Los_Sistemas_De_Calculo_Simbolico_SCS_en

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LOS SISTEMAS DE CÁLCULO SIMBÓLICO (SCS) EN LA
DOCENCIA DE LA INGENIERÍA MECÁNICA. APLICACIÓN A LA
RESISTENCIA DE MATERIALES
José Mª García; Antolín Lorenzana; Jesús Magdaleno;
Estrella Requejo; Juan M. Rico; Luís A. Recio.
Departamento de Resistencia de Materiales. Escuela Universitaria
Politécnica de Valladolid
teran@uva.es
1. RESUMEN
En este trabajo se exponen las posibilidades de los sistemas de cálculo
simbólico (SCS) para la resolución de procesos y problemas ingenieriles,
dentro del entorno de la docencia universitaria en Ingeniería Mecánica.
Un sistema de cálculo simbólico es un conjunto de herramientas informáticas
que desarrollan conceptos matemáticos sin tener que sustituir numéricamente
las variables, permitiendo realizar las operaciones de forma simbólica. Estas
herramientas, en general, tienen una gran capacidad de análisis y
representación gráfica, lo que permite despreocuparse de los desarrollos
matemáticos para centrarse en los resultados y en su interpretación.
Se analizan tanto la potencia y flexibilidad del sistema como sus límites y
dificultades. Se indican las estrategias utilizadas para la implantación de este
tipo de procesos mediante cursos y seminarios que faciliten la formación, y su
aplicación en la docencia de las asignaturas mediante prácticas de simulación.
Como sistema de cálculo simbólico se utiliza el entorno Maple, ya que contiene
una amplia variedad de operaciones matemáticas como análisis numérico,
álgebra simbólica y posibilidades gráficas, además de una visualización
matemática interactiva mediante interface de usuario, utilidades de procesador
tanto de gráficos como de textos, y un lenguaje de programación de alto nivel.
Para fomentar su uso se plantean una serie de acciones basadas en la
realización de prácticas, resueltas mediante simulación matemática utilizando
el entorno de cálculo simbólico, que sirvan de base para posteriores problemas
que el alumno ha de resolver.
Mediante el uso de seminarios y cursos para el aprendizaje, y planteando
problemas para desarrollar en las prácticas de las asignaturas, se consigue la
introducción de este tipo de métodos como potente herramienta de análisis
ingenieril.
2. INTRODUCCIÓN
Los nuevos planes de estudios han provocado una serie de cambios
sustanciales en la estrategia de enseñanza seguida por el profesorado. Estos
han conducido entre otras cosas a una reducción considerable de las horas
lectivas y a la utilización de métodos modernos de enseñanza. Estas dos
características repercuten en la docencia de los estudios universitarios en
general, pero en el caso de los estudios técnicos su influencia es más acusada.
En este trabajo se va a tratar como abordar la adaptación de la docencia a
estos dos hechos en una enseñanza técnica como es la Ingeniería Mecánica.
Antes de la disponibilidad de ordenadores, y salvo para modelos de análisis
muy sencillos, la única forma de predecir el comportamiento de un sistema
ingenieril consistía en la experimentación directa o la construcción de
prototipos; pero con la aparición del ordenador como herramienta de cálculo
potente y eficaz se pudieron retomar y resolver modelos lógico-matemáticos
postulados décadas atrás.
Dentro de las posibilidades que la informática permite, se han desarrollado
distintos programas de simulación con los que se consigue una alta eficiencia
en el análisis del comportamiento del sistema a estudiar. Por lo tanto, el primer
paso es seleccionar el programa más adecuado para los fines requeridos;
proceso ya conocido y del que se hace mención en distintas ponencias de
innovación educativa5,7,8.
En el campo de la ingeniería, y más concretamente en la mecánica, distintos
programas comerciales permiten la obtención de resultados de forma fácil y
espectacular. Sin embargo todos ellos en general adolecen de una deficiencia
importante. Es muy complejo (y en algunos casos imposible) poder llegar hasta
el núcleo del modelo lógico-matemático para realizar cambios sobre él; y en
caso de conseguirlo, su modificación es muy complicada.
