Modelos-fractales-y-multifractales-aplicados-a-sistemas-complejos--mercados-accionarios-y-de-tipo-de-cambio

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Universidad Nacional Autónoma de México 
Programa de Posgrado en Ciencias de la Administración 
 
 
 
 
MODELOS FRACTALES Y MULTIFRACTALES APLICADOS A 
SISTEMAS COMPLEJOS: MERCADOS ACCIONARIOS Y DE TIPO 
DE CAMBIO 
 
 
 
 
T e s i s 
 
Que para optar por el grado de: 
 
Maestra en Finanzas Bursátiles 
 
 
 
 
Presenta: 
Stephanie Rendón de la Torre 
 
 
 
 
 
Tutor: 
Dr. Francisco López Herrera 
División de Investigación FCA UNAM 
 
 
 
México, D. F., marzo de 2014. 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
Tesis Digitales 
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reproducción, edición o modificación, será perseguido y sancionado por el 
respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
i 
 
Índice Página 
 
Agradecimientos..........................................................................................................................ii 
Lista de cuadros.........................................................................................................................iii 
Lista de figuras...........................................................................................................................iv 
Glosario de términos.................................................................................................................viii 
 
1. Introducción......................................................................................................................1 
 
2. Marco teórico....................................................................................................................5 
2.1 Hipótesis del Mercado Eficiente.................................................................................7 
2.2 Hipótesis del Mercado Fractal..................................................................................12 
 
3. Modelos de análisis fractal/multifractal y estudios previos 
 3.1 Coeficiente de Hurst: Análisis de Rango Escalado R/S ...........................................27
 3.1.1 Coeficiente de Hurst: Análisis con Wavelet.................................................30 
 3.2 Análisis espectral.....................................................................................................36 
 3.3 Exponentes de Hölder..............................................................................................40 
 3.4 Modelo estocástico no estacionario de difusión fraccional.......................................45 
 3.5 Exponentes de Lyapunov.........................................................................................47 
 
 4. Análisis fractal y multifractal de mercados cambiarios y accionarios (I) 
4.1 Datos de estudio......................................................................................................58 
4.2 Coeficiente de Hurst: Análisis rango escalado R/S..................................................59 
 4.2.1 Coeficiente de Hurst: Análisis wavelet.......................................................70 
 4.3 Análisis espectral......................................................................................................77 
 4.4 Modelo estocástico no estacionario de difusión fraccional.......................................85 
 
 5. Análisis fractal y multifractal de mercados cambiarios y accionarios (II) 
 5.1 Exponentes de Hölder.............................................................................................92 
 5.2 Exponentes de Lyapunov.....................................................................................121 
 
Conclusiones...........................................................................................................................126 
 
Bibliografía...............................................................................................................................132 
 
Anexos.....................................................................................................................................141 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii 
 
Agradecimientos 
 
 
 
 
 
 
Gracias quiero dar al divino e infinito laberinto de las causas y los efectos. 
 
Agradezco también a mis padres, a la Universidad Nacional Autónoma de México, al Dr. 
Francisco López Herrera por su gran apoyo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
"La grandiosa meta de toda ciencia es abarcar el mayor número de hechos empíricos por deducción lógica a partir del menor 
numero de hipótesis o axiomas"- Einstein 
iii 
 
Lista de cuadros Página 
 
Cuadro 2.1 Diferencias más notables entre HME y HMF……..……………………………….....15 
Cuadro 2.2 Características y tipos de sistemas dinámicos……………………………………….24 
Cuadro 4.1 Tipos de cambio FX/USD………………………….....………………………………...59 
Cuadro 4.2 Índices accionarios………………………………………………………………..……..59 
Cuadro 4.3 Resultados de coeficientes de Hurst (Método R/S) de índices accionario.……...141 
Cuadro 4.4 Resultados de coeficientes de Hurst (Método R/S) de tipo de cambio…….…….141 
Cuadro 4.5 Promedio de las diferencias entre R/S y wavelets……………………….…………..71 
Cuadro 4.6 Coeficientes de Hurst de índices accionarios (método wavelet) 
periodos 4 años................................................................................................................142 
Cuadro 4.7 Coeficientes de Hurst de índices accionarios (método wavelet) 
periodos largos…................................................................................................................….142 
Cuadro 4.8 Evolución de los coeficientes de Hurst (periodos anuales) índices accionarios 
(wavelets)….……………………………………………………………………………………….....143 
Cuadro 4.9 Coeficientes de Hurst (periodos de 4 años) tipo de cambio (wavelet)....………...143 
Cuadro 4.10 Coeficientes de Hurst (periodo 1993-2013) tipo de cambio (wavelets)..…….....144 
Cuadro 4.11 Evolución de los coeficientes de Hurst (periodos anuales) tipos 
de cambio wavelets)................................................................................................................144 
Cuadro 4.12 Valores de Beta de Índices accionarios……………….......................................145 
Cuadro 4.13 Valores de Beta de tipos de cambio………………………..............................…145 
Cuadro 4.14 Comparativo de coeficientes de Hurst Índices accionarios…..........…………….145 
Cuadro 4.15 Comparativo de coeficientes de Hurst de tipos de cambio………......……….....146 
Cuadro 5.1 Exponentes locales de índices accionarios…..…………………………………......118 
Cuadro 5.2 Exponentes puntuales de índices accionarios…..…………………………….…....118 
Cuadro 5.3 Exponentes locales de índices accionarios……..………………………………......118 
Cuadro 5.4 Exponentes puntuales de índices accionarios…………….……………………......119 
Cuadro 5.5 Coincidencias entre exponentes locales y valores altos de exponentes de 
Hurst (índices accionarios)…………………………………………………………………........…119 
Cuadro 5.6 Coincidencias entre exponentes locales y valores altos de exponente de 
Hurst (tipo de cambio)………………………………....………………………………………….…120 
Cuadro 5.7 Parámetros utilizados (Exponentes de Lyapunov 
dominante- índices accionarios......................................................................................……..147 
Cuadro 5.8 Parámetros utilizados (Exponentes de Lyapunov 
dominante-índices accionarios)............................................................ ............................148 
Cuadro5.9 Parámetros utilizados (Exponentes de Lyapunov dominante- tipos de cambio…149 
Cuadro 5.10 Resultados exponentes de Lyapunov sobre índices accionarios……...........….123 
Cuadro 5.11 Resultados exponentes de Lyapunov sobre tipos de cambio.........................…124 
Cuadro 5.12 Exponentes de Lyapunov índices accionarios…………….................................125 
Cuadro 5.13 Exponentes de Lyapunov de tipos de cambio………………….....................….125 
 
 
 
 
 
 
iv 
 
Lista de figuras Página 
 
Figura 2.1 Serie de tiempo del IPC (México) de 1994 a 2013: representación 
discreta, logarítmica y una señal aleatoria............................................................................…9 
Figura 2.2 Aproximación geométrica efectiva a la longitud de una curva simple......................11 
Figura 2.3 Curva o Copo de Koch...........................................................................................12 
Figura 2.4 Construcción del copo o curva…………….........................………………………….12 
Figura 2.5 Modelo de bifurcación de entropía………………………....…………………………...20 
Figura 2.6 Precios de cierres diarios del IPC 2006-2013………………………….………….......21 
Figura 2.7 Sistemas complejos………………………………………..……………………………..25 
Figura 3.1 Ejemplo de la gráfica de un espectro (espectro de densidad de potencia)…...…...39 
Figura 3.2 Envolvente de Hölder en una señal no diferenciable f en un punto x˳…………..….43 
Figura 3.3 Retrato de fase de un ejemplo…….......…………………………………………….. 49 
Figura 3.4 Ejemplo de un atractor de punto fijo……………………….……………………………49 
Figura 3.5 Ejemplo de un atractor de ciclo límite…………………………………..………………50 
Figura 3.6 Ejemplo de un atractor de toro…………………………………….…………………….50 
Figura 3.7 Atractor extraño de Lorenz………………………………….…………………………...51 
Figura 3.8 Cálculo del exponente dominante de Lyapunov……………………………..………..56 
Figura 3.9 Esbozo del algoritmo para estimar el exponente dominante de Lyapunov de una 
serie de tiempo………………………………………………………………………………………...56 
Figura 4.1 Coeficientes de Hurst (Método R/S) de índices accionarios…………………………61 
Figura 4.2 Coeficientes de Hurst (Método R/S) de tipo de cambio………………………………61 
Figura 4.3 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (IPC 1994-2013)……………………………………………………………………………...62 
Figura 4.4 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (MXN/USD 1993-2013)……………………………………………………………………...63 
Figura 4.5 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (JCI: 1983-2013)……………………………………………………………………………...63 
Figura 4.6 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (FTSE: 1984-2013)……………………………….......................………………………....63 
Figura 4.7 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (HSCEI: 1993-2013)……………………………………………………………………..…..64 
Figura 4.8 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (TA25: 1992 2013)…………………………………………………………...……………...64 
Figura 4.9 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (CAC: 1988-2013)………………………………………………………………….………...64 
Figura 4.10 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (DAX: 1970-2013)…………………………………………………………………………....64 
Figura 4.11 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (BOVESPA: 1989-2013)……………………………………………………………………..65 
Figura 4.12 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (NIKKEI: 1970-2013……………………………………………………………………….....65 
Figura 4.13 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (XU100: 1988-2013)…………………………………………….…………………………...65 
Figura 4.14 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (KOSPI: 1980-2013) ……………………………………………………………………65 
v 
 
