiones que en 3 + 1; estudio que fue realizado
en 2001 por Bañados, Teitelboim y Zanelli ([1]). Para ello estudiaremos
primero varias soluciones a las ecuaciones de Einstein en 3 + 1 para
ver cuáles son esas caracterı́sticas clave y familiarizarnos con el forma-
lismo. Luego pasaremos a 2 + 1 dimensiones. Finalmente, añadiremos
un campo electromagnético y estudiaremos los resultados obtenidos.
Abstract
Mathematically, a black hole is a solution to Einstein’s equations, with
a singularity and a horizon surrounding it. Physically, it is such a mas-
sive object that it creates a gravitational well that not even light can get
out of if it gets close enough to a small enough radius. The vast majo-
rity of black holes of physical interest are in four-dimensional spaceti-
me (three spatial dimensions and one time dimension). In this work we
will study what conditions must be met for a black hole to exist in three
dimensions (two spatial and one temporal) that exhibits the key charac-
teristics of a black hole without the need to complicate the calculations,
which are much simpler in 2 + 1 dimensions than at 3 + 1; study that
was carried out in 2001 by Bañados, Teitelboim and Zanelli ([1]). To
do this, we will first study various solutions to Einstein’s equations
in 3 + 1 to see what those key features are and to familiarize ourselves
with the formalism. Then we will move on to 2+ 1 dimensions. Finally,
we will add an electromagnetic field and study the results obtained.
Índice
1 Introducción 4
2 Conceptos útiles de geometrı́a diferencial 5
3 Métricas en 3+1 dimensiones 7
3.1 La solución de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.2 Las métricas de De Sitter y anti-De Sitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4 Schwarzschild en 2+1 dimensiones: Minkowski con singularidad cónica 16
5 El agujero negro BTZ 18
6 La métrica en 2+1 con constante cosmológica y campo eléctrico 24
7 Conclusiones 27
Referencias 28
1 INTRODUCCIÓN 4
1 Introducción
La teorı́a de la Relatividad General fue publicada por Albert Einstein en 1916, gene-
ralizando la teorı́a de la Relatividad Especial, publicada también por él en 1905. La
relatividad es una descripción geométrica de la interacción gravitatoria, lo que supuso
un cambio de paradigma respecto al anterior modelo, newtoniano, basado en fuerzas
vectoriales. Esta teorı́a propone que la gravedad, anteriormente descrita por Newton co-
mo una fuerza atractiva que todo cuerpo masivo ejerce sobre otro cuerpo masivo, no es
más que una consecuencia de la curvatura del espaciotiempo producida por objetos con
energı́a. La relación entre la energı́a y la curvatura generada por la misma viene descri-
ta por las ecuaciones de Einstein, un conjunto de ecuaciones diferenciales de segundo
orden
Rµν −
1
2
gµνR = −8πGNTµν. (1.1)
Más adelante explicaremos los términos de estas ecuaciones, pero de momento avan-
zaremos que el término a la izquierda da cuenta de la curvatura del espaciotiempo,
definido por la métrica gµν. El término a la derecha da información de la densidad y
flujo de energı́a y momento en el espaciotiempo.
Einstein pensó que sus ecuaciones (1.1) eran demasiado complicadas como para re-
solverse, pues la no linealidad de las mismas hace que sea imposible encontrar una
solución en el caso general. Por tanto, si queremos encontrar una solución, hemos de
imponer restricciones de simetrı́a u otras ligaduras. Ası́ fue como el matemático alemán
Karl Schwarzschild obtuvo la primera solución apenas unos meses después de la pu-
blicación de las ecuaciones de Einstein; imponiendo una simetrı́a esférica, estaticidad y
vacı́o. Obtendremos en este trabajo dicha solución.
La solución correspondiente para un cuerpo esférico cargado que no gira, la métrica
Reissner-Nordström, se descubrió poco después (1916-1918). Sin embargo, la solución
exacta para un agujero negro giratorio sin carga, la métrica de Kerr, permaneció sin re-
solver hasta 1963, cuando fue descubierta por el matemático neozelandés Roy Kerr. Otras
de las soluciones que nos interesan en este trabajo son el espacio de De Sitter, que con-
tiene una constante cosmológica positiva, encontrada por el matemático italiano Tullio
Levi-Civita en los años veinte; y el espacio anti-De Sitter, que contiene una constante
cosmológica negativa.
Todas estas soluciones mencionadas fueron halladas para 4 dimensiones. Tanto la
solución de Schwarzschild como la de Reissner-Nordström y Kerr incluyen regiones con
agujeros negros.
En este trabajo resolveremos las ecuaciones de Einstein (1.1) en 3 + 1 dimensiones
para obtener las soluciones de Schwarzschild, De Sitter y anti-De Sitter. Este análisis
en 3 + 1 servirá para conocer cómo ha de ser un agujero negro, cuáles han de ser sus
caracterı́sticas y también qué no es un agujero negro.