Es por ello por lo que, desde el punto de vista docente, se puede llegar a
transmitir al alumno la idea de que los modelos de comportamiento teóricos son
rígidos e inamovibles, e incluso algunos pueden considerar que no es
necesario su conocimiento.
Frente a este tipo de software de carácter cerrado, existen los denominados
sistemas de cálculo simbólico (SCS) que permiten la manipulación del modelo
lógico-matemático en todas sus características: desde modificaciones
superficiales mediante la variación de cualquier parámetro del análisis, a
modificaciones profundas de su filosofía, como puede ser utilización de
distintos procesos lógicos o matemáticos, o cambio radical de hipótesis de
partida para adaptarlo a otro tipo de estudio.
Como se ha comentado, un sistema de cálculo simbólico (SCS) es un conjunto
de herramientas informáticas que permiten realizar distintos procesos lógicos y
matemáticos de forma automática, ahorrando gran cantidad de tiempo y
esfuerzo, y facilitando su uso al no ser necesario conocer exhaustivamente los
procesos matemáticos utilizados. Los SCS tratan entidades matemáticas como
si fueran funciones con variables, de forma que no es necesario sustituirlas por
magnitudes numéricas, sino que el proceso realiza los cálculos de forma
simbólica. Dentro de los distintos SCS existentes en el mercado se va ha hacer
mención al programa Maple 8.001 (2002).
Este es un entorno de resolución de problemas desarrollado desde 1980 y
comercializado en 1983 por el Grupo de Cálculo Simbólico de la Universidad de
Waterloo (Ontario, Canadá). Es destacable comentar que su nombre proviene
de "el placer de las matemáticas" (en inglés MAthematical PLEasure). Contiene
 
1 "Maple y Maple 8.00 son marcas comerciales de la empresa Waterloo Maple Inc."
una amplia variedad de operaciones matemáticas como análisis numérico,
álgebra simbólica, ecuaciones diferenciales, cálculo vectorial, geometría,
estadística, matemáticas discretas, funciones especiales y gráficos
matemáticos, con más de 3.000 comandos y múltiples paquetes de usuario.
A partir de este software es posible elaborar procesos completamente abiertos
que se adapten fácilmente al modelo de simulación, dentro del campo de
conocimiento en el que se quiera utilizar.
3. OBJETIVOS
Los objetivos que se pretenden de la aplicación de los SCS en la docencia son:
- Mejorar el aprendizaje facilitando los procesos matemáticos
- Reforzar la componente práctica de la enseñanza sin desligarla de la teoría
y adaptando ambas al proceso de análisis utilizado.
- Fomentar en el alumno la aplicación de sus conocimientos, acercándole a
una herramienta de cálculo moderna y potente.
4. METODOLOGÍA
El SCS se utilizó en el Departamento de Resistencia de Materiales, Estructuras
e Ingeniería Civil de la Escuela Universitaria Politécnica de Valladolid, para la
realización de las prácticas correspondientes a la asignatura troncal Elasticidad
y Resistencia de Materiales II que se imparte en el segundo cuatrimestre del
segundo curso de la titulación de Ingeniero Técnico Industrial Mecánico. Los
cinco créditos y medio asignado a la asignatura se dividen en tres teóricos y
dos y medio prácticos. Dentro de los créditos prácticos, una parte de ellos se
utilizan en el desarrollo de prácticas de laboratorio. Para su realización el
Departamento cuenta con un laboratorio de informático en el que se pueden
desarrollar modelos de simulación.
Aparecieron entonces las dificultades anteriormente aludidas de modificación
de modelo y adecuación a los objetivos de la asignatura cuando se utilizaron
programas comerciales. Por ello se tomó la decisión de utilizar un entorno de
programación que posibilitase la manipulación de los modelos necesarios en la
docencia. Esto se consiguió con el uso de sistemas de cálculo simbólico (SCS).