Figura 4.15 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (SPX: 1928-2013)……………….……………………………………………………………66 
Figura 4.16 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (INDU: 1928-2013)………………………………………………………………….………..66 
Figura 4.17 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (JPY/USD 1993-2013)……………………………………………………………………….66 
Figura 4.18 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (CAD/USD 1993-2013)……………………………………………………………………....66 
Figura 4.19 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (AUD/USD 1993-2013)……………………………………………………………….……...67 
Figura 4.20. Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la 
estructura original (EUR/USD 1993-2013)…….……………………………………..……………..67 
Figura 4.21 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (GBP/USD 1993-2013)…………………………………………………....…………………67 
Figura 4.22 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (RLS/USD 1993-2013)..…………………………………………………………...………...67 
Figura 4.23 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (CNY/USD 1993-2013)………………………………………………………………...…….68 
Figura 4.24 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (RUB/USD 1993-2013)………………………………………………………………….......68 
Figura 4.25 Ejercicio de iteración random para verificar si se mantiene o destruye la estructura 
original (CHF/USD 1993-2013)……………………………………………………………………....68 
Figura 4.26 Coeficientes de Hurst de índices accionarios (wavelet) por periodos de 4 años...72 
Figura 4.27 Coeficientes de Hurst de índices accionarios (wavelet) periodos largos….………72 
Figura 4.28 Evolución de los coeficientes de Hurst índices accionarios (periodos anuales).…73 
Figura 4.29 Coeficientes de Hurst de tipos de cambio (wavelet) por periodos de 4 años…….74 
Figura 4.30 Coeficientes de Hurst de tipos de cambio (wavelet) por periodos largos………....75 
Figura 4.31 Evolución de los coeficientes de Hurst de tipos de cambio (anuales)…….……....75 
Figura 4.32 MXN/USD Densidad espectral de potencia…………......…………………………...77 
Figura 4.33 Betas de los índices accionarios……………………...……………………………….78 
Figura 4.34 Betas de los tipos de cambio………………………...……………………………......78 
Figura 4.35 EUR/USD Densidad espectral de potencia…………………..………………….......78 
Figura 4.36 GBP/USD Densidad espectral de potencia………………..…………………………78 
Figura 4.37 RLS/USD Densidad espectral de potencia…………………..……………………….79 
Figura 4.38 CNY/USD Densidad espectral de potencia…………………..…………...………....79 
Figura 4.39 RUB/USD Densidad espectral de potencia…………………..……………………....79 
Figura 4.40 AUD/USD Densidad espectral de potencia…………………..……………………....79 
Figura 4.41 CAD/USD Densidad espectral de potencia…………………..……………………....80 
Figura 4.42 JPY/USD Densidad espectral de potencia…………………….…………….…….....80 
Figura 4.43 CHF/USD Densidad espectral de potencia…………………….…………................80 
Figura 4.44 JCI- Indonesia - Densidad espectral de potencia…………………………...............80 
Figura 4.45 TA25- Israel - Densidad espectral de potencia…………………….………………..81 
Figura 4.46 KOSPI- Corea del Sur - Densidad espectral de potencia………………………......81 
Figura 4.47 XU100- Turquía - Densidad espectral de potencia…………………….………..…..81 
Figura 4.48 S&P500 - EEUU - Densidad espectral de potencia………………………………….81 
Figura 4.49 FTSE - Inglaterra - Densidad espectral de potencia…………………………..........82 
vi 
 
Figura 4.50 INDU - EEUU - Densidad espectral de potencia……………………..……………...82 
Figura4.51 DAX - Alemania - Densidad espectral de potencia………………….………...…….82 
Figura 4.52 HSCEI - China- Densidad espectral de potencia………………………………........82 
Figura 4.53 IPC - México - Densidad espectral de potencia…………………….…………..……83 
Figura 4.54 BOVESPA - Brasil - Densidad espectral de potencia……………………….….…..83 
Figura 4.55 NIKKEI - Japón - Densidad espectral de potencia…………………………….…....83 
Figura 4.56 CAC- Francia - Densidad espectral de potencia…………………………….……….83 
Figura 4.57 Comparativo de coeficientes de H de índices accionarios………………….………84 
Figura 4.58 Comparativo de coeficientes de H de tipo de cambio………………………….……84 
Figura 4.59 CAC- Francia – Aplicación de HMF con regresión ortogonal…………….…….…..85 
Figura 4.60 HSCEI- China – Aplicación de HMF con regresión ortogonal……………….……..86 
Figura 4.61 FTSE- Inglaterra – Aplicación de HMF con regresión ortogonal……………….…..86 
Figura 4.62 JCI- Indonesia – Aplicación de HMF con regresión ortogonal……………….….....87 
Figura 4.63 TA-25- Israel – Aplicación de HMF con regresión ortogonal…………….…....……87 
Figura 4.64 KOSPI- Corea del Sur – Aplicación de HMF con regresión ortogonal………….…87 
Figura 4.65 XU100- Turquía – Aplicación de HMF con regresión ortogonal…………..…….....87 
Figura 4.66 SPX- EEUU – Aplicación de HMF con regresión ortogonal……………....………..88 
Figura 4.67 INDU- EEUU – Aplicación de HMF con regresión ortogonal………………….……88 
Figura 4.68 IPC- México – Aplicación de HMF con regresión ortogonal……………………......88 
Figura 4.69 NIKKEI- Japón – Aplicación de HMF con regresión ortogonal………….………....88 
Figura 4.70 BOVESPA- Brasil – Aplicación de HMF con regresión ortogonal……....………....89 
Figura 4.71 DAX- Alemania – Aplicación de HMF con regresión ortogonal…..………………...89 
Figura 4.72 MXN/USD – Aplicación de HMF con regresión ortogonal…………..……………...89 
Figura 4.73 EUR/USD – Aplicación de HMF con regresión ortogonal…………..………….…...89 
Figura 4.74 RLS/USD – Aplicación de HMF con regresión ortogonal……………...…………...90 
Figura 4.75 JPY/USD – Aplicación de HMF con regresión ortogonal………………..……...…..90 
Figura 4.76 CNY/USD – Aplicación de HMF con regresión ortogonal………………...………...90 
Figura 4.77 GBP/USD – Aplicación de HMF con regresión ortogonal…………………………..90 
Figura 4.78 AUD/USD – Aplicación de HMF con regresión ortogonal…………………...……...91 
Figura 4.79 RUB/USD – Aplicación de HMF con regresión ortogonal…..……………………....91 
Figura 4.80 CHF/USD – Aplicación de HMF con regresión ortogonal…………..……….……...91 
Figura 4.81 CAD/USD – Aplicación de HMF con regresión ortogonal…………….....……..…..91 
Figura 5.1 USD/MXN por el periodo de 1994-2013, exponentes locales y 
puntuales de Hölder............................................................................................................93 
Figura 5.2 RUB/USD exponentes locales y puntuales de Hölder…….....................…...……..94 
Figura 5.3 Evolución del FX RUB/USD…………...………………………………………………...95 
Figura 5.4 Índice del IPC 1992-2013, exponentes locales y puntuales de Hölder………..…...96 
Figura 5.5 Índice de: XU100 exponentes locales y puntuales de Holder……………..……......97 
Figura 5.6 Índice de: TA-25 exponentes locales y puntuales de Hölder……………..…….......98 
Figura 5.7 Índice de: SPX exponentes locales y puntuales de Hölder………………..…...…...99 
Figura 5.8 Índice de INDU exponentes locales y puntuales de Hölder……………………......100 
Figura 5.9 Índice de BOVESPA exponentes locales y puntuales de Hölder…………………..101 
Figura 5.10 Índice de FTSE exponentes locales y puntuales de Hölder………………………102 
Figura 5.11 Índice de JCI exponentes locales y puntuales de Hölder…………………….…...103 
Figura 5.12 Índice de DAX exponentes locales y puntuales de Hölder……………….……….104 
Figura 5.13 Índice de HSCEI exponentes locales y puntuales de Hölder……………………..105 
vii 
 
Figura 5.14 Índice de NIKKEI exponentes locales y puntuales de Hölder………………....…106 
Figura 5.15 Índice de CAC exponentes locales y puntuales de Hölder…………………....….107 
Figura 5.16 Índice de KOSPI exponentes locales y puntuales de Hölder……………...…..….108 
Figura 5.17 Índice de FTSE exponentes locales y puntuales de Hölder…………………...…109 
Figura 5.18 CNY/USD exponentes locales y puntuales de Hölder…………….…………….…110 
Figura 5.19 RLS/USD exponentes locales y puntuales de Hölder……………………….…….111 
Figura 5.20 GBP/USD exponentes locales y puntuales de Hölder……………………………..112 
Figura 5.21 EUR/USD exponentes locales y puntuales de Hölder……………………………..113 
Figura 5.22 CHF/USD exponentes locales y puntuales de Hölder…………………….……….114 
Figura 5.23 JPY/USD exponentes locales y puntuales de Hölder…………………………...…115 
Figura 5.24 AUD/USD exponentes locales y puntuales de Hölder……………………………..116 
Figura 5.25 CAD/USD exponentes locales y puntuales de Hölder………………………...…..117 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
viii 
 