Posteriormente, pasaremos a 2 + 1 dimensiones y repetiremos los cálculos, con el
objetivo de ver cómo cambia la geometrı́a del espacio al eliminar una dimensión. No
se creı́a posible que hubiera soluciones que incluyeran agujeros negros en 2 + 1, hasta
que, en 1992, los fı́sicos chilenos M. Bañados, C. Teitelboim y J.Zanelli tomaron la acción
de Einstein-Hilbert en 2 + 1 dimensiones, que describe las ecuaciones de Einstein en es-
pacio vacı́o, e introdujeron una constante cosmológica ([1]). A partir de imponer estas
5 2 CONCEPTOS ÚTILES DE GEOMETRÍA DIFERENCIAL
ligaduras obtuvieron un modelo de agujero negro, con todas las caracterı́sticas propias
de un agujero negro en 3 + 1 pero con la facilidad que da trabajar en menos dimensio-
nes. Dicho agujero negro pasó a llamarse BTZ. Esto supuso una sorpresa, pues, como
veremos en la siguiente sección, la geometrı́a de un espacio en 3 dimensiones restrin-
ge mucho el número de soluciones con respecto a 4; veremos también que en el caso
más sencillo de resolver no se encuentra una métrica que admita soluciones del tipo de
un agujero negro. Todo esto llevó a pensar que no existı́an métricas en 3 dimensiones
que admitieran soluciones del tipo de un agujero negro, por tanto, fue una sorpresa
que los chilenos la encontrasen. En este trabajo reproduciremos el cálculo que realizaron
Bañados, Teitelboim y Zanelli ([1]) y observaremos qué se obtiene de él.
Finalmente, ampliaremos el estudio de métricas en 3 dimensiones añadiendo un cam-
po electromagnético, estudiando de nuevo las soluciones de las ecuaciones de Einstein
(1.1) e interpretando los resultados.
2 Conceptos útiles de geometrı́a diferencial
Einstein construyó la teorı́a de la Relatividad General apoyándose en el formalismo de la
geometrı́a lorentziana para describirla. Ya que, como dijimos previamente, la interacción
gravitatoria es una consecuencia de la curvatura del espaciotiempo, habremos de trabajar
en espacio curvo si queremos describir y/o realizar cálculos en presencia de masas que
nos curven el espaciotiempo. Es importante entonces explicar lo que es una variedad.
Una variedad de dimensión N es un espacio quese parece localmente a RN . La disciplina
matemática que estudia las variedades es la geometrı́a diferencial. Que Einstein usase la
geometrı́a lorentziana quiere decir que cualquier métrica que describa el espaciotiempo
en N dimensiones que satisfaga sus ecuaciones tendrá signatura (1, N − 1). Es decir,
tendremos una coordenada temporal, que en este trabajo tomaremos de signo positivo,
y N − 1 coordenadas espaciales, de signo negativo. Ası́, una métrica lorentziana en 3+ 1
dimensiones tiene la siguiente forma
ds2 = dt2 − dx2 − dy2 − dz2. (2.1)
Como las leyes fı́sicas son invariantes bajo cambios generales de coordenadas, nece-
sitamos introducir los conceptos de derivada covariante y sı́mbolos de Christoffel, pues sin
ellos no lo serı́an. La derivada covariante es una generalización de la derivada parcial,
que permite extender el cálculo diferencial en coordenadas cartesianas a coordenadas
curvilı́neas. Puede definirse también como la manera de especificar una derivada a lo
largo de vectores tangentes de una variedad. La derivada covariante de un tensor Tνµ
viene dada por la fórmula:
∇ρTνµ = ∂ρTνµ − ΓλρµTνλ + ΓνρλTλµ . (2.2)
Donde los Γ son los sı́mbolos de Christoffel. Para definirlos necesitamos ahora pre-
sentar el concepto de conexión.
La conexión es el conjunto de N3 funciones (en una variedad N−dimensional) de
las coordenadas xµ que define cómo hacer el transporte paralelo entre los puntos de
una variedad. El transporte paralelo es una manera de transportar vectores sobre curvas
diferenciables de manera que permanezcan paralelos respecto a la conexión dada.
27 7 CONCLUSIONES
7 Conclusiones
Hemos obtenido las métricas de la solución de Schwarzschild, la solución De Sitter
y sus equivalentes en 2 + 1 dimensiones (Minkowski con singularidad cónica, y
espacios De Sitter y anti-De Sitter), en una revisión bibliográfica de la obtención de
las Agujero negro BTZ. Además, hemos añadido un cálculo propio, una métrica en
3 dimensiones con constante cosmológica y campo eléctrico.
Hemos estudiado la estructura causal de ambas métricas en las 3 + 1 dimensiones
y hemos entendido cómo debe ser un horizonte de sucesos, un horizonte cósmico
y las geodésicas en un agujero negro.
Hemos obtenido el agujero negro BTZ con el Ansatz de Schwarzschild en 2 + 1 di-
mensiones, y resolviendo la acción tridimensional de Einstein-Hilbert e imponien-
do una constante cosmológica negativa, además de una constante de integración
negativa.
Hemos estudiado la estructura causal de BTZ, es decir, hemos calculado su hori-
zonte de sucesos y sus geodésicas radiales nulas y temporales. Hemos visto que
BTZ describe una métrica geodésicamente incompleta.
Hemos probado, calculando el tensor de Riemann, que la solución BTZ describe
un espacio-tiempo curvo.
Por lo tanto, hemos llegado a la conclusión de que la solución BTZ es un agujero
negro. Es decir, tiene una singularidad en r = 0 y un horizonte que la rodea.
Hemos añadido un campo eléctrico a nuestro Ansatz en 2 + 1 dimensiones, y he-
mos obtenido una métrica en 3 dimensiones con constante cosmológica y carga, y
hemos encontrado la existencia de un horizonte.
Como conclusión final, podemos decir que hemos cumplido con el objetivo de este
trabajo, que era reproducir el cálculo del agujero negro BTZ, entender su estructura
causal y luego encontrar una métrica con una constante cosmológica y un campo
electromagnético.
REFERENCIAS 28
Referencias
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