Existen dos opciones metodológicas para realizar las prácticas con SCS6:
- El profesor proporciona al alumno el modelode simulación ya desarrollado.
Tiene la ventaja de que el alumno dedica su tiempo a resolver los ejercicios,
pero el inconveniente de que se pierde el contacto con el modelo teórico.
- El alumno desarrolla el modelo. El inconveniente en este caso es que se
consume mucho tiempo en el aprendizaje y en la puesta a punto del
modelo, problemas no relacionados con los objetivos de la asignatura.
Debido al escaso tiempo asignado a la docencia se eligió para el desarrollo de
las prácticas el primer método y para evitar el inconveniente asociado, se pide
al alumno la resolución manual del problema.
Con esto se consiguen los siguientes objetivos:
- El alumno no pierde el contacto con el modelo teórico utilizado.
- El modelo de simulación se adapta a la docencia al ser el propio profesor el
que lo genera.
- Al alumno no se le exige el conocimiento del SCS, sino de la asignatura.
Para llevar a cabo dicha opción se han de desarrollar los siguientes pasos:
- Programación del comportamiento del modelo, las condiciones de contorno,
salidas gráficas, determinación de valores, etc.
- Realización de una guía de utilización básica.
- Planificación de prácticas para que los alumnos hagan uso del simulador.
- Finalmente, para aquellos alumnos interesados en profundizar en el
aprendizaje del SCS se desarrollan cursos y seminarios.
Debido al elevado número de alumnos de la asignatura (la matrícula en el
curso 2002/03 superó los 230) la práctica se lleva a cabo en grupos de
cuarenta alumnos divididos en dos por ordenador. Se realizó en una sesión de
dos horas de duración, en la primera de las cuales el profesor orienta a los
alumnos respecto de los procesos y análisis que han de llevar a cabo y de su
relación con los conocimientos teóricos. La segunda hora es de trabajo de cada
grupo, en la que los alumnos desarrollan el problema que les corresponda.
La obtención de resultados con el ordenador se ha planteado
intencionadamente de forma indirecta, por lo que es necesario utilizar lógica
ingenieril con búsqueda de la solución mediante un proceso de ensayo-error.
Esto fomenta la actitud participativa y un deseo de aprendizaje, ya que si no se
tienen los conocimientos mínimos, no se podrá realizar la práctica.
Ésta no acaba con la obtención de los resultados utilizando la simulación del
SCS, sino que se le pide el desarrollo de los mismos de forma manual
mediante los procedimientos aprendidos en teoría, con lo que el alumno ha de
esforzarse para vencer las dificultades planteadas utilizando los conocimientos
impartidos en la asignatura. Para fomentar el interés por parte del alumno, se
valora su realización correcta con un 10% de la calificación global de la
asignatura.
Finalmente se realiza también una encuesta al alumnado para evaluar su
opinión sobre la mejora producida en la calidad de la docencia con el desarrollo
de este proceso.
5. APLICACIÓN DEL SCS A LA RESISTENCIA DE MATERIALES
El cálculo simbólico se basa en reglas simples semejantes a las de los cálculos
manuales1,2, con lo que el usuario se despreocupa de los procedimientos
matemáticos y puede centrarse en el análisis de las dificultades.
Se van a indicar los puntos más importantes que se desarrollan en la práctica,
basados en principios fundamentales de Mecánica y Elasticidad y Resistencia
de Materiales3,4, sin entrar en otros temas como son entornos gráficos,
procesos lógicos y almacenamiento y organización de la información.
En la práctica se estudia la geometría de la sección de una viga, su
comportamiento bajo un estado de cargas y vínculos, y las tensiones que se
producen en una sección arbitraria. Un ejemplo de esto se verá posteriormente.