Glosario de términos 
 
Atractor: En un sistema disipativo, es un conjunto limitado que no está contenido en ningún 
conjunto más grande, y del cual no emana ninguna órbita. 
Atractor extraño: Un atractor con estructura fractal. 
Autosimilaridad: Característica de algunos conjuntos u objetos en los que una porción o 
pedazo, al ser magnificado, se identifica como idéntica al objeto o conjunto original. 
Bifuración: En una familia de sistemas dinámicos, es un cambio abrupto en la conducta a 
largo plazo de un sistema, cuando el valor de una constante cambia de debajo de un valor 
crítico, a un punto superior a ese valor. 
Caos: Sistema dinámico no lineal, determinístico que puede producir resultados que parezcan 
aleatorios. Un sistema caótico debe tener una dimensión fractal y dependencia sensible a las 
condiciones iniciales. 
Caminata aleatoria: Movimiento browniano, donde el cambio previo en el valor de una 
variable no está relacionado a los cambios futuros o pasados. 
CAPM: Un modelo de equilibrio basado en el precio de los activos desarrollado por Sharpe, 
Lintner y Mossin. La versión más simple establece que los precios de los activos se dan de 
acuerdo a su relación con el portafolio del mercado de todos los activos riesgosos, 
determinados con la beta de cada uno. 
Dimensión fractal: Un número que describe cuantitativamente cómo un objeto llena su 
espacio. Los fractales a veces son discontinuos, por eso tienen dimensiones fractales. 
Dimensión topológica: (ejemplo: dimensión de recubrimiento o iterativa) La dimensión 
topológica tiene que ver con la conectividad de los puntos del objeto de medida. Describe si el 
objeto es una arista, un plano, un volumen, un hipervolumen, etc. Su valor es siempre entero. 
Dimensión de inmersión: Se refiere al espacio que contiene al objeto de estudio. Puede ser 
de nuevo, entera o fraccionaria. 
Dimensión de capacidad: Para poder medir la dimensión de autosimilaridad se necesita que 
el objeto sea perfectamente autosimilar. Se puede relajar esta condición y utilizar el mismo 
método de recubrimiento para medir la dimensión de capacidad. Se recubrirá, 
independientemente de la figura geométrica en estudio, con "esferas" de radio r. Se determina 
el mínimo número N(r) de bolas de tamaño r que se necesita para recubrir completamente al 
conjunto de puntos que forma la figura. 
Distribución fractal: Función de densidad de probabilidad estadísticamente autosimilar. En 
diferentes incrementos de tiempo, las características estadísticas permanecen igual. 
Escalamiento: Cambios en las características de un objeto; estos cambios se relacionan con 
los cambios en el tamaño de la medida usada. 
Equilibrio: El estado estable de un sistema. 
Esfera: Se refiere a una esfera bidimensional la cual es cualquier objeto homeomórfico al 
conjunto de puntos en un espacio tridimensional a una distancia fija y desde un punto dado. El 
conjunto de puntos de una distancia fija desde un punto en un espacio euclídeo de una 
dimensión mayor. 
Espacio euclídeo: Para cada entero positivo n, el espacio euclídeo de una dimensión n es el 
espacio-n con distancia definida por el teorema de Pitágoras. 
Exponentes de Hölder: Son los puntualesy los locales; estos son medidores de la 
regularidad de una señal (de una serie de tiempo) 
ix 
 
Exponente o coeficiente de Hurst: Una medida de la persistencia H=0.5 indica movimiento 
browniano, es decir sin memoria, o caminata aleatoria H > 0.50 indica persistencia, memoria y 
H<0.50 indica antipersistencia o reversión a la media. 
Exponentes de Lyapunov: Los logaritmos de los número de Lyapunov. Los números de 
Lyapunov son factores promedios de largo plazo por los cuales las longitudes de los ejes de 
una elipse infinitesimal se multiplican en el espacio fase, cuando la elipse es reemplazada por 
sus imágenes sucesivas. 
Fractal: Objeto en el que las partes están relacionadas de alguna forma con el todo; los 
componentes individuales son autosimilares. Un ejemplo es el sistema de ramas de un árbol; 
cada rama y cada sucesión de subramas más pequeñas es diferente, pero todas son 
cualitativamente similares a la estructura del árbol como un todo. Conjunto de puntos cuya 
dimensión no es un número entero. 
Gaussiano: Un sistema cuyas probabilidades son descritas por una distribución normal or 
distribución de campana. 
Geometría euclidiana: Geometría plana basada en el ideal de las figuras geométricas 
perfectas y sin rugosidades o irregularidades. 
Hipótesis del mercado eficiente: Teoría que establece en su forma semifuerte que los 
precios reflejan la información pública y por lo tanto es imposible que un participante tome 
ventaja sobre otro repetidamente y obtenga siempre ingresos. Esta hipótesis tiene 3 formas: 
débil, fuerte y semifuerte. 
Hipótesis del mercado fractal: Una hipótesis de mercado que establece que el mercado 
consiste en diversos inversionistas con diferentes horizontes de inversión, la información 
relevante para cada inversionista es diferente. En tanto el mercado tenga una estructura 
fractal, sin escala de tiempo determinada, el mercado permanece estable. Cuando el 
horizonte de inversión se vuelve uniforme, el mercado se vuele inestable porque cada 
inversionista opera basado en el mismo conjunto de información. 
Memoria de largo plazo: Tendencia a las series de tiempo a ser persistentes y a tener ciclos 
y patrones iterativos. 
Modelo: Un sistema diseñado para poseer algunas características de otro, generalmente un 
sistema más complicado. 
Movimiento browniano geométrico: Movimiento aleatorio que siguen las partículas de un 
líquido. Lo descubrió Brown y lo retomó Einstein. En este movimiento se basan los modelos y 
teorías financieras modernas. Dimensión fractal (p.ej. dimensión de autosimilaridad, de 
capacidad o de Hausdorff): se refieren a cómo el objeto geométrico llena el espacio en el que 
está inmerso. Las dimensiones fractales pueden ser enteras o fraccionarias. 
Movimiento browniano fraccionario: Una caminata aleatoria conducida; es distinta del 
movimiento browniano, porque las probabilidades están cargadas hacia una dirección u otra. 
(Distribución de Levy). 
Multifractal: Un fractal es un objeto en el que las partes están relacionadas de alguna forma 
con el todo; los componentes individuales son autosimilares. En un multifractal tiene más de 
una tasa de escalamiento en el mismo objeto, algunas partes disminuyen más rápido que 
otras. 
Órbita: La representación en un espacio de fase de un secuencia cronológica discreta o 
continua de estados. 
Parámetro: Una constante cuyo valor puede diferir de un miembro de una familia de sistemas 
dinámicos, a otro. 
x 
 
Sistema aleatorio: Un sistema en el cual la progresión de los estados subsecuentes no está 
determinada por ninguna ley; un sistema que no es determinístico. 
Sistema complejo: Es un sistema compuesto de muchos elementos, los cuales interactúan 
entre sí. Mientras más elementos y/o más interacciones entre ellos haya será más complejo. 
Sistema determinístico: Un sistema en el cual estados posteriores evolucionan y se derivan 
de los anteriores de acuerdo a una ley fija. 
Sistema disipativo: Un sistema dinámico en el cual la imagen de cualquier conjunto de 
puntos de volumen finito en un espacio de fase es un conjunto de menor volumen. 
Sistema dinámico: Un sistema determinístico. Un sistema con cierto grado de aleatoriedad, 
dado que la conducta cualitativa no cambia sustancialmente si la aleatoriedad fuera removida. 
Sistema lineal: Un sistema en el que las alteraciones en un estado inicial resultan en 
alteraciones proporcionales en cualquier estado subsecuente. 
Volatilidad: La desviación estándar del cambio de los precios de activos. 
Wavelet: Función especial que representa frecuencia y tiempo, simultáneamente. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
xi 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
1. Introducción 
 
"Mandelbrot like Prime Minister Churchill before him, promised us not utopia, but blood, sweat, toil and tears. If he is right, almost all our 
statistical tools are obsolete ..., past econometric work is meaningless... It would seem desirable not only to have more precise (and 
unambiguous) empirical evidence in favor of Mandelbrot's hypothesis as it stands, but also to have some tests with greater power against 
alternatives that are less destructive of what we know"- P.H. Cootner (1964) 
 
Los modelos cuantitativos de los mercados financieros empezaron en el año 1900 con la tesis 
de Bachelier y sus trabajos posteriores. A partir de los años cincuenta principia la aplicación 
sistemática de la matemática económica financiera con los trabajos de Markowitz; en 1952 
publicó un artículo donde sentaba las bases de la teoría de selección de portafolios mediante 
un modelo optimizador. Su investigación en general, se centró en determinar qué tipos de 
activos financieros eran los que se deberían considerar en las carteras y al mismo tiempo 
determinar qué porcentaje invertir en cada uno de ellos. Luego, en 1958 con el teorema de la 
separación de Tobin se planteó nuevamente la construcción de portafolios de activos óptimos, 
pero con un enfoque matemático mejorado. 
 
Sharpe se dio cuenta que el modelo de Markowitz utiliza demasiados parámetros y que resulta 
muy complejo a medida que se incrementa el número de activos en la cartera y publicó su 
modelo de mercado. Sharpe encontró una relación de sensibilidad entre los datos 
macroeconómicos y algunos activos, simplificando así el modelo de Markowitz. La diferencia 
fundamental entre el enfoque de Sharpe y el de Markowitz, es que Markowitz se centró en 
estudiar la relación entre la rentabilidad y la volatilidad, y Sharpe entre la rentabilidad y la beta 
(Brun, Moreno 2008). Tanto Sharpe, como Lintner y Treynor, por separado lograron 
desarrollar el modelo del CAPM: Capital Asset Price Management. El modelo CAPM hace 
grandes aportaciones a la teoría de valuación de activos porque establece una relación lineal 
entre el riesgo de un activo y su rendimiento; también demuestra que la varianza en sí misma, 
no es relevante para encontrar el retorno esperado de un activo, y que la importancia radica 
en el grado de covarianza que tiene un activo respecto de una medida o un índice estándar de 
riesgo (la beta). 
 
