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Tema: Verdades y Mentiras Docente: César Roque Minalaya RAZ. MATEMÁTICO • Aprender a identificar el valor de verdad de las proposiciones mediante un análisis adecuado. • Aplicar correctamente los criterios de resolución para obtener conclusiones válidas. OBJETIVO Conceptos previos Resolución por contradicción Resolución por suposición Este tipo de problemas consiste en obtener conclusiones correctas a partir de un conjunto de proposiciones que, en un primer momento, se desconoce su valor de verdad y luego con la información brindada se puede deducir su veracidad o falsedad. Es decir: Yo ingresé a la UNMSM Yo ingresé a la UNFV Yo no ingresé a la UNFV Yo no ingresé a la UNMSM No se conoce quién dice la verdad o quién miente Para determinar la veracidad o falsedad de cada una de los enunciados debemos analizar la información previa brindada en el problema. 1. CONCEPTOS PREVIOS Es un enunciado que tiene la cualidad de ser o verdadero o falso, sin ambigüedad. PROPOSICIÓN Ejemplos: - El número 7 es primo. - 5 + 15 = 18 1. PROPOSICIONES EQUIVALENTES Ana: Hoy es viernes. Beto: Mañana será sábado. …………..…… (V) o (F) Son las que expresan el mismo significado, es decir, dicen lo mismo y mayormente con otras palabras. Por eso tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo: ……………. (V) (F) 2. PROPOSICIONES CONTRARIAS Son aquellas que expresan significados diferentes respecto de un mismo asunto, pero uno no niega al otro. Al menos una es falsa. (contradicción parcial) RELACIONES ENTRE DOS PROPOSICIONES: …………. ( ) V ………………………. ( ) F Si fuese martes ……. (V) Si fuese viernes Ni martes, ni viernes 3. PROPOSICIONES CONTRADICTORIAS Son contradictorias cuando una es la negación de la otra. Por eso siempre una es verdadera y la otra es falsa. (contradicción total) Ana: Hoy es lunes. Beto: Hoy no es lunes. Una es verdadera y la otra falsa. Ana: Hoy es martes Beto: Hoy es viernes Ejemplo: Ejemplo: ……. (F) ……….… (F) …..……… (V) ………... (F) ………… (F) ……….. (V) o (F) ……..(F) (V) Tener en cuenta lo siguiente: La negación de una proposición verdadera es falsa. La negación de una proposición falsa es verdadera. Por ejemplo: • Carla postula a medicina. (V) su negación es • Carla no postula a Medicina. • No es el caso que Carla postule a medicina. Por ejemplo: • Benito es mentiroso. (F) su negación es • Benito no es mentiroso. • Benito dice la verdad • Carlos no es culpable. (F) su negación es • Carlos es culpable. • Fue Miguel No fue Miguel • Karen no miente Karen miente (F) (F) NOTA: De manera practica se podrá decir que cuando una proposición es falsa, se concluye como verdadero lo contrario a lo que dice en la proposición. Por ejemplo: MÈTODOS DE RESOLUCIÒN I. POR CONTRADICCIÓN Se identifica las proposiciones contradictorias, con ellas y los demás datos se determina el valor de verdad de las otras. II. POR SUPOSICIÓN Se asigna un valor de verdad a una proposición, luego se verifica con las otras y los datos si dicho valor es correcto. Si no es así, se le cambia el valor de verdad. Resolución:APLICACIÓN 01 2. RESOLUCIÓN POR CONTRADICCIÓN La persona que ganó el concurso de gastronomía.Nos piden: Enunciados: Pedro: Silvia ganó el concurso. Miguel: Pedro ganó el concurso. Silvia: Yo no gané el concurso. Patty: Pedro miente. Datos: - M , V , V , V - Solo hay un ganador. La persona que ganó el concurso es: …............. ( ) …....…..…. ( ) ..…….….. ( ) ……….….