Para su determinación se calculan inicialmente los momentos estáticos, área y
momentos de inercia de la sección, considerada de pequeño espesor:
∫∫∫
∫∫∫
===
===
dlexyIdlexIdleyI
dleAdlexmdleym
xy
2
y
2
x
yx
Expresiones que programadas con el SCS son:
>mx||ind := int (y*e2, s||ind = 0..long[ind]);
my||ind := int (x*e2, s||ind = 0..long[ind]);
A||ind := int (e2, s||ind = 0..long[ind]);
Ix||ind := int (y^2*e2, s||ind = 0..long[ind]);
Iy||ind := int (x^2*e2, s||ind = 0..long[ind]);
Ixy||ind := int (x*y*e2, s||ind = 0..long[ind]);
donde:
int - comando de integración.
|| - comando de concatenación.
ind - variable asociada a cada ramal de la sección.
long - longitud de cada ramal.
s - variable de integración.
e2 - espesor de cada ramal.
x, y - coordenadas cartesianas definidas en función de la variable s.
Una vez obtenidos, se determina el centro de gravedad, el tensor de inercia y
los momentos y direcciones principales de inercia. Estos se desarrollan con el
SCS mediante
>TI := evalf(array([[Ix, -Ixy], [-Ixy, Iy]]));
evalf (eigenvals (TI));
evalf (eigenvects (TI));
donde:
TI - tensor de inercia.
evalf - comando de evaluación de funciones.
array - comando para la generación de matrices.
eigenvals - comando de determinación de autovalores.
eigenvects - comando de determinación de autovectores.
De la misma forma se deben ir especificando todo los procesos necesarios.
Así, por ejemplo, para el cálculo de las tensiones hay que realizar los
procedimientos clásicos de Resistencia de Materiales (ver referencia 3 y 4).
Todo el estudio del comportamiento de la viga parte de la ecuación diferencial
aproximada de la línea elástica
( )
( )xEI
xM
dx
yd
2
2
=≈ρ
El momento flector (M) se obtiene a partir de la simulación de los distintos
estados de carga mediante funciones de discontinuidad3, que se dividen en
funciones de singularidad para fuerzas y momentos puntuales
( )



=∞±
≠
=−=
ax cuando 
ax cuando 0
axxF
n
n
y funciones de Macaulay aplicadas para los caso de fuerzas repartidas.
( )
( )


>−
≤
=−=
ax cuando ax
ax cuando 0
axxF
n
n
n
En su programación se utilizan la delta de Dirac y la función de Heavisille,
respectivamente
> mom := sum ('m[i,1]*Dirac(1, x - m[i,2])',i = 1..momentos):
punt := sum ('p[i,1]*Dirac(1, x - p[i,2])',i = 1..puntuales):
rep := sum ('(r[i,1] + (r[i,2] - r[i,1])/(r[i,4] - r[i,3])*(x - r[i,3]))*Heaviside(x - r[i,3]) -
(r[i,1] + (r[i,2] - r[i,1])/(r[i,4] - r[i,3])*(x - r[i,3]))*Heaviside(x -r[i,4])',i=1..repartidas):
donde:
mom, punt, rep - funciones de cargas debidas al momento, cargas
puntuales y repartidas.
m[i,j], p[i,j], r[i,j] - magnitudes y posiciones de los momentos y cargas.
i - variable de carga
momentos, puntuales, - número de momentos, cargas puntuales y repartidas.
repartidas
Determinada la función de cargas, se utilizan las relaciones entre estado de
cargas (q(x)), esfuerzo cortante (V(x)) y momento flector (M(x)) de una viga
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −=⇒−==⇒= dxxVxM dx
xdM
xV dxxqxV 
dx
xdV
xq
Estos procesos se desarrollan mediante
> V := int (-car + F_v, x):
M := -int (V + M_v, x):
donde:
int - comando de integración.
car - funciones de carga.
F_v - funciones de discontinuidad de las fuerzas vinculares.
M_v - funciones de discontinuidad de los momentos vinculares
x - variable de integración longitudinal de barra.