Para 1970, Paul Samuelson propagó la idea del movimiento browniano geométrico para 
modelar precios sujetos a la incertidumbre. Merton y Scholes complementaron el marco 
conceptual que permitiría analizar los mercados financieros. Ellos plantearon el principio de 
equilibrio conocido como la hipótesis de ausencia de oportunidades de arbitraje. Durante 
finales de los años setenta Stephen Ross estableció el concepto de arbitraje con su teoría 
APT, o Arbitrage Price Theory. Esta teoría es una herramienta muy útil en la valuación de 
activos financieros y refuerza la teoría del mercado de capitales. Según Ross, existen 
diferentes carteras para cada participante del mercado real y dichas carteras tienen diferentes 
fuentes de riesgo. Este autor propone que los rendimientos de los activos tienen una relación 
lineal con las sensibilidades de varios factoresque la diversificación no elimina (por ejemplo: 
el riesgo sistemático). En este sentido, su teoría propone que los precios de los activos sufren 
ajustes, en tanto los inversionistas o participantes reestructuran sus portafolios al buscar 
oportunidades de arbitraje, y van agotando las posibilidades de obtener utilidades del arbitraje 
hasta llegar a un punto de equilibrio (Chen, Roll y Ross, 1986). 
 
El sistema financiero global ha atravesado numerosas crisis a partir de los años noventa: 
México en 1995, Asia (Tailandia, Corea e Indonesia) en 1997-1998, Rusia y Brasil en 1998, 
Estados Unidos y el mundo en 2008, entre otras crisis. Las reglas de Basilea III aún 
establecen que los métodos de valuación y de gestión de riesgos habituales se basen en 
linealidad y movimiento browniano: el VaR. Para aplicar este método se estima un nivel de 
confianza, el cual generalmente es del 95% (esto significa que se desea estructurar una 
 
 
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inversión de forma que exista una probabilidad del 95% de que las pérdidas estén por debajo 
de la línea roja y sólo exista 5% de probabilidades de que la superen), y se asume una 
distribución normal1. Finalmente, se obtiene un determinado porcentaje de volatilidad y un 5% 
de probabilidad de que la cartera en cuestión caiga más de tanto por ciento. Existe un 
problema serio de que la distribución normal lleve a subestimar la volatilidad y en caso de que 
el mercado pierda exageradamente su valor, y como en muchos casos, los cambios en los 
precios de los activos son escalantes, entonces las pérdidas podrían ser subestimadas y por 
lo tanto resultarían catastróficas. Las catástrofes financieras del pasado han mostrado que las 
pérdidas de una institución financiera se propagan como un virus a las demás. En 
determinado momento, las instituciones podrían no poder solventar sus obligaciones con las 
demás instituciones, así el perjuicio podría ser mayor que la pérdida del propio capital. 
Posiblemente aún estemos lejos de poder predecir una baja o una alza en los mercados en 
una fecha específica basados en datos históricos, pero el análisis financiero fractal basado en 
la econofísica, bien podría aportar un nuevo panorama más acertado en el pronóstico de la 
probabilidad de los movimientos de los mercados y podría servir para preparar y avisar sobre 
los cambios futuros, previniendo así a los participantes del sistema financiero en momentos de 
alerta; y esto, no es otra cosa que coadyuvar a la construcción de un mercado financiero 
global mejor. 
 
Cabe mencionar, que existen recientes líneas de investigación que abordan la econofísica 
para explicar el comportamiento de los fenómenos financieros, tales como las que utilizan 
metodología fractal y multifractal. El presente trabajo se ubica dentro de un modelo y contexto 
complejos descritos por los sistemas dinámicos no lineales, no paramétricos y no 
estacionarios, como lo son las series de tiempo financieras. En este trabajo se utilizan 
diversas técnicas fractales y multifractales con aplicaciones en finanzas bursátiles y 
administración de riesgos pero que incluso son útiles en pronósticos y diseño de portafolios. 
 
Consciente de la importancia que reviste hoy el tema del análisis de los mercados financieros, 
de cómo pronosticarlos, evaluarlos, medir sus riesgos y entender su comportamiento volátil, el 
presente estudio tiene repercusión práctica en el sentido de que aportará información valiosa 
que servirá de material para evaluar diferentes y nuevas metodologías no lineales aplicables a 
sistemas complejos (como lo son las series de tiempo financieras), para promover la 
generación de ideas y desarrollo de nuevas técnicas tendientes a describir las características 
de los mercados financieros, y a desarrollar herramientas nuevas que coadyuven en la gestión 
de riesgos. 
 
Así, la hipótesis es: Mostrar que los métodos y técnicas fractales y multifractales planteados 
en este trabajo pueden ayudar a lograr un mayor y mejor entendimiento de los mercados 
porque pueden ser de utilidad como herramientas adicionales en la gestión de riesgos. 
 
Existe una controversia sobre si los procesos que describen los datos financieros son 
realmente escalantes o simplemente representan un acto estilístico o artefacto de los mismos 
datos. A lo largo del presente trabajo, no se pretende crear ningún nuevo modelo, sino 
recabar información de evidencia empírica, analizar ciertos datos financieros y reportar los 
resultados obtenidos a la luz de las técnicas propuestas. 
 
En cuanto al planteamiento de la problemática, es importante mencionar lo siguiente: Se 
puede decir que un paradigma es un modelo mental, que es una forma de ver las cosas desde 
 
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 VaR: Value at Risk o Valor en Riesgo 
 
 
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una perspectiva global. Durante los últimos cincuenta años la perspectiva de las finanzas ha 
sido dominada por un paradigma lineal. Mandelbrot (1963) propuso un modelo fractal para 
describir una cierta clase de objetos que exhiben un comportamiento complejo. Como principio 
básico, este autor propuso analizar un objeto en diferentes escalas y diferentes resoluciones, 
por ejemplo: medir horas, minutos, años y segundos dentro del mismo estudio, lo cual no era 
convencional en los estudios de series de tiempo comunes y corrientes. De esta forma 
encontró que los resultados eran comparables e interrelacionados y también encontró que el 
tamaño de la media de los valores absolutos de los cambios en los precios seguían una ley de 
potencia fractal (Müller, Dacorogna, Olsen, Pictet, Schwarz, Morgenneg, 1995); también 
encontró propiedades fractales en distintas series de tiempo financieras. El éxito del modelo 
fractal dio a luz la hipótesis de que el mercado tiene una estructura «fractal» y esto significa, 
entre otras cosas, que los diferentes participantes del mercado tienen diferentes horizontes, y 
no uno sólo como plantea la Hipótesis del Mercado Eficiente. 
 
La investigación en los últimos treinta años ha dado diversos avances en cuanto a técnicas no 
lineales con aplicación en análisis de mercados. En 1997 y en 2000 Mantegna y Stanley 
encontraron que las distribuciones financieras se asemejan con las distribuciones estables de 
Lévy (Mantegna y Stanley 1997, 2000) y que las colas de las distribuciones de los precios de 
las acciones en general describen un comportamiento que incluye leyes de potencia, es decir, 
encontraron evidencia de conducta de escalamiento en sus investigaciones. Adicionalmente, 
otros autores han logrado desarrollar modelos multifractales para describir y pronosticar 
tendencias y características de los mercados: Mandelbrot, Fisher y Calvet (1997); Peters 
(1991) y Hilborn (1994). En las últimas décadas, las teorías del caos han tenido un dramático 
impacto en el modelaje y el entendimiento de muchas disciplinas. Las siguientes 
características son algunas entre muchas otras que indican que los mercados en general son 
sistemas dinámicos no lineales y complejos, que no muestran distribuciones gaussianas y que 
no son estacionarias: (Peters, 1991): 
 
1. Correlaciones en el largo plazo y existencia de patrones: efecto de memoria de largo 
plazo en los mercados, es decir, no hay supuesto de independencia que es el que 
señala que se utilice la regla de la raíz cuadrada de tiempo para escalar la volatilidad a 
diferentes periodos de tiempo (movimiento browniano). 
 
2. Puntos críticos o erráticos muy frecuentes en los mercados bajo ciertas condiciones y 
en ciertos momentos. 
 
3. Series de tiempo financieras que en pequeños incrementos de tiempo, se verán de la 
misma forma y tendrán la misma estructura estadística (estructura fractal). 
 
4. Entre más adelante en el tiempo se analicen las series de tiempo, los pronósticos serán 
menos confiables (dependencia sensible a las condiciones iniciales). 
 
5. Existen grandes cambios en los precios y son mucho más frecuentes de lo que 
establece la teoría gaussiana, es decir, las observacionesque se presentan son de 
naturaleza leptocúrtica y las distribuciones de los cambios de precios no son normales.
 
La HME, o Hipótesis de los Mercados Eficientes muestra un mundo lleno de agentes que son 
adversos al riesgo y racionales -racionales en el sentido que enuncia la hipótesis de Hayek 
(1931)-, en el que los precios de los activos reflejan toda la información disponible, y que ya 
fue descontada en el precio de los activos por los agentes racionales. Así, el mercado seguirá 
 
 
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los preceptos de un modelo lineal en el cual no queda memoria del pasado y cuyas 
características justifican el uso de la estadística y la econometría tanto en su estudio como en 
su análisis. 
 