….. ( ) Discuten sobre si Silvia gana ( V ; M ) V V Pedro En un concurso de gastronomía , donde solo hay un ganador, participan Pedro, Miguel, Silvia y Patty. Al final del evento, luego de preguntárseles quién ganó el concurso, respondieron lo siguiente: Pedro: Silvia ganó el concurso. Miguel: Pedro ganó el concurso. Silvia: Yo no gané el concurso. Patty: Pedro miente. Si se sabe que solo una de las respuestas es falsa, ¿quién ganó el concurso de gastronomía ? A) Pedro B) Miguel C) Silvia D) Patty E) Juana APLICACIÓN 02 André, Boris, Carlos, David y Evaristo han participado en una carrera de 100 metros planos. Cuando se le preguntó a cada uno por el ganador de la carrera, todos respondieron de la siguiente manera: André: “Boris fue el ganador”. Boris: “Carlos ganó”. Carlos: “David ganó”. David: “Yo no gané la carrera”. Evaristo: “Yo no gané la carrera”. Si hubo un único ganador y solo una de las afirmaciones es verdadera, mientras que las demás son falsas, ¿quién dice la verdad? A) André B) Evaristo C) Boris D) David E) Carlos Resolución: André: “Boris fue el ganador”. Boris: “Carlos ganó”. Carlos: “David ganó”. David: “Yo no gané la carrera”. Evaristo: “Yo no gané la carrera”. La persona que dice la verdad.Nos piden: Enunciados: Datos: - V , M , M , M , M - Solo hay un único ganador. La persona que dice la verdad es: ……………….. ( ) ……...…..…... ( ) ..... ( ) …... ( ) Discuten sobre si David ganó ( V ; M ) M M David .. ( )M(ganó) V M APLICACIÓN 03 Cuatro amigos, terminaron sus estudios de medicina, ingeniería, educación y economía. Se les hace dos preguntas a cada uno acerca de sus profesiones o la de sus amigos y responden lo siguiente: Luis: Nora es doctora, Mario es ingeniero. Mario: Nora no es doctora, Paty es economista. Nora: Paty es profesora, Luis es economista. Paty: Yo soy doctora, Mario es profesor. Si cada uno dijo una verdad y una mentira. ¿Quién es profesor(a) ? A) Paty B) Luis C) Nora D) Mario E) No se puede determinar Resolución: 3. RESOLUCIÓN POR SUPOSICIÓN el nombre del profesor(a)Nos piden: Luis: Nora es doctora, Mario es ingeniero Mario: Nora no es doctora, Paty es economista. Nora: Paty es profesora, Luis es economista. Paty: Yo soy doctora, Mario es profesor. Datos: • Cada uno dice : V, M LUIS MARIO NORA PATY V M V M V M V ingeniero V M doctora M V economista profesora Enunciados: (error) El nombre de la profesora: Nora Por suposición Incorrecto Correcto Resolución: APLICACIÓN 04 Nos piden: Los nombres de quienes llegaron tercero y cuarto respectivamente.En una competencia olímpica, participaron cuatro atletas. Al final de la competencia, en la que no hubo empates, se les pregunta sobre los puestos en que llegaron y cada uno de ellos declaró lo siguiente: • Alberto: “Daniel llegó primero; Bernardo, último”. • Claudio: “Yo gané la carrera. Alberto llegó Segundo”. • Bernardo: “Yo llegué tercero; Alberto, cuarto”. • Daniel: “Bernardo llegó segundo; Claudio, cuarto”. Si cada uno dijo una mentira y una verdad, pero no necesariamente en ese orden, ¿quién llegó tercero y quién, cuarto en ese orden? A) Daniel - Claudio B) Bernardo - Claudio C) Bernardo - Daniel D) Alberto - Bernardo E) Claudio – Daniel UNMSM 2023-I Datos: • Cada uno dice : V, M Alberto: - Daniel llegó primero - Bernardo, último Claudio: - Yo gané la carrera - Alberto llegó Segundo Bernardo: - Yo llegué tercero - Alberto, cuarto Daniel: - Bernardo llegó segundo - Claudio, cuarto Enunciados: Por suposición V M M V (error) M Incorrecto Correcto V 1° 2° 3° 4° Daniel M V Alberto M V Bernardo Claudio V M En tercer y cuarto lugar llegaron: Bernardo y Claudio PROBLEMA 1 Resolución: Contradicción Cinco jugadores de fútbol son interrogados por su entrenador, pues uno de ellos dio información importante al entrenador del equipo contrario y a puesto en riesgo a su propio equipo. Cada uno le dijo. Aldair: David fue. Braulio: César no fue. César: Eloy fue. David: Yo no fui. Eloy: David fue. Si solo uno de ellos dice la verdad, ¿quién dio la información al entrenador del equipo contrario? A) Aldair B) Braulio C) César D) David E) Eloy Nos piden: La persona que dio la información al equipo