fractales

Vista previa del material en texto

1 
 
APLICACIÓN DE FRACTALES EN LA INGENIERÍA 
AMBIENTAL 
(CONJUNTO DE MANDELBROT) 
Alexander Torres, Edisa Lozada. 
Métodos Numéricos 
Universidad Nacional de Colombia 
 
 
RESUMEN: Se pretende mediante este articulo mostrar al lector el conjunto de formas generadas por 
un proceso de repetición iterativo (conjunto de Mandelbrot), el cual representa áreas naturales 
complejas como las zonas costeras, cuya geometría no se encuentra en los libros de geometría. Es un 
método dinámico (cambia con el tiempo) y relativamente nuevo que en los últimos años ha sido 
reconocida como una herramienta potencialmente útil para analizar un gran número de fenómenos 
físicos, entre los cuales se encuentra el vertido de petróleo en la interfaz agua-tierra. 
Palabras clave: fractal, marea negra, medio ambiente, Mandelbrot. 
ABSTRACT: By this article is intended to show the reader the set of forms generated by an iterative 
process of repetition (Mandelbrot set), which represents complex natural areas such as coastal zones, 
whose geometry is not in the books of geometry. The method is dynamic (changes with time) and 
relatively new in recent years has been recognized as a potentially useful tool to analyze a large 
number of physical phenomena, among which is the oil spill in the water-land interface. 
Keywords:, fractal, black sea, environment, Mandelbrot 
 
1. Introducción 
 
Cuando se quieren generar o analizar formas 
complejas de la naturaleza como el de una 
hoja, las figuras comunes de la geometría no 
son las más adecuadas para generar formas de 
este tipo. Su limitación se debe a que pierden 
su estructura cuando son ampliadas, es decir: 
un arco de círculo se transforma poco a poco 
en una recta; la superficie de una esfera se hace 
cada vez más plana, sin embargo, esto no 
ocurre con las formas naturales; por ejemplo, 
la superficie rugosa de una roca, y la forma de 
un helecho mantienen prácticamente la misma 
complejidad en varios de los niveles 
estudiados, es decir, a cualquier escala. 
A este tipo de formas geométricas que, entre 
otras propiedades, contienen una imagen de sí 
mismas en cada una de sus partes, se le llama 
fractales, y hace ya más de una década que 
ingresaron el mundo científico con un conjunto 
de nuevas reglas para enfrentarse con el reto de 
conocer y describir la naturaleza mediante el 
uso de mecanismos matemáticos. Las 
herramientas de la geometría fractal son, hoy 
día, elementos insustituibles en el trabajo de 
muchos físicos, químicos, biólogos, fisiólogos, 
economistas, etc., pues les han permitido 
reformular viejos problemas en términos 
novedosos, y tratar problemas complejos de 
forma muy simplificada. 
 
En este artículo se presentará un modelo 
matemático acorde con uno de los postulados 
de la ecología del paisaje, el cual dice que las 
zonas naturales se representan mediante la 
geometría fractal de Mandelbrot. [1] 
 
Dimensión de un fractal 
 
Se ha mencionado a grandes rasgos, la 
autosimilaridad de estructuras geométricas, sin 
embargo, esto no es suficiente para recibir el 
adjetivo de fractal. Para diferenciar un fractal 
de una figura geométrica común se introduce 
un nuevo concepto que permitirá hacer esta 
diferencia sin temor a cometer errores; la 
dimensión fractal. 
 
El análisis de la dimensión fractal lo inició el 
matemático alemán Felix Hausdorff a 
comienzos del siglo XX. Para entender este 
concepto, se consideran una línea, un 
cuadrado y un cubo de dimensiones 1, 2 y 3 
respectivamente; puede suponerse que cada 
 2 
uno de los lados de éstos se divide a razón de 
r=1/4, entonces en la línea aparecen N=4 
segmentos, en el cuadrado N=16 subcuadrados 
y en el cubo N=64 subcubos, siendo N el 
numero de divisiones por forma geométrica. 
Puede decirse entonces que la dimensión D es 
la potencia a la que hay que elevar el factor r 
para obtener la siguiente relación: 
• Dimensión 1: Nr1=1 
• Dimensión 2: Nr2=1 
• Dimensión 3: Nr3=1 
Esta fórmula se puede generalizar para definir 
la dimensión D de un objeto: si al tomar una 
escala r, un objeto puede ser subdividido en n 
copias de sí mismo, su dimensión D, es el 
número que satisface la ecuación N=(1/r)D. La 
cantidad D se conoce como dimensión fractal y 
se puede despejar así: 
)/1( rLn
LnN
D = (1) 
 