Es muy raro encontrar distribuciones normales en los mercados financieros (e incluso en 
fenómenos naturales), más allá de lo que señale la ley de los grandes números. Tampoco se 
puede asegurar que estas distribuciones sean independientes puesto que no toda la 
información disponible de hoy se incorpora a los precios de los activos. No sólo se puede 
encontrar ruido e información asimétrica, sino que también se puede ver que la información 
actual tiene efectos claros en el futuro y no es descontada simplemente en un período de 
tiempo y desechada u olvidada en los períodos futuros. 
 
La volatilidad de los mercados financieros tampoco se ajusta a la teoría de los mercados 
eficientes. La volatilidad dista mucho de ser constante y evidencia una alta inestabilidad en el 
tiempo, por lo que la regla de la raíz cuadrada del tiempo2 para escalar las volatilidades a 
distintos horizontes temporales ya no sería válida debido a que los retornos de los activos no 
se distribuyen normalmente. 
 
En lo que respecta a los inversionistas racionales, y más allá de todas las críticas a la 
racionalidad de los mismos, podría ser que no en todos los casos se verifique la relación 
riesgo-rendimiento enunciada por la teoría actual que debería conducir al equilibrio del 
mercado. Un ejemplo de esto sería el “equity premium puzzle” o enigma de la prima 
accionaria, que se basa en la observación de que, a largo plazo, los retornos de las acciones 
por sobre los bonos (siendo los primeros mucho más riesgosos que los segundos por su 
mayor volatilidad) son en repetidas ocasiones mayores a lo explicado por la teoría tradicional 
(particularmente en lo que se refiere al modelo Capital Asset Pricing Model –CAPM- de 
Treynor, Sharpe y Lintner y la Teoría Moderna del Portafolio desarrollada por Harry 
Markowitz).3 
 
Un camino alternativo que representa una posibilidad al hacer frente a las problemáticas 
comentadas líneas arriba, es el de utilizar las herramientas alternativas sugeridas por la 
econofísica y su campo de investigación, los cuales permiten trabajar en el marco de un 
modelo más general del cual la Hipótesis de los Mercados Eficientes es un caso específico. 
Mediante el uso de modelos fractales y otras herramientas de la econofísica se pueden 
describir formas y procesos de alta complejidad por medio de simples reglas. La interacción 
dinámica del sistema dominado por reglas simples dará origen a su complejidad, y en esa 
complejidad las partes guardarán una relación con el todo, es por esto que se denominan 
sistemas autosimilares. 
 
De acuerdo con el punto de vista académico de que los mercados son eficientes, sólo la 
información negativa relevante podría causar una crisis financiera (Samuelson 1964 y Fama 
1970, 1991); sin embargo, hasta ahora el paradigma lineal de la estructura de los mercados 
podría no explicar con exactitud muchas de las caídas frecuentes en los mercados financieros, 
y precisamente esta es una discusión académica muy interesante. Los mercados han 
mostrado ser similares a los sistemas dinámicos complejos, así la idea de investigar y analizar 
a los mercados durante las épocas de crisis financieras está basada en la evidencia científica 
 
2
 La regla de la raíz cuadrada del tiempo consiste en multiplicar la desviación estándar de una serie de tiempo con periodicidad d por la raíz cuadrada de n. 
Donde n= número de periodos originales al cual se quiere escalar. Ejemplo, si σd es la desviación estándar calculada en base a una serie de tiempo con 
periodicidad d; entonces escalar la volatilidad a un periodo dn resulta de multiplicar σd por la raíz cuadrada de n. 
 
3 Cabe mencionar que esto puede implicar la existencia de factores de riesgo adicionales. 
 
 
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en física existente de que ciertos sistemas dinámicos complejos revelan sus propiedades 
mejor bajo condiciones de estrés que en circunstancias normales (Johansen, Sornette y 
Ledoit, 2000). Es por esto que se necesita investigar y probar nuevos modelos que puedan 
describir mejor el comportamiento dinámico de los mercados financieros, y la presente 
investigación se centra en la evaluación de dichos nuevos modelos aplicados en índices 
accionarios y tipos de cambio de diferentes mercados financieros importantes del mundo. 
 
El objetivo general de esta tesis es la aplicación y evaluación de diferentes métodos y técnicas 
de análisis fractal y multifractal como lo son el análisis del coeficiente de Hurst mediante R/S y 
wavelets, análisis espectral, exponentes de Hölder, Lyapunov y el modelo estocástico no 
estacionario de difusión fraccional, en las series de tiempo de mercados accionarios y de tipo 
de cambio, con la finalidad de encontrar información empírica que ayude a describir y 
entender mejor las características de los mercados y, finalmente, que ésta información 
empírica sea útil en la creación futura de nuevos modelos financieros para administración de 
riesgos. En este sentido, los objetivos específicos que se desprenden son los de: Evaluar la 
efectividad, alcance y utilidad de los modelos propuestos como herramientas financieras 
descriptivas y de gestión de riesgo; evaluar las diferentes aplicaciones (además de la gestión 
de riegos) que tendrían los resultados obtenidos y proponer las diferentes alternativas de 
investigación derivadas del presente trabajo, con la finalidad de aportar conocimiento al área 
de la administración de riesgos. Cabe destacar que no se profundiza en otro tipo de 
mercados, como los de dinero o derivados. Esto sería motivo de una nueva investigación. 
 
Asimismo, las preguntas de investigación propuestas son las siguientes: ¿De qué forma los 
resultados obtenidos en esta investigación pueden coadyuvar en la gestión y evaluación de 
riesgos financieros, y de qué forma los modelos propuestos pueden vincularse con la 
realidad? ¿Por qué la econofísica ofrece una alternativa viable de estudio sobre el 
comportamiento de los mercados financieros? 
 
La estructura capitular es la siguiente: El primer capítulo incluye una introducción, justificación, 
planteamiento del problema y presenta la metodología a seguir, la cual describe a grandes 
rasgos el enfoque metodológico empleado. En el segundo capítulo se establece el marco 
teórico de esta investigación; primero se explica la Hipótesis del Mercado Eficiente y luego la 
Hipótesis del Mercado Fractal, así como la base teórica en la que descansa cada una de ellas. 
El tercer capítulo comprende la explicación fundamentada de los modelos y técnicas fractales 
y multifractales propuestos, junto con la revisión de la literatura correspondiente. A 
continuación, el cuarto y quinto capítulos muestran los análisis obtenidos de todos los modelos 
propuestos sobre los datos de estudio. El cuarto capítulo muestra los resultados del 
coeficiente de Hurst, del análisis espectral y del modelo estocástico no estacionario de 
difusión fraccional. El quinto capítulo muestra los resultados de los análisis de los exponentes 
de Hölder y Lyapunov. Estos dos últimos capítulos mencionados, se dividieron de esta manera 
para que existiera un balance con respecto a la longitud de los capítulos anteriores. 
Finalmente, se presentan las conclusiones. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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2. Marco teórico 
“Una causa muypequeña, que se nos 
escapa, determina un efecto considerable 
que no podemos prever, y entonces 
decimos que dicho efecto se debe al azar”- Henri Poincaré 
 
Tal y como se mencionó en la introducción, junto con los trabajos de Bachelier (1900) se dio 
forma a los primeros modelos financieros cuantitativos; fue a partir de los años cincuentas que 
los modelos y análisis de mercados financieros han tomado importancia en la investigación de 
las matemáticas financieras y de la economía. E. Majorana (1942) señaló que existe una fuerte 
analogía entre la física y la estadística de las ciencias sociales; sin embargo, es hasta 1995 
cuando Stanley emplea el término formal de econofísica. 
 
A partir de los años noventas muchos físicos han empezado a utilizar las herramientas propias 
de su campo de conocimiento para el análisis y modelos de mercados financieros. La 
econofísica emplea herramientas numéricas de física computacional para analizar o elaborar 
modelos de información empírica económica y financiera; propiamente hablando, es el campo 
de investigación que aplica teorías, modelos, métodos y aproximaciones utilizados en las 
ciencias físicas en las disciplinas económicas. A manera de reflexión, se puede decir que la 
física (siendo ella misma una ciencia experimental) se pregunta por lo que va a suceder, es 
decir, es fundamentalmente predictiva y se interesa por el futuro, ¿cuál va ser la posición de x 
partícula en el futuro?- es una pregunta muy ambiciosa, y esto no es una abstracción mía, es 
precisamente uno de los planteamientos de la dinámica. En tanto, los analistas financieros se 
preguntan ¿dónde va a estar el precio de la acción x en el futuro? 
 