contrario. • Solo unodice la verdad. Según los datos; ( ) ( ) ( ) ( ) (V; M) Analizamos las proposiciones. M M V, M; M, M; M • Solo uno es el culpable. Aldair: David fue. Braulio: César no fue. César: Eloy fue. David: Yo no fui. Eloy: David fue. ( ) M M Se deduce: César fue La persona que dio la información al equipo contrario es Cesar V PROBLEMA 2 Resolución: Andrés, Bernardo, Carlos y Darío toman una tarjeta diferente cada uno (las tarjetas están numeradas del 2 al 5) y dicen lo siguiente: Andrés: Yo tengo la tarjeta con el número 4. Bernardo: El número de mi tarjeta es el doble que el de Darío. Carlos: Andrés no tiene la tarjeta con el número 4. Darío: Carlos tiene la tarjeta con el número 5. Si solo uno miente, ¿cuánto suman los números de las tarjetas que tienen Carlos y Darío? Nos piden: La suma de los números de las tarjetas de Carlos y Darío. A) 9 B) 7 C) 5 D) 8 E) 6 • Solo uno de ellos miente. • Tarjetas: 2; 3; 4; 5 Según los datos; ( ) ( ) ( ) ( ) Contradicción Analizamos las proposiciones: V V Andrés: Yo tengo la tarjeta con el número 4. Bernardo: El número de mi tarjeta es el doble que Darío. Carlos: Andrés no tiene la tarjeta con el número 4. Darío: Carlos tiene la tarjeta con el número 5. V, V, V, M (V; M) V Carlos 5 Bernardo Darío 4 2 Andrés 3 La suma de las tarjetas de Carlos y Darío es: 5 + 2 = 7 M PROBLEMA 3 Resolución: ( ) Se ha detenido a 7 políticos sospechosos de corrupción, los cuales al ser interrogados respondieron: - Abel: Yo no fui. - Beto: Si Gustavo es inocente, Ernesto también. - Carlos: Abel es el culpable. - David: Fausto siempre miente. - Ernesto: Abel y Beto son inocentes. - Fausto: Beto es inocente. - Gustavo: Yo no fui y David tampoco. De estas afirmaciones se conoce que 2 son mentiras y los 5 restantes veraces; además, hay un solo culpable, el cual dio una afirmación falsa (mentira). ¿Quién es el culpable? Nos piden: la persona que es culpable. A) Abel B) Beto C) Carlos D) David E) Ernesto Contradicción • Dos afirmaciones son mentiras. Según los datos; ( ) ( ) ( ) ( ) (V; M) V M M, M; V, V; V; V; V • Hay un único culpable ( )V V Se sabe que el único culpable es mentiroso VAbel: Yo no fui. Beto: Si Gustavo es inocente, Ernesto también. Carlos: Abel es el culpable. David: Fausto siempre miente. Ernesto: Abel y Beto son inocentes. Fausto: Beto es inocente. Gustavo: Yo no fui y David tampoco. ( ) Contradicción (V; M) (inocente) (inocente) (inocente) (inocente) (inocente) V M ( uno de los mentirosos) Carlos (inocente) PROBLEMA 4 Resolución: N° preg. Abel Boris Carlos Dina 1 F F F F 2 F F V F 3 V F F F 4 V V F F N° preg. Abel Boris Carlos Dina 1 F F F F 2 F F V F 3 V F F F 4 V V F F Aquí debemos encontrar: N° preg. Abel Boris Carlos Dina 1 F F F F 2 F F V F 3 V F F F 4 V V F F Nos piden: las personas que tuvieron uno y dos errores, respectivamente. Dato: Todos coinciden y debe ser correcta - Una columna con 3 correctas - Las otras columnas con 1, 2 y 3 incorrectas opuestos Abel y Carlos Los de 1 y 2 errores respectivamente son Dina y Boris COMPROBACIÓN: CASO 1: CASO 2: Las personas con 1 y 2 errores respectivamente son Dina y Boris La tabla adjunta muestra las respuestas brindadas por cuatro estudiantes. Uno de los estudiantes respondió todas las preguntas correctamente y los otros fallaron en una, dos y en tres respuestas. ¿Quién tuvo un error y quién dos errores, en ese orden? A) Abel y Dina D) Dina y Boris C) Dina y Carlos D) Abel y Carlos E) Abel y Boris • Otro falló en dos preguntas• Uno respondió todas(4) correctas • Otro falló en una pregunta • Otro falló en tres preguntas(3 correctas) (2 correctas) (1 correcta) N° preg. Abel Boris Carlos Dina 1 F F F F 2 F F V F 3 V F F F 4 V V F F PROBLEMA 5 Resolución: Una fila está conformada por 2020 hombres, entre veraces o falaces. Cada uno de ellos hace la siguiente afirmación: “a mi izquierda hay más falaces que veraces a mi derecha”. ¿Cuántos veraces hay en dicha fila? A) 0 B) 1 C) 1011 D) 1010 E) 500 Nos piden: Cuántos veraces hay en dicha fila. Iniciaremos el análisis por los que están en los extremos. 