Siendo r distinto de 0 y 1. 
No obstante, en la cotidianidad no todos los 
objetos se representan con la ecuación (1), 
pues no están subdivididos en copias exactas 
de sí mismo. Para esto, el mismo Hausdorff 
introdujo lo que hoy se conoce como 
dimensión de Hausdorff cuya definición es 
muy compleja y no será abordada en este 
artículo, pero se presentará una variante de esta 
definición conocía como la dimensión por 
conteo de cajas que es la utilizada en paquetes 
de software como Fractal Visión. 
El proceso es el siguiente: debe hacerse una 
restricción para tener en cuenta únicamente el 
plano, luego, conocido el objeto, se recubre 
con una cuadrícula de un tamaño x que 
produce las mencionadas cajas (equivalente al 
concepto de vecindad topológica). Se supone 
una cantidad N1 de estas vecindades para 
cubrir el objeto; en seguida se repite el 
procedimiento anterior pero con vecindades 
reducidas en una escala de factor r. Ahora, se 
supone que el número de vecindades 
requeridas es N2. Los valores N1 y N2 dependen 
del tamaño inicial de la cuadrícula y de la 
forma como se dispone la red sobre el objeto, 
entonces, se sugiere la siguiente expresión para 
relacionar N1 y N2: 
 
D
fN
N






= 1
2
1 (2) 
Al considerar el valor D para vecindades de 
tamaño muy cercano a 0, Hausdorff definió 
)/1ln(
)/ln( 12
f
NN
D = (3) 
 
Como la dimensión del objeto, conocida como 
la dimensión por conteo de cajas. Ahora bien, 
de manera formal, sean A � 2, δ un número 
real positivo y N δ(A) el menor número de 
subconjuntos de diámetro a los más δ que 
cubren a A. Entonces se define D, la dimensión 
fractal como 
)/1ln(
)(ln
)( lim
0 δ
δ
δ
AN
AD
→
= (4) 
Considerando lo anterior, un fractal es un 
subconjunto del plano que es autosimilar y 
cuya dimensión fractal excede a su dimensión 
topológica. [2] 
 
2. Aplicaciones análisis fractal a 
situaciones medioambientales. 
 
En la naturaleza existen multitud de sistemas 
que pueden ser tratados como fractales. 
Considerando el medio biótico, se puede 
pensar en la estructura leñosa de una buena 
parte de los vegetales, o simplemente en la 
estructura de un cristal de nieve. En el medio 
físico también abundan los ejemplos, como son 
los perímetros costeros o lacustres, la longitud 
de los cauces fluviales, la topografía 
superficial de diferentes regiones geográficas o 
la textura de algunos materiales porosos. En 
este artículo se mostrará cómo el análisis 
fractal puede utilizarse en el análisis del 
crecimiento de una mancha de petróleo en el 
mar. 
 
Marea negra 
 
Se puede pensar en una mancha de petróleo 
que se aproxima hacia la costa. El objetivo 
principal consiste en evitar que esta mancha 
llegue a la línea de costa, pues en la interfase 
aire-agua-tierra se pueden producir efectos 
considerablemente nocivos. Si el contacto es 
inevitable, la magnitud del problema radica en 
la extensión del frente de la mancha, que en 
principio determinará la extensión de 
ecosistema afectado en caso de existir contacto 
con la tierra. Esto es cierto si la línea de costa 
 3 
es esencialmente rectilínea, lo cual no siempre 
se ajusta a los modelos reales. 
La determinación del perímetro costero es un 
caso muy estudiado en la geometría fractal. 
Analizando un perfil costero (ver Figura 1), es 
fácilmente visible que, utilizando diferentes 
escalas para medir, se obtienen distintos 
valores. 
Para el fragmento que se ha presentado, se 
obtiene con una medida de longitud arbitraria 
un perímetro de costa de 3 km. 
 
 
Figura 1. Perfil costero 
 
Se debe considerar con mucha atención que la 
interfase agua-tierrase extiende a lo largo del 
perímetro de cada cabo, bahía o golfo, y 
además, cada prominencia y cada roca semi-
sumergida van a delimitar una interfase y de 
forma ideal, cada piedra y cada grano de arena 
de una playa tendría su propio perímetro 
costero. 
Es evidente que la problemática que representa 
un vertido de crudo en caso de llegar a la costa 
no depende sólo de la anchura de su frente, 
sino de las características de cada perfil 
costero, que pueden magnificar o disminuir el 
efecto nocivo en función de la longitud de 
interfase disponible para una longitud del 
frente dado. 
Mediante la ecuación (1) se puede calcular la 
dimensión fractal de la costa Gallega de 1,32, 
para la costa Asturiana de 1,09 y para la costa 
de la Comunidad Valenciana de 1,08. Para las 
determinaciones se han utilizado unidades de 
medida con una longitud de 30, 15, 9 y 3 km 
respectivamente. 
La costa Gallega es la más accidentada de las 
mencionadas y por tanto, tiene una dimensión 
fractal mayor. Un vertido en dichas costas 
presentaría una problemática mayor que en 
casos de dimensiones fractales inferiores.[3] 
 
3. Código para generar un fractal de 
Mandelbrot 
 
El lenguaje para generar fractales es la 
iteración. A continuación se representara un 
fractal con el modelo de Mandelbrot, el cual 
ayudará a describir la creación de uno de éstos 
para comprender mejor el fenómeno estudiado 
en el presente artículo. 
 