Los principales objetivos de la econofísica son contribuir a un mejor entendimiento de los 
modelos y mercados financieros y promover el uso de conceptos y conocimientos de la física 
en el campo multidisciplinario de la administración de riesgos. Los mercados financieros 
exhiben ciertas propiedades que caracterizan a los sistemas complejos. Los mercados son 
sistemas abiertos en los que sus sub unidades interactúan de forma no lineal en presencia de 
estímulos, o retroalimentación. Dado el gran acervo de información que existe, gracias a los 
sistemas de cómputo y bases de datos, es posible desarrollar modelos, probar su eficacia y 
poder predictivo utilizando información disponible (Mantegna et al., 2000). Dentro de las 
diversas y más importantes áreas de investigación sobre la física que aplican el uso de 
sistemas económicos y financieros están: La investigación sobre la completa caracterización 
estadística de los procesos estocásticos en los cambios de precios de un activo financiero; por 
ejemplo, la forma de la distribución de los cambios de precios, la memoria temporal, la finitud 
de los segundos momentos de la variación de precios, etcétera. A continuación se mencionan 
algunos autores relativos a esta área de investigación: Bouchaud y Potters (2000), Arneodo, 
Muzy y Sornette (1998), Müller et als. (1995), entre otros. Otra área tiene que ver con el 
desarrollo del modelo teórico que sea capaz de abarcar todos los aspectos de los mercados 
financieros reales. Diversos modelos han sido propuestos y algunas de las más importantes 
características de las dinámicas estocásticas del precio de una acción se reproducen mediante 
estos modelos, tales como, la forma leptocúrtica no gaussiana de las diferencias entre los 
precios. Trabajos relacionados con esta área son los de: Mandelbrot (1997), Levy y Solomon 
(1995), Maslov y Zhan (1999), entre otros. Existe otra área que tiene que ver con los precios 
racionales de instrumentos derivados. Algunos autores se han enfocado en aspectos de 
selección de portafolios y su optimización dinámica. Otros estudios de investigación consideran 
analogías y diferencias entre la dinámica de precios en un mercado financiero y los procesos 
físicos de turbulencia. Finalmente, otro tema muy común en econofísica es la correlación de las 
series de tiempo financieras y la detección de correlaciones que reconsidera algunos aspectos 
del análisis técnico. Se ha estudiado también la distribución del ingreso de las compañías y la 
 
 
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estadística de las propiedades de las tasas de crecimiento; entre estas investigaciones se 
encuentran las de Mantegna y Stanley (2000). 
 
Johansen, Sornette y Ledoit (2000) mostraron que bajo la Hipótesis de los Mercados Eficientes, 
otras teorías y métodos convencionales estándar, una crisis bursátil como la ocurrida en 
octubre de 1987 o la del año 2008, tendría una probabilidad de ocurrencia de 1 entre 1035 
veces y que una pérdida del 5% en el índice Dow Jones debería tener una frecuencia de 
ocurrencia de una vez cada mil años, en la teoría. Pero en la historia y en la realidad estas 
estadísticas no se cumplen, y es en este punto donde la econofísica intenta no mejorar la teoría 
económica o econométrica, sino reemplazar por completo los modelos y métodos estándares 
para obtener resultados completamente nuevos. 
 
2.1 Hipótesis de los Mercados Eficientes 
 
La Hipótesis de los Mercados Eficientes (HME) intenta explicar la estructura estadística de los 
mercados. Louis Bachelier (1900) fue el primero en proponer en su disertación de tesis de 
doctorado, que los mercados siguen una caminata aleatoria que puede ser descrita por el 
cálculo de la probabilidad estándar, es decir, que los precios van hacia arriba o hacia abajo con 
igual probabilidad de ocurrencia. Después se encontró que la variación de los precios se puede 
medir y que el 68% de los cambios son pequeñas alzas y bajas dentro de una desviación 
estándar de la media; se determinó que el 95% de los cambios deben estar dentro de dos 
desviaciones estándar y el 98% dentro de tres. Si se grafican estos comportamientos de 
precios se obtiene una gráfica con forma de campana en la que los eventos extremos son 
escasos y la mayoría de los eventos se concentra en las partes centrales. La distribución en 
forma de campana fue llamada normal o gaussiana, lo que implicaba que cualquier otro tipo de 
distribución era anómala, y esta aportación se le atribuye al matemático alemán Carl Friedrich 
Gauss. 
 
Las ideas cruciales del trabajo de Bachelier fueron: 
 
1) Que los retornos de los mercados son independientes y que, 
 
2) Son variables aleatorias idénticamente distribuidas. No obstante, hay autores que opinan 
que Bachelier dio muy pocas pruebas empíricas para dar estas afirmaciones, algunos de 
esos autores son Peters, 1991; 1994, así como Mandelbrot y Hudson, 2006. 
 
El movimiento browniano habría sido suficiente para dejar a Bachelier en una fama perpetua, 
pero él fue más allá. Es bien sabido que fue él quien originó la noción de la eficiencia en los 
mercados y, para expresarla matemáticamente, creó la noción genérica de la martingala. El 
siguiente es un segundo descubrimiento de Bachelier: fue pionero en descubrir el modelo de la 
caminata aleatoria gaussiana y en señalar su mayor debilidad pues notó que el modelo del 
movimiento browniano diverge de la evidencia empírica, al menos en dos formas: Primero, la 
varianza muestral de L(t,T) varía en el tiempo. Observó que si la muestra de histogramas está 
relacionada con la mezcla de diferentes muestras o poblaciones, sus colas podrían ser mucho 
más gordas que las del caso gaussiano. Segundo, Bachelier notó que un determinado 
porcentaje no razonable de la mezcla de distribuciones gaussianas podrían contar para los 
tamaños de los cambios en los precios más grandes, y ser tratados como "contaminantes" o 
"valores atípicos" (Mandelbrot, 1997, p.109). 
 
 
 
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A partir de lo anterior, los matemáticos notaron que los mercados de precios accionarios eran 
también series de tiempo y que en tanto los mercados cumplieran con una serie de 
restricciones, éstos podían ser modelados por el cálculo probabilístico. Esta aproximación tenía 
la ventaja de que ofrecía una gran variedad de herramientas para la investigación en la 
medición dela varianza de las betas de diferentes activos, y así poder clasificar portafolios de 
inversión en base a la probabilidad del riesgo, y es precisamente Eugene Fama (ganador del 
premio Nobel de Economía) en su tesis doctoral quien desarrolla la HME. Una de las 
restricciones necesarias para que se cumpliera dicha hipótesis, era que las observaciones 
tenían que ser independientes o al menos no tener memoria de corto plazo; es decir, el cambio 
en los precios no podría ser inferido de precios anteriores. Lo anterior podría ocurrir sólo 
cuando el cambio en los precios fuera una caminata aleatoria y el mejor estimado del precio 
futuro fuera el precio actual y a este proceso se le llamó "martingala". Precisamente la caminata 
aleatoria fue un ataque de frente contra el análisis técnico, y la HME en su forma semifuerte 
estableció que los precios actuales reflejan toda la información pública como la de los precios 
pasados, los reportes publicados y las noticias macroeconómicas, entonces los precios 
actuales ya reflejan toda esa información fundamental porque los inversionistas tienen igual 
acceso a ella, y al ser racionales, en su saber colectivo valúan apropiadamente el activo. De 
esto se desprende que los inversionistas no pueden obtener ventajas del mercado 
individualmente e indefinidamente, porque el mercado valúa eficientemente los activos a un 
precio que refleja toda la información (Peters, 1994). 
 
Fue hasta 1965 cuando Paul Samuelson formuló explícitamente y mostró matemáticamente 
que los precios fluctuaban de forma aleatoria. Utilizando la hipótesis de la conducta racional y la 
eficiencia del mercado, pudo demostrar cómo Yt+1, el valor esperado del precio de un cierto 
activo en un tiempo t +1, está relacionado con los valores previos de los precios Y0, Y1,….Yt a 
través de la relación: 
 
E {Yt+1 │ Y0, Y1… Yt} = Yt . (1) 
 
Los procesos estocásticos que cumplen con la condición anterior, son llamados martingalas; lo 
anterior constituye la hipótesis débil de la HME y supone que los cambios en los precios no son 
predecibles a partir de la información histórica de una serie de tiempo de precios (Ingersoll, 
1987). 
 
Uno de los modelos más simples para la variación de precios está basado en la suma de 
números aleatorios independientes. Esta es la base del movimiento browniano (el primer 
movimiento de caminata aleatoria observado por el botánico escocés Robert Brown, quien en 
1827 notó que los granos de polen suspendidos en el agua se movían constantemente), en el 
cual se considera que los números aleatorios forman una distribución normal. Los modelos 
fallan al intentar pronosticar comportamientos extremos en series de tiempo financieras por la 
premisa intrínseca de que las series de tiempo conforman una distribución normal. Los modelos 
de caminata aleatoria en los cuales está basada la HME han sido la base del análisis de series 
de tiempo financieras a partir del trabajo de Bachelier. La ecuación de Black-Scholes 
desarrollada en los años setentas para la valuación de opciones representa uno de los primeros 
modelos financieros deterministas y está basada en estadística estacionaria gaussiana, es 
decir en la HME. 
 
La HME está basada en el principio de que el precio actual de una acción refleja por completo 
la información relevante y disponible, y que la información nueva se incorpora y ajusta 
inmediatamente a dicho precio. En un mercado eficiente, la creación de modelos para los 
 
 
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precios de los activos está directamente relacionada con la llegada de información nueva; esta 
información debe ser independiente y aleatoria, de otra forma esta información podría ser 
anticipada y ya no sería nueva. La llegada de información nueva puede mandar "shocks" al 
mercado (dependiendo del significado de la información). La HME asume que hay una única y 
racional forma de usar la información disponible y que todos los agentes poseen este 
conocimiento. Aun más, la HME asume que hay una reacción en cadena y que ésta ocurre 
instantáneamente. Cabe mencionar que, todas las anteriores aseveraciones son cuestionables 
en cualquiera y en todos los niveles de un sistema complejo financiero. 
 