1° 2° MV IZQUIERDADERECHA 3° 4° MV 5° 6° MV 7° 8° MV … 2020 hombres Razonando del mismo modo, se puede probar que la mitad de los hombres son veraces (1010) y la otra mitad de los hombres son falaces (1010). Hay 1010 veraces en la fila. PROBLEMA 6 Resolución: Cuatro amigos realizan las siguientes afirmaciones: • Alexis: - Clara es doctora - Bernardo es ingeniero • Bernardo: - Clara no es doctora - Diana es economista • Clara: - Diana es profesora - Alexis es economista • Diana: - Yo soy doctora - Bernardo es profesor Cada uno tiene una profesión distinta a los demás además cada uno dice una verdad y una mentira. ¿Quiénes son el profesor y el doctor respectivamente? A) Diana y Bernardo B) Diana y Alexis C) Bernardo y Alexis D) Alexis y Clara E) Clara y Diana el nombre del profesor y el doctor respectivamente.Nos piden: Alexis: Clara es doctora, Bernardo es ingeniero Bernardo: Clara no es doctora, Diana es economista. Clara: Diana es profesora, Alexis es economista. Diana: Yo soy doctora, Bernardo es profesor. Datos: • Cada uno dice : V, M Alexis Bernardo Clara Diana V M V M V M V ingeniero V M doctora M V economista profesora Enunciados: (error) El nombre de la profesora y la doctora respectivamente son: Clara y Diana Por suposición Incorrecto Correcto PROBLEMA 1 Resolución: Rosa, Marlene y Cintia van al cine y tienen la siguiente conversación: - Rosa: “Yo soy mayor de edad”. - Marlene: “Rosa miente”. - Cintia: “Marlene es menor de edad”. Si se sabe que solo una miente y que solo una es menor de edad, ¿quién miente y quien es menor de edad respectivamente? A) Marlene, Cintia B) Marlene, Marlene C) Rosa, Rosa D) Rosa, Cintia E) Marlene, Rosa Nos piden: quién miente y quien es menor de edad respectivamente Datos: - M , V , V - Solo una es menor de edad. Enunciados: - Rosa: “Yo soy mayor de edad”. - Marlene: “Rosa miente”. - Cintia: “Marlene es menor de edad”. …............. ( ) …....…..…. ( ) ..…….….. ( ) V ( V ; M ) (menor) V M El nombre de la que miente y quien es menor de edad respectivamente son: Marlene, Marlene PROBLEMA 2 Resolución: Cuatro hermanos fueron interrogados por su padre, ya que uno de ellos había utilizado su auto sin pedirle permiso. La respuesta de cada uno de ellos fue la siguiente: - Santiago: «Jim fue». - Jim: «Carlos fue». - Carlos: «Yo no fui». - Pedro: «Yo no fui». Si solo uno de ellos dice la verdad, ¿Quién utilizó el auto? A) Jim B) Pedro C) Carlos D) Santiago E) Imposible saber Nos piden: Conocer quién utilizó el auto Datos: - V , M , M, M - Solo hay un culpable. Enunciados: - Santiago: «Jim fue». - Jim: «Carlos fue». - Carlos: «Yo no fui». - Pedro: «Yo no fui». …............. ( ) …....…..…. ( ) ..…….….. ( ) ……….….….. ( ) ( V ; M ) M Se deduce: Pedro es el culpable. La persona que utilizó el auto es: Pedro PROBLEMA 3 Resolución: Cinco mujeres, al ser interrogadas por un delito que cometió una de ellas, dijeron lo siguiente: - Bertha: fue Elsa. - Ana: fue Bertha. - Elsa: Bertha miente. - María: yo no fui. - Karla: yo fui. Si solo una de ellas dice la verdad, ¿quién cometió el delito? A) Bertha B) Ana C) María D) Elsa E) Karla Nos piden: quién cometió el delito Datos: - V , M , M , M , M - Solo una cometió el delito. Enunciados: - Bertha: fue Elsa.- Ana: fue Bertha. - Elsa: Bertha miente. - María: yo no fui. - Karla: yo fui. …………….. ( ) ……...…..…... ( ) …................ ( ) …............... ( ) ……………… ( ) ( V ; M )M M M Se deduce: María es la culpable. La persona que es culpable es: María
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