A partir de estos comandos el SCS determina las funciones de esfuerzo
cortante (V) y momento flector (M). La expresión de momentos habrá que ser
integrada para obtener las funciones giro y flecha de la viga
( ) ( )( ) ( )
( )
( )∫ ∫∫ 




== dxdx
xEI
xM
xy dx
xEI
xM
xg
Estas expresiones se programan con el SCS de la siguiente forma
> g := c_g_I + c_g_R + int (M/(E*Inercia), x):
y := -c_y_I - c_g_I*x – c_g_R*x - int (int (M/(E*Inercia), x), x):
donde:
c_g_I - constante inicial de giro debido a la inercia (para sistemas de inercia
variable).
c_y_I - constante inicial de flecha debido a la inercia.
c_g_R - constante de giro por el efecto de rótula.
E - Módulo de Young.
Inercia - función momento de inercia (semejante al de cargas).
Con las ecuaciones de comportamiento definidas, se plantean las condiciones
de compatibilidad en función de los vínculos y rótulas del sistema,
( ) ( ) ( ) 0xMgxgyxy Rvinvinvinvin===
donde:
xvin - posición de vínculo. yvin - flecha prefijada de vínculo.
gvin - giro prefijado de vínculo. xR - posición de rótula.
A partir de estas ecuaciones y las correspondientes al equilibrio estático
0M 0Fy == ∑∑
se obtiene un sistema de ecuaciones cuya resolución determina giros y flechas
incógnitas, así como fuerzas y momentos vinculares. Esto se indica mediante
> solucion := solve ({M_L, V_L, E_y_v, E_g_v, E_y_I, E_g_I, E_M_R}, incog):
donde:
M_L, V_L - ecuaciones de equilibrio estático de la viga.
E_y_v, E_g_v - ecuaciones de compatibilidad por vínculos.
E_y_I, E_g_I - ecuaciones de compatibilidad por inercia.
E_y_R - ecuaciones de compatibilidad por rótulas.
incog - conjunto de incógnitas del sistema.
A partir de ahí sólo hay que sustituir las soluciones en las funciones anteriores
> V_x : =subs(solucion, V):
M_x := subs(solucion, M):
g_x := subs(solucion, g):
y_x := subs(solucion, y):
para posteriormente realizar representaciones gráficas y obtener valores
numéricos.
6. ORGANIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA
En las prácticas se utilizan simultáneamente dos programas de nombres
Secciones y Vigas, desarrollados en el Departamento con el SCS Maple 8.00.
El programa Secciones determina las siguientes características geométricas:
- centro de masas,
- momentos de inercia respecto de ejes de referencia arbitrarios,
- momentos y direcciones de inercia principales en el centro de gravedad,
determinando también:
- tensiones normales (ley de Navier3,4), tangenciales (ley de Colignon3,4), y
equivalentes (hipótesis de Von Mises3,4) y,
- posición del centro de esfuerzos cortantes.
Se puede utilizar tanto para secciones abiertas como cerradas (unicelulares)
con ramales rectos para perfiles de pequeño espesor. Quedan fuera del estudio
las secciones macizas y las multicelulares.
El programa Vigas permite analizarlas con las siguientes características:
- vinculadas de forma tanto isostática como hiperestática,
- estados de cargas puntuales o repartidas,
- secciones constante o variable a tramos, con introducción de rótulas,
- desplazamientos y giros predeterminados.
El programa facilita los gráficos de esfuerzos cortantes, momentos flectores,
giros y flechas, indicando sus valores para una sección determinada.
6.1 Proceso de enseñanza
En el desarrollo de la primera hora se han de seguir los siguientes pasos:
1) Exposición de la práctica a desarrollar, indicando los objetivos a conseguir.
2) Exposición de las bases mecánicas, físicas y matemáticas necesarias.
3) Análisis de gráficas y magnitudes.
4) Planteamiento y resolución de un problema tipo completo.
6.2 Proceso de aprendizaje
Un ejemplo, tanto de geometría de la sección como del estado de cargas y las
condiciones de contorno, aparece a continuación.
Fig. 1 Ejemplo de sección y viga de prácticas.
Este caso corresponde a una viga hiperestática de inercia variable por refuerzo
realizado en la zona de mayor solicitación. Las secciones abiertas de pequeño
espesor están cargadas sobre el centro de esfuerzos cortantes. Se pide
determinar la tensión máxima equivalente (Von Mises).