La HME implica la existencia de independencia en los incrementos de precios y está 
caracterizada típicamente por una Función de Densidad Probabilística Gaussiana (FDP) 
normal, y se asume que la mayoría de las fluctuaciones de los precios son un agregado de 
otros más pequeños, así las sumas de las contribuciones independientes aleatorias tienen una 
FDP. Ahora bien, se sabe por estudios previos de diversos autores que las series de tiempo 
financieras no siguen caminatas aleatorias. Un ejemplo de esto es la siguiente Figura 2.1 que 
muestra una señal financiera discreta u(t) obtenida de la serie de tiempo del índice accionario 
del IPC (Índice de Precios y Cotizaciones del mercado bursátil de México). La segunda gráfica 
es la misma serie de tiempo representada en escala logarítmica d log u(t)/dt y la tercer gráfica 
representa una señal aleatoria de distribución gaussiana. 
 
Figura 2.1 Serie de tiempo del IPC (México) de 1994 a 2013: representación discreta, logarítmica y debajo 
una señal aleatoria 
 
 
 
*Fuente de elaboración propia 
 
En teoría, la escala logarítmica elimina el crecimiento exponencial de largo plazo característico 
en una señal y obtiene una señal en las diferencias de precios diarios. Se puede observar 
claramente en la Figura 2.1 anterior la diferencia existente entre las características de una 
señal financiera real y una señal aleatoria gaussiana. La simple comparación indica una falla 
 
 
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en la independencia estadística que reside en la HME. Algunas anomalías de la HME incluyen 
fallas en las que los incrementos son de distribución gaussiana e independientes; 
comúnmente se presenta agrupamiento, aparente no estacionariedad y se presentan fallas al 
explicar las fuertes caídas en los mercados que llevan a las recesiones, y en algunos casos 
extremos, a la depresión financiera. Todas estas limitantes han llevado a la investigación de 
una nueva clase de métodos aplicables a las series de tiempo: modelos de mercado fractales 
y multifractales. 
 
El primero en reportar las propiedades fractales de la información financiera fue Ralph Elliott 
en 1938. Este autor observó que los segmentos de series de tiempo financieras de diferentes 
tamaños pueden ser escalados de tal forma que son estadísticamente iguales al producir las 
llamadas ondas de Elliott. Desde entonces distintos modelos auto afines de variaciones de 
precios fueron desarrollados, algunos basados en sistemas de funciones de iteraciones y así 
estos modelos pueden capturar muchas propiedades de una serie de tiempo. 
 
La naturaleza estocástica de las series de tiempo financieras es bien conocida a partir de los 
valores de los índices de mercados accionarios como el INDU (Dow Jones) o el S&P500 
(Standard & Poors 500) en Estados Unidos, el FTSE (Financial Times Stock Exchange) en 
Inglaterra, el NIKKEI de Japón, etcétera. El objetivo principal de los inversionistas es obtener 
información que pueda darles confianza de que el futuro inmediato de los mercados 
accionarios está basado en patrones del pasado. Uno de los principales componentes de este 
objetivo está basado en la observación de que hay "olas dentro de las olas" y "eventos dentro 
de los eventos" que aparentemente permean las señales financieras al ser estudiadas con el 
suficiente detalle e imaginación. Son precisamente, estos patrones repetitivos los que ocupan 
tanto al inversionista como al modelador de sistemas. 
 
El modelo de Black & Scholes está cimentado sobre la premisa de que el precio de una acción 
sigue un movimiento browniano geométrico en la ausencia de arbitraje. De hecho, este 
modelo es válido bajo las siguientes condiciones (Mantegna y Stanley,2000, p. 118): 1) El 
precio de la acción sigue un proceso de Ito. 2) La operatividad de una determinada acción es 
continua. 3) No hay oportunidades de arbitraje. 4) Vender los activos es posible en cualquier 
momento. 5) No hay costos de transacción. 6) La tasa de interés del mercado r es constante. 
7) No existen dividendos entre t = 0 y t =T. 
 
La ecuación diferencial para un proceso de Ito es: 
 
dY = a(Y,t )dt + b(Y,t )dW (2) 
 
Este modelo es un excelente marco teórico para el entendimiento de un mercado financiero 
ideal, pero sólo provee una descripción aproximada de los mercados financieros reales. En 
particular, las condiciones mencionadas arriba no se verifican por completo en los mercados 
reales. Ejemplo: La hipótesis gaussiana de los cambios en el logaritmo del precio de una 
acción es incorrecta, especialmente cuando los cambios están en la frecuencia, la continuidad 
en el precio puede romperse cuando llega información económica relevante y la volatilidad de 
una acción o índice no es constante y describe un proceso aleatorio. 
 
Con respecto a la geometría euclidiana, se sabe muy poco sobre su autor, Euclides, quien 
vivió alrededor del siglo III AC, antes que Arquímedes y después que Aristóteles. Euclides fue 
profesor de la Universidad de Alejandría e iniciador de toda una escuela matemática que 
perduraría por muchos siglos. El libro Los Elementos es la obra mayor de Euclides y el libro 
 
 
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más publicado de matemáticas en toda la historia (Densmore, 2002). La geometría euclidiana, 
describe la percepción clásica del espacio físico que conocemos; bajo esta perspectiva esta 
geometría es una propiedad aparentemente observada del mundo físico, y no una necesidad 
lógica. El hecho de que la geometría euclidiana represente convenientemente la estructura del 
espacio físico conocido hace pensar que se trata de una necesidad lógica. Existen otras 
geometrías no euclidianas por ejemplo, la que describe Newton en su teoría de la relatividad, 
es decir la geometría de Riemann, o la geometría hiperbólica, que en muchos aspectos es 
similar a la euclidiana. 
 
Para Euclides, la dimensión está en la base de las definiciones con que empieza su libro 
sobre la geometría del plano "Libro Primero de Euclides", donde menciona que un punto es lo 
que no tiene partes, una línea es una longitud sin anchura, los extremos de una línea son 
puntos, una superficie es lo que sólo tiene longitud y anchura, y los extremos de una 
superficie son líneas. También establece que un sólido es lo que tiene longitud, anchura y 
profundidad, y un extremo de un sólido es una superficie (Mandelbrot, 1970). Una forma 
estandarizada en la geometría euclidiana de medir la longitud de una curva, es aproximándola 
por medio de segmentos de línea recta. Se añaden las longitudes de cada segmento de línea 
de manera que entre menor longitud tengan los segmentos, esta forma debe de dar una mejor 
aproximación a la longitud de la curva que se mide, ver Figura 2.2: 
 
Figura 2.2 Aproximación geométrica efectiva a la longitud de una curva simple 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fuente: Elaboración propia 
 
Al repetir el proceso anterior, y tomar un valor límite para la longitud de los segmentos de las 
líneas, la sumatoria de las longitudes converge en la longitud actual de la curva. En la Figura 
2.2 anterior, se aprecia que entre más segmentos de menor distancia se añadan a la curva, la 
aproximación se vuelve más indistinguible de la curva original. Este procedimiento se puede 
aplicar para encontrar la circunferencia de un círculo cualquiera, sin embargo, al aplicar esta 
técnica para encontrar la longitud de una figura como la de la curva de Koch (mostrada en la 
Figura 2.3, donde se aprecia que algunas curvas oscilan tanto que de forma progresiva 
forman una sucesión de puntos, es decir, una línea) se obtiene un resultado infinito, es decir, 
estas figuras tienen una geometría distinta a la geometría euclidiana y se dice que pertenecen 
al campo de la geometría fractal. 
 
Bajo esta perspectiva, la línea posee una dimensión, el área posee dos dimensiones y sin 
embargo, ninguna de estas dos dimensiones es apropiada para medir la curva de Koch. Así, 
la curva resulta tener más de una dimensión pero es menor a dos dimensiones; la anterior 
noción constituye la dimensión fractal. 
 
Dicho de otra forma: Para medir correctamente el copo o curva de Koch, se toma una regla 
cuya amplitud sea un tercio de la del objeto, y se obtendrá la línea triangular del diagrama 
inferior, de la Figura 2.4 (paso 1). 
 
 
 
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Figura 2.3 Curva o Copo de Koch 
 
Fuente: Imagen tomada de la siguiente dirección electrónica: http://enciclopedia.us.es/index.php/Archivo:Copo_de_nieve_de_Koch_2.png y 
 
Es decir que, la regla del paso 0 cabe 4 veces en la curva de Koch (paso 1). Si luego se 
acorta la regla a un tercio, la longitud estimada será mayor (será exactamente 4 tercios 
mayor), porque ahora la regla puede introducirse en más cavidades de la curva. Si se continúa 
el proceso de acortar la regla y medir, en cada paso la longitud medida se multiplica por 4/3, y 
se puede seguir cortando la regla infinitamente, de manera que la dimensión fractal resultante 
es: log 4/log 3 = 1.26; es decir, una dimensión que está entre 1 y 2 dimensiones, una 
dimensión fractal. 
 
Figura 2.4 Construcción del copo o curva 
 
Fuente: Obtenido del sitio de internet de la Universidad de Yale: http://classes.yale.edu/fractals/ 
 
2.2. Hipótesis del Mercado Fractal 
 
La definición de un objeto fractal es: un objeto cuyas partes evocan el todo, sólo que a menor 
escala (Mandelbrot y Hudson, 2006). Un objeto multifractal tiene más de una razón escalante 
en el mismo objeto, es decir, unas partes del objeto se reducen (o aumentan) rápidamente y 
http://classes.yale.edu/fractals/
 
 
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otras de forma más lenta (o más rápida). Otra forma de decirlo es que un fractal es como un 
objeto en color blanco y negro; los puntos que pertenecen al objeto se muestran en color 
negro y el resto se deja en blanco. Un objeto multifractal corresponde al siguiente nivel, o 
sean, objetos que incluyen tonos grises y dado que el mundo no es blanco o negro, sino que 
hay tonos medios como el gris, los multifractales se acercan mucho más al funcionamiento 
real de muchos aspectos de la naturaleza. Los multifractales pueden describir el agrupamiento 
de las variaciones de precios de mercados financieros en zonas de gran convolución y en 
áreas de evolución lenta. 
 
