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Movimiento Armónico Simple 
(MAS)
Cálculo aplicado a la física 3 
Semana 02 – Sesión 02 
Logro
✓Al final de esta sesión el estudiante
describirá y analizará el
comportamiento de algunos sistemas
periódicos usando el modelo del
Movimiento Armónico Simple (MAS).
Agenda
✓Definición del movimiento
oscilatorio y el MAS.
✓Cinemática del MAS.
✓Dinámica del MAS.
✓Energía del MAS
✓Resolución de ejercicios.
✓Cierre.
Muchos tipos de movimientos son repetitivos, como el movimiento de un
péndulo, el movimiento del pistón de un motor, las vibraciones sonoras dentro
de una trompera, las palpitaciones cardiacas, etc. A este tipo de movimiento se
les llama movimiento periódico u oscilatorio.
Movimiento oscilatorio
Movimiento oscilatorio
• Una objeto realiza un movimiento oscilatorio cuando se
mueve periódicamente alrededor de una posición de
equilibrio. Por ejemplo: el movimiento que se observa en
un péndulo, el movimiento sin fricción de una masa unido a
un resorte, electrones en una antena, etc.
• Un movimiento oscilatorio se puede caracterizar
mediante: el máximo desplazamiento del objeto en relación
a la posición de equilibrio (amplitud), el tiempo que repite
su movimiento (periodo) y el número de ciclos por unidad
de tiempo (frecuencia), etc.
Movimiento armónico simple (MAS)
• Un tipo especial de movimiento oscilatorio es el movimiento oscilatorio simple
(MAS).
• El MAS ocurre por la acción de una fuerza restauradora que es directamente
proporcional a la posición del objeto que oscila.
• La posición del objeto se expresa usando una función sinusoidal (senos o
cosenos).
• La posición x = 0 es la de equilibrio, en la cual la fuerza restauradora es cero.
• Para describir el MAS usamos un sistema formado por una masa que oscila sobre
una superficie horizontal lisa y que está unida a un resorte ideal.
Sin fricción
Sin fricción
Sin fricción
 0F
 0F
= 0F
= 0x
 0x
 0x
Fuerza restauradora:
La fuerza restauradora es la fuerza elástica que
se puede expresar como:
= −F kx
El signo negativo es para indicar que la
dirección de la fuerza es contraria a la posición
del objeto.
La constante de proporcionalidad k es conocida
como constante elástica. En el SI se mide en
N/m.
Movimiento armónico simple (MAS)
Apliquemos la segunda ley de Newton al MAS.
Como el movimiento es unidimensional podemos escribir esta ecuación como
Esta expresión es una ecuación diferencial. ¿Cuál es la solución de esta ecuación? Es
decir, ¿Cuál sería la ecuación de la posición en el MAS.
= =
2
2
d x
F ma m
dt
= −F kx
+ =
2
2
0
d x k
x
dt m
2
2
2
0
d x
x
dt
+ =
k
m
 =
Movimiento armónico simple (MAS)
rad
s
Una solución para la ecuación diferencial del MAS es
( ) = +( ) cosx t A t
A: es la amplitud que constituye el valor
máximo que toma la posición. Se mide en
metros, centímetros, pies, …
: Es la fase inicial o simplemente fase,
que como veremos dependerá de condiciones
especiales conocidas de las ecuaciones del
MAS. Se expresa en radianes.
ω: Es la frecuencia angular. Se mide en
rad/s.
Movimiento armónico simple (MAS)
Periodo del MAS
El tiempo de repetición del MAS, o periodo, se puede 
obtener mediante la ecuación
2
2
m
T
k



