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Multigrados Minas y Energía FÍSICA II 
 
Calle Ponzano, 69, 28003 Madrid. 
 
Teléfonos: 91 412 61 46 – 648 092 713 www.aca demiajc.com 
 
Profesor 
 
Jorge Fernández 
 
 
Tema 1.- Vibraciones Mecánicas. FORMULARIO - 1/4 
 
Tema 1.- Vibraciones Mecánicas 
1.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE (MAS) 
 
 
01 Ecuación Diferencial del MAS �� + ��� = 0 
02 Solución general ��	
 = � sin��	 + ��
 , � > 0, �� ∈ �−�, �� 
03 Otras soluciones equivalentes 
��	
 = � cos��	 + ��
 �� = �� − �/2 ��	
 = �	 cos��	
 + � sin��	
 � = � sin�� , � = � cos�� 
 
04 Problema de Valor Inicial (PVI) � !			 "	�� + �
�� = 0��0
 = ��#�0
 = #� 
05 Solución al PVI tipo [02] � = $��� + %#��&� , �� = tan)* +���#� , 
06 Casos particulares 
�� > 0, #� = 0 ��	
 = �� sin��	 + �/2
 �� < 0, #� = 0 ��	
 = �� sin��	 − �/2
 �� = 0, #� > 0 ��	
 = � sin��	
 �� = 0, #� < 0 ��	
 = � sin��	 + �
 
07 Otras soluciones equivalentes [03] 
�� = tan)* +− #����, 
� = ��, � = #�� 
 
08 Relaciones cinemáticas 
��	
 ��	
 = � sin��	 + ��
 |�/á1| = � 
#�	
 #�	
 = �� cos��	 + ��
 |#/á1| = �� 
��	
 ��	
 = −��� sin��	 + ��
 |�/á1| = ��� 
#��
 #��
 = ±�3�� − �� 
���
 ���
 = −��� 
��#
 ��#
 = ±�3���
� − #� 
 
Amplitud Fase
Fase inicial
Pulsación o 
frecuencia angular
Desplazamiento 
o elongación
Periodo
Frecuencia
Movimiento 
Circular 
Uniforme
 
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Tema 1.- Vibraciones Mecánicas. FORMULARIO - 2/4 
 
 
09 Sistema masa 4 – resorte 5 � = $67 , 8 = 2�976 , : = ; = 12�$67 
10 Asociación de resortes 
Serie 6=>)* = 6*)* + 6�)* 
Paralelo 6=> = 6* + 6� 
11 Péndulo simple 
Ecuación general ?� + 9@A sin ? = 0 
Pequeñas oscilaciones ?� + 9@A ? = 0	 → 	� = 9@A 
 
ENERGÍA 
12 Energía Cinética CD�#
 = 127#� 
CD�	
 = 127���� cos���	��
 
CD��
 = 12 	7����� − ��
 
13 Energía Potencial Elástica CE=��
 = 126�� = 12 	7���� CE=�	
 = 126�� sin���	��
 
14 Energía Mecánica C = CD + CE= = 126�� = 127���� 
 
 
2.- OSCILACIONES ARMÓNICAS AMORTIGUADAS (OAA) 
 
 
15 Ecuaciones Diferenciales (Rozamiento viscoso FG ≡ −I�J) 
7�� + I�J + 6� = 0, �� + I7 �J + 67� = 0 
�� + 2K�J + �L�� = 0, K ≡ I27 ,�L ≡ $67 
�� + 2M�L�J + �L�� = 0, M ≡ K�L = I27�L ≡ IIDG 
 
0 2 4 6 8 10
 
Oscilaciones sub-amortiguadas
 
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Tema 1.- Vibraciones Mecánicas. FORMULARIO - 3/4 
 
 
 