Las primeras aplicaciones de los modelos multifractales las aportaron las tesis doctorales de 
Lauren Calvet y Adlai Fisher, profesores de las universidades de Harvard y de British 
Columbia, respectivamente, basadas en las investigaciones de Mandelbrot (Mandelbrot, 
Fisher y Calvet, 1997). Estos autores se centraron en probar el modelo en el tipo de cambio 
dólar/marco alemán, en los precios del algodón y de acciones, y obtuvieron que los precios 
resultaron ser de naturaleza escalante, tal como lo establece el modelo. 
 
La volatilidad se distribuye irregularmente en episodios de agitación intercalada con periodos 
tranquilos. Al aumentar la resolución, dichos autores obtuvieron que los episodios de agitación 
se subdividían a su vez en episodios de agitación y tranquilidad, es decir, obtuvieron una 
pauta multifractal; encontraron que el escalamiento se extendía desde lapsos de dos horas 
hasta de 180 días, u otros rangos de tiempo. 
 
El modelo multifractal de Mandelbrot y Hudson, (2004) toma como base las invariancias de los 
mercados; es un modelo económico, flexible y mimetiza el objeto real (p. 231) Bajo la lupa de 
esta perspectiva, los multifractales son la contrapartida natural de las herramientas clásicas 
matemáticas de la función generatriz (la secuencia de los momentos) y el análisis espectral 
donde los parámetros son intrínsecos. Las aplicaciones de estasherramientas son vastas, por 
ejemplo, la creación de modelos fieles para replicar las conductas del mercado. 
 
El desarrollo de modelos matemáticos para simular procesos estocásticos ha sido muy 
importante en el análisis financiero. Un buen modelo estocástico es aquel que acertadamente 
pronostica o estima los valores estadísticos que se observan en la realidad, y que está basado 
en definiciones racionales. El modelo no sólo debe describir los datos, sino también ayudar a 
explicar y entender el sistema. 
 
Hay dos criterios principales que son utilizados para definir las características de un proceso 
estocástico: 
 
1) La función característica, por ejemplo, la transformada de Fourier de dicha función. 
 
2) La función de densidad espectral de potencia, que es la que describe la forma del 
espectro de una señal. En este sentido, la función de densidad espectral de potencia es 
una medida de las correlaciones. Ambas funciones son dos de las más importantes 
propiedades de cualquier campo estocástico y hay varios términos para referirse a 
estas propiedades, por ejemplo, el término de "media cero con ruido gaussiano blanco” 
se refiere al proceso estocástico caracterizado por la función de densidad espectral de 
potencia que es constante sobre todas las frecuencias y que tiene una función de 
densidad espectral de potencia con características gaussianas con media de cero. 
 
 
 
14 
 
Por otro lado, los procesos estocásticos pueden ser caracterizados al usar transformadas 
distintas a las de Fourier, (de las cuales se obtiene la función de densidad espectral de 
potencia). La función de densidad espectral de potencia sirve para varios propósitos en la 
teoría de sistemas estocásticos. De cualquier forma, en general, no hay una conexión general 
entre la función de densidad de potencia y la función de densidad espectral de potencia en 
términos de predicciones teóricas y experimentales. Ambas son propiedades fundamentales 
pero no relacionadas de un campo estocástico; sin embargo hay ciertos procesos estadísticos 
y relaciones entre ambas funciones que pueden ser encontradas, por ejemplo, entre los 
procesos fractales no gaussianos y los gaussianos (Blackedge, 2008). 
 
Hay dos aproximaciones convencionales en la simulación de un proceso estocástico. 
Teóricamente, la primera está basada en la predicción de la función característica FDP o 
Función de Densidad de Potencia. Se diseña un pseudo generador de números aleatorios que 
dará como resultado un proceso estocástico discreto, que es característico de la FDP. 
 
La segunda aproximación, es considerando la FDEP o Función de Densidad Espectral de 
Potencia de un campo, el cual igual que la FDP, se puede derivar teóricamente. El campo 
estocástico se simula al filtrar el ruido blanco. Un modelo estocástico bueno es aquel que 
pronostica adecuadamente tanto la FDP como la FDEP en los datos. El modelo debe tomar en 
cuenta que en general, los procesos estocásticos son no estacionarios y precisamente la HMF 
o Hipótesis del Mercado Fractal toma en cuenta todas estas características. 
 
La HMF propone lo siguiente: 
 
1) El mercado es estable cuando consiste en inversionistas que cubren un gran número 
de horizontes de inversión, lo que asegura que existe liquidez suficiente para continuar 
operando. 
 
2) La información está más relacionada al sentimiento del mercado y los factores técnicos 
en el corto plazo que en el largo plazo; en tanto los horizontes de inversión se 
incrementen y la información fundamental de largo plazo predomine. 
 
3) Si ocurre un evento que ponga en duda la validez de la información fundamental, los 
inversionistas de largo plazo retirarán completamente sus inversiones o bien, invertirán 
estratégicamente en el corto plazo (por ejemplo, cuando el horizonte de inversión del 
mercado disminuye a un nivel uniforme en conjunto, el mercado se vuelve inestable). 
 
4) Los precios reflejan una combinación de las valuaciones técnicas de corto plazo y del 
horizonte de inversión fundamental de largo plazo, y es cuando las fluctuaciones de 
corto plazo se vuelven más volátiles que las de largo plazo; es aquí cuando es más 
probable que se dé el "efecto manada"4. 
 
5) Si una acción no se relaciona con el ciclo económico, entonces no existe el patrón del 
largo plazo y la información técnica de corto plazo es la que predominará. 
 
A diferencia de la HME, la HMF establece que la información está valuada de acuerdo al 
horizonte de inversión del inversionista, como los diferentes horizontes de inversión valúan la 
información de forma diferente, la difusión de la información también resulta dispareja. Así 
 
4
 El "efecto manada" ocurre en condiciones de alta incertidumbre en los mercados, precisamente cuando existe el riesgo de que una buena cantidad de analistas, 
economistas e inversionistas se comporten como una "manada" y conduzcan el comportamiento en los mercados, provocando sobrerreacciones y periodos de 
alta volatilidad. 
 
 
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también, a diferencia de muchos sistemas complejos físicos, los agentes de la economía y tal 
vez hasta cierto punto la economía misma, tienen un ingrediente extra que tiene un alto nivel 
de complejidad: la conciencia. 
 
La palabra fractal se deriva del latín fractum, que significa fracturado. Este término se refiere a 
una forma geométrica que puede dividirse o fraccionarse en más partes, cada una de las 
cuales evoca la totalidad del objeto a una escala más pequeña. Las ramas de los árboles, las 
bifurcaciones de un ramo de brócoli, los ramales de un río, los pulmones, las nubes, la forma 
de un rayo, los copos de nieve, entre otros, son algunos fractales naturales. La geometría 
fractal es la geometría de lo irregular ya que renuncia a los planos, círculos perfectos y líneas 
lisas de la geometría euclidiana, para así describir a la naturaleza. La geometría fractal se 
refiere a la matemática de los fractales y es una herramienta de análisis y síntesis que 
reconoce, cuantifica y manipula patrones repetitivos. Las siguientes, son las características 
principales de los patrones fractales (Hayek, 2013): Los patrones pueden tomar formas 
diversas, concretas (como la forma de un helecho) o abstractas (como la forma de una 
probabilidad). También pueden ser escalados hacia arriba o hacia abajo y manipulados de 
formas diversas. 
 
El siguiente Cuadro 2.1 muestra las características y diferencias más notables entre la 
Hipótesis del Mercado Eficiente (HME) y la Hipótesis del Mercado Fractal (HMF): 
 
Cuadro 2.1: Diferencias más notables entre HME y HMF 
Hipótesis del Mercado Eficiente Hipótesis del Mercado Fractal 
Estadística gaussiana. Retornos independientes 
normalmente distribuidos. 
Estadística no gaussiana. Los cambios en los 
precios no están distribuidos de forma normal. 
Pueden caer más rápido de lo que se elevan. 
(Distribución L-estable). 
Movimiento browniano: 0.50 o Raíz cuadrada. Movimiento fraccionario: Ley de potencia. 
Procesos estacionarios. Procesos no estacionarios. 
No hay correlaciones históricas. Hay correlaciones históricas. 
No hay memoria. Eventos pasados no 
influencian el presente o el futuro. 
Existe memoria (los eventos están 
interconectados). Los inversionistas están 
influenciados por lo ocurrido. Sus expectativas 
están basadas en experiencias anteriores. 
No se repiten (o muy raramente) los patrones a 
ninguna escala. 
Se repiten patrones en todas las escalas de 
tiempo (minutos, días, años). 
Continuidades estables en todas las escalas. Se presentan discontinuidades en cualquier 
escala. (Por ej. Vuelos de Lévy o eventos tipo 
cisnes negros). 
Toda la información se refleja en los precios. Cada individuo interpreta la información de 
diferentes formas y en distintos momentos. 
Los inversionistas son adversos al riesgo, y 
son racionales. 
Los inversionistas pueden no actuar de forma 
racional, y pueden buscar riesgo cuando hay 
peligro de perder valor. (“efecto