= = [s]
Frecuencia del MAS
A la inversa del periodo se le denomina frecuencia


= =
1
2
f
T
 
= 
 
1
Hz
s
Movimiento armónico simple (MAS)
Velocidad del MAS
Podemos obtener la velocidad aplicando la primera derivada a la posición
( ) ( )     = = + = − + 
( )
( ) cos sen
dx t d
v t A t A t
dt dt
( )  = − +( ) s nv t A e t
Aceleración del MAS
Podemos obtener la velocidad aplicando la primera derivada a la
velocidad o la segunda derivada a la posición.
( ) ( )      = = − + = − + 
2( )( ) sen cos
dv t d
a t A t A t
dt dt
( )   = − + = −2 2( ) cos ( )a t A t x t
Movimiento armónico simple (MAS)
Datos/Observaciones
Movimiento Armónico Simple
En la posición de equilibrio la
aceleración es cero y la velocidad
toma sus valores máximo o mínimo.
En los extremos (x = A y x = -A) la
velocidad es cero y la aceleración es
máxima o mínima.
Datos/Observaciones
Ejemplo
La ecuación de la posición de una partícula que realiza un MAS es:
Halle la amplitud, la frecuencia angular, la frecuencia, la fase inicial y el periodo.
Obtener la velocidad y la aceleración.
𝑥 𝑡 = 0,25cos
𝜋
4
𝑡 +
2𝜋
5
𝑚
Datos/Observaciones
Un pequeño bloque de 2 Kg está unida a un resorte ideal que tiene una constante
elástica de 200 N/m. El boque realiza un MAS sobre una superficie horizontal lisa. Si
en t = 0 se tiene que x(0) = 0.5m y v(0) = 0. Obtener la expresión de la posición, la
velocidad y la aceleración del bloque .
Ejemplo
Datos/Observaciones
Energía en un MAS
La fuerza elástica es conservativa. Además en el modelo de masa resorte que estamos
usando se observa que solamente la fuerza elástica realiza trabajo. Entonces la energía
mecánica total del sistema se conserva.
La energía cinética y potencial elástica en el MAS son respectivamente
( ) ( )       = = + = +   
2 221 1 1sen sen
2 2 2
C
E mv m A t k A t
( )  = = + 
221 1 cos
2 2
P
E kx k A t
La energía total es la suma de estas energías
= + = 2
1
2
T C P
E E E kA
Datos/Observaciones
= 2
1
2
P
E kx
E
La energía se conserva
Observen que en los extremos (x = ± A) la energía cinética es cero, en consecuencia y
la energía potencial es máxima.
En la posición de equilibrio la energía potencial elástica es cero, por tanto, la energía
cinética es máxima.
Energía en un MAS
T
E
Datos/Observaciones
Un objeto de 3kg realiza un MAS con una amplitud de 10 cm y periodo de 2 s. 
Determine la energía total.
Ejemplo
Datos/Observaciones
Péndulo Simple
Apliquemos la segunda ley de Newton:
2
2
sen
d s
mg m
dt
− =
2
2
sen 0
d g
dt L

+ =
Un péndulo simple se caracteriza por tener pequeñas
oscilaciones, es decir, el ángulo θ es pequeño. Así podemos usar la
aproximación senθ ≈ θ

 + =
2
2
2
0
d
dt
Esta ecuación es la ecuación diferencial de un MAS, por lo que los
resultados mostrados en el MAS pueden aplicarse en un péndulo simple.
g
L
 =
2
L
T
g
=
𝑠 = 𝐿𝜃
Periodo del péndulo simple:
Datos/Observaciones
Un péndulo simple tiene un periodo de 1s. Obtener la longitud del péndulo.
Ejemplo
Datos/Observaciones
1. Una masa de 2 kg unido a un resorte de 200 N/m tiene un MAS. Si en
movimiento lo inicia desde el reposo en la posición x(0) = 6cm. Calcular la
posición, la velocidad y la aceleración.
2. Un bloque de masa de 1.2kg unido a un resorte ideal de 120N/m realiza un
MAS sobre una superficie horizontal lisa. Si x(0) = 0.15m y v(0) = -2m/s.
Obtener la ecuación de la posición del bloque.
A practicar
Datos/Observaciones
No olvidar!
✓ La segunda ley de Newton también se aplica
en objetos que realizan movimientos
oscilatorios.
✓ La ley de Hooke nos permite obtener la
fuerza elástica en resortes ideales.
✓ El MAS la posición, la velocidad y la
aceleración del objeto se describe usando
funciones sinusoidales.
✓ En el MAS la energía se conserva.
Datos/Observaciones
BIBLIOGRAFÍA
BÁSICA
✓ Serway, R. y Jewett, J.W.(2015) Física para ciencias e ingeniería. Volumen II. 
México. Ed. Thomson.
✓ Halliday, D., Resnick, R. y Krane, K.S.(2008) Física. Volumen II. México. Ed. 
Continental.
✓ Sears F., Zemansky M.W., Young H. D., Freedman R.A. (2016) Física Universitaria 
Volumen II Undécima Edición. México. Pearson Educación.
COMPLEMENTARIA
✓ Tipler, P., Mosca, G. (2010) Física para la ciencia y la tecnología. Volumen II.
México Ed. Reverté .
✓ Feynman, R.P. y otros. (2005) Física. Vol. II. Panamá. Fondo Educativo 
interamericano.