16 Frecuencia natural de oscilación, �L �L ≡ $67 , :L = ;N = 12�$67 , 8L = 2�976 
17 Ratio de amortiguamiento, M M ≡ K�L = I27�L ≡ IIDG , IDG = 27�L = 2√67 
18 Ecuación (polinomio) característica P� + I7 P + 67 = 0, P� + 2KP + �L� = 0, P� + 2M�LP + �L� = 0	 
19 
Solución 
General 
de [15] 
K > �L , M > 1, I > IDG Movimiento sobre-amortiguado 
(no oscilatorio) 
��	
 = Q)RSTU��QVU + WQ)VU
 = 
 = Q)RSTU�� cosh�Γ	
 + � sinh�Γ	
 
 %Γ ≡ �L3M� − 1 < �LM& 
K = �L , M = 1, I = IDG Movimiento en amortiguamiento crítico 
(no oscilatorio) 
��	
 = Q)STU�� + W	
 
K < �L , M < 1, I < IDG Oscilaciones sub-amortiguadas 
��	
 = �Q)RSTU sen��[	 + ��
 = 
 = Q)RSTU\� cos��[	
 + � sen��[	
] 
 %�[ ≡ �L31− M� < �L& 
* �, W, �, �, ��, �� son constantes arbitrarias en cada caso. Se deberán relacionar con los datos iniciales ��, #�. 
20 Frecuencia amortiguada, �[ �[ = �L31 − M�, :[ = ;[ = �[2� , 8[ = 2��[ 
 
MOVIMIENTO SUB-AMORTIGUADO 
21 Amplitud envolvente ��	
 = ��Q)MSTU = ��Q)^U ≡ ��Q)U/_ 
22 Tiempo de relajación ` ≡ 1K = 1M�L , ��`
 = ��Q = 36,788%	�� 
23 Cociente entre amplitudes máximas consecutivas 
��	
��	 + 8[
 = ��	
��	 + 8[
 = exphM�N8[i 
24 Decremento (decrecimiento) logarítmico 
j = ln ��	
��	 + 8[
 = M�N8[ = 2�M �L�[ = 2�M31 − M� ≅: \M ≪ 1]:≅ 2�M 
25 Relación M − j M = j√4�� + j� = j2� 131 + �j/2�
� ≅: p j2� ≪ 1q :≅ j2� 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Jorge Fernández 
 
 
Tema 1.- Vibraciones Mecánicas. FORMULARIO - 4/4 
 
 
3.- OSCILACIONES FORZADAS: Excitaciones Armónicas 
 
 
26 
Ecuaciones Diferenciales 
 
- Rozamiento viscoso FG ≡ −I�J 
- Excitación: F�	
 = F� sin�Ω	
		 
7�� + I�J + 6� = F� sin�Ω	
 , �� + I7 �J + 67� = F�7 sin�Ω	
 
�� + 2K�J + �L�� = F�7 sin�Ω	
 ≡ jsU�L sin�Ω	
 , jsU ≡ F�6 
27 Solución general de [26] 
La solución general de [25] es la suma de la solución general de 
[15] (expresiones [19]) más una solución particular de [26], 
también llamada solución permanente (dado que las soluciones 
[26] desaparecen tras un tiempo del orden de `, y se denominan 
soluciones transitorias ) 
28 Solución particular de [26] (Respuesta permanente) �E�	
 = t� sen�Ω	 + �
 
t� = F�/73��L� − Ω�
� + �2KΩ
� 
� = arctan 2KΩΩ� − �L� 
29 Ratio de amortiguamiento v v ≡ Ω�L 
30 Deformación estática jsU jsU ≡ F�6 
31 Amplitud y fase normalizadas t� = jsU3�1 − v�
� + �2Mv
� , � = arctan 2Mvv� − 1 
32 Factor dinámico de amplificación w |w|�v, x
 = yt�jsUy = 13�1 − v�
� + �2xv
� 
33 Resonancia en Amplitud 
vG=s = 31 − 2x� 			⟹ 			ΩG=s = 31 − 2x��L 
|w|G=s = 12x31 − x� 			⟹			X�,G=s = jsU2x31 − x� 
34 Resonancia en energía cinética-velocidad v = 1				 ⟹			ΩG=s = �L 	 
 
 
 
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
0
1
2
3
4
5
 
 
0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
 
 
0
π/2
-π/2