A continuación se indican los pasos del proceso a seguir:
Primer paso. Análisis de características geométricas de la sección o secciones.
El primer paso del proceso es determinar mediante el programa Secciones
tanto el centro de gravedad como los momentos de inercia principales de cada
una de las secciones.
6 cm
6 cm
 28 cm
 0,7 cm
 1 cm
 x
 y
 1 cm
6 cm
 cec
 28 cm
 0,7 cm 1 cm
 x
 y
 1 cm
 cec
 2 cm
6 cm
 2 cm
 0.5 kN/m
 4 m 4 m
 B
 1 kN 1 kN
 3 kN/m
 A
 2 m 2 m
 z
 y
 5 kN
 2 m
Segundo paso. Análisis de la viga.
El programa Vigas determina las gráficas y valores de esfuerzos cortantes,
flectores, giros y flechas, tal como muestra la figura 2. A partir del análisis de
estas gráficas el alumno ha de determinar las posibles secciones críticas.
Fig. 2 Gráfica de cortantes, momentos, giros y flechas.
Tercer paso. Estudio de tensiones.
Es necesario volver al programa Secciones para el estudio de las tensiones en
las secciones consideradas. Un ejemplo aparece en la figura 3.
Fig. 3 Reparto de tensiones en la sección.
Gráfica de flechas
7. CONCLUSIONES
A partir de la metodología expuesta, se pueden indicar las siguientes
conclusiones de la utilización del SCS en el desarrollo de las prácticas:
- El SCS facilita la incorporación activa del alumno al proceso de aprendizaje,
responsabilizándole de un análisis ingenieril y librándole, en el desarrollo de
la práctica, de los cálculos necesarios para la toma de decisiones.
- Se acerca al alumno a una potente y a la vez sencilla herramienta de
cálculo.
- Permite al profesor programar modelos adecuados a la asignatura,
independizándose de entornos comerciales que en general tienen otros
puntos de vista y objetivos.
- Facilita la manipulación y representación gráfica de funciones matemáticas.
8. REFERENCIAS
[1] Schwartz, David, “Introduction to Maple”. Prentice Hall. 1999. ISBN:
0130951331
[2] Kraft, Roger, “Computing with Maple” Chapman & Hall CRC, UK,2001.
ISBN: 1584882360
[3] Gere, James M., Timoshenko Stephen P., “Mecánica de Materiales.
Segunda Edición”. Grupo Editorial Iberoamericana, S.A., México, 1986.
ISBN: 9687270160.
[4] Ortiz Berrocal, Luís, “Resistencia de Materiales. Segunda Edición”. Mc
Graw Hill. Madrid, 2002. ISBN: 8448133536.
[5] Magdaleno Martín,J., Dominguez Garrido, U., “Innovación tecnológica en
la formación de Ingenieros: Incorporación de aplicaciones informáticas.
Reflexiones sobre su selección, uso y evaluación de su rendimiento”. IX
Congreso de Innovación Educativa en las Enseñanzas Técnicas.
Valencia, 2001. ISBN: 8469956590
[6] Portillo de la Fuente, Ana Mª, González González Mª Luisa, Uña Martín,
Angel de. “Alternativas metodológicas para las prácticas de laboratorio
de técnicas numéricas básicas”. X Congreso de Innovación Educativa en
las Enseñanzas Técnicas. Valencia, 2002. ISBN: 8497052080
[7] Suñer Martín, José Luís, Mata Amela, Vicente, “Utilización de programas
de simulación en la docencia de la ingeniería mecánica”. X Congreso de
Innovación Educativa en las Enseñanzas Técnicas. Valencia, 2002.
ISBN: 8497052080
[8] Covián Regales, E., Celemín Matachana, M., “Mejora de la comprensión
del concepto de fuerza mediante simulaciones informáticas”. X Congreso
de Innovación Educativa en las Enseñanzas Técnicas. Valencia, 2002.
ISBN: 8497052080
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