Código en VISUAL BASIC para Excel: 
 
'Función para crear la figura de uno de los 
fractales de Mandelbrot utilizando una hoja de 
cálculo: 
Function Mandelbrot(c_real, c_imag) 
 Count = 0 
 Modulus = 0 
 z_real = 0 
 z_imag = 0 
 While Count < 200 And Modulus < 2 
 z_real_squared = z_real ^ 2 - z_imag ^ 2 
 z_imag_squared = 2 * z_real * z_imag 
 z_real = z_real_squared + c_real 
 z_imag = z_imag_squared + c_imag 
 Modulus = Sqr(z_real ^ 2 + z_imag ^ 2) 
 Count = Count + 1 
 Wend 
 Mandelbrot = (Count) 
End Function 
 
Algunos de los valores en el plano complejo se 
encuentran en el Conjunto de Mandelbrot, 
mientras que otros no. Esta hoja de cálculo de 
Excel probará un número complejo para 
verificar si se encuentra en el conjunto de 
Mandelbrot, graficando los números que si 
cumplen esta condición; las reglas para 
determinar si un punto está en el Conjunto de 
Mandelbrot son: Inicialice en (0, 0), que es el 
primer valor de z, eleve al cuadrado y agregue 
al valor que se está probando (se llamará el 
valor c). Si el resultado final está fuera de un 
círculo de radio 2 centrado en (0, 0), c no está 
en el conjunto de Mandelbrot. Si z está dentro 
del círculo, c podría pertenecer al Conjunto de 
Mandelbrot, entonces se repite el cálculo. En 
otras palabras, toma el resultado del cálculo 
anterior (el valor actualizado de z), lo 
reemplaza y agrega c. Si el resultado está fuera 
del círculo, c no está en el conjunto de 
Mandelbrot y si está dentro del círculo, puede 
que pertenezca al conjunto de Mandelbrot. En 
la práctica, se debe poner un límite arbitrario 
(en este caso es 200) sobre el número de veces 
que se repite el cálculo de z = z 2 + c. Si el 
resultado final está en el interior del círculo, 
incluso después de elevar al cuadrado el 
 4 
resultado anterior y de añadir el valor que se 
está probando 200 veces, entonces puede 
concluirse que el número se encuentra dentro 
del Conjunto de Mandelbrot. 
Para conocer los valores que se graficarán, en 
la hoja de cálculo se hace una matriz cuyas 
columnas iniciales contienen el intervalo de 
números reales y cuyas filas iniciales 
representan los números imaginarios 
requeridos para generar este fractal. 
 Así, en cada celda se llama a la función 
Mandelbrot que dependerá del número real y 
del número imaginario correspondiente. La 
gráfica debe ser de tipo superficie-contorno y 
se hace seleccionando cada una de las filas de 
la matriz, y el nombre de la serie 
corresponderá al número imaginario. Como 
las iteraciones se hacen sólo 200 veces, la 
gráfica mostrada no representa con exactitud el 
fractal de Mandelbrot, sin embargo, es una 
aproximación muy cercana a la realidad. 
 
Figura 2. Fractal de Mandelbrot Graficado en Excel 2003. 
 
4. Conclusiones 
 
• El análisis fractal se está aplicando en 
la mayoría de los campos científicos y 
técnicos, y una parte de estas 
aplicaciones caen de lleno en el ámbito 
de la ingeniería ambiental y pueden 
permitir contar a ésta con una nueva 
herramienta para el tratamiento de 
diferentes cuestiones. 
• Un ejemplo como el de la marea negra 
es sólo una pequeña muestra de la 
aplicación de estas recientes técnicas 
de análisis, que pueden utilizarse tanto 
para el estudio directo de la 
fenomenología espacio-temporal, 
como para el manejo matemático de 
técnicas de análisis clásicas. 
• La creciente utilización de la 
geometría fractal hará que en el futuro 
constituya una técnica más a 
disposición de los ingenieros 
químicos. 
 
 
5. Bibliografía 
 
[1] Gestión Ambiental. Número 6. Diciembre 
de 2002. Consultado por última vez el 19 de 
Octubre de 2010. En 
www.ceachile.cl/revista/numero%206.htm. 
 
[2] RUBIANO O. Gustavo N. Fractales para 
profanos; Facultad de Ciencias, Universidad 
Nacional de Colombia, Primera Edición, 2002. 
 
[3] LÓPEZ M. Mahamud. El análisis fractal 
en Ingeniería Ambiental. (Consultado por 
última vez el 19 de Octubre de 2010). En 
pinfante.galeon.com/analifractalamb.pdf