CinemyDinamica_1a Dscntx Unidad 5

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Al término de la unidad, el alumno podrá:
• Ser capaz de definir e identificar situaciones que involucren al 
impulso y el momento como cantidades vectoriales.
• Plantear la ley de la conservación del momento lineal y 
solucionar problemas.
• Distinguir entre colisiones o choques elásticos e inelásticos.
• Predecir las velocidades de dos cuerpos después de que 
colisionan, a partir del coeficiente de restitución, masas, así 
como sus velocidades iniciales.
• Obtener el centro de masa de un cuerpo.
Unidad 5
Impulso y momento lineal
O
b
je
ti
v
o
s
123
Introducción
Cuando dos o más cuerpos chocan entre sí, y de acuerdo con lo que se ha estudiado 
y comprendido hasta ahora, la energía que existe antes del choque tendría que ser la 
misma después del choque, siempre y cuando se descarte cualquier tipo de pérdida de 
energía por calor o alguna otra fuerza disipativa.
 
De la unidad anterior se sabe que el trabajo y la energía son cantidades escalares, así 
que no se puede conocer la dirección de un cuerpo si se conoce su energía. Además de 
esto, la ley de la conservación de la energía sólo describe la relación entre los estados 
final e inicial del movimiento, por lo que no se puede saber absolutamente nada sobre 
la distribución de las energías, así que si se desea saber cómo es que la energía total se 
distribuye en los cuerpos del sistema, o si tan sólo interesa saber la dirección que cada 
cuerpo adquiere después del choque, será necesario incluir nuevos conceptos: impulso 
y momento lineal.
Por lo tanto, para darle un carácter vectorial al análisis sobre energía y movimiento, 
se comenzará por definir algunos conceptos básicos.
5.1 Conservación del momento lineal
En algunas situaciones el uso de la palabra impulso, se hace en forma coloquial, sin 
embargo generalmente este uso se aplica en forma errónea desde el punto de vista del 
estudio de la energía mecánica. Para comprender lo que significa el impulso relacionado 
con el movimiento de partículas, se analizan los ejemplos siguientes:
124
C inemátiCa y dinámiCa
Cuando un jugador de futbol golpea un balón durante un penalti, o cuando una pelota de golf es 
golpeada con el palo, en ambos casos una fuerza promedio muy grande ( F

) actúa sobre cada cuerpo 
durante un intervalo de tiempo muy pequeño (Δt), provocando con esto que el balón o la pelota tengan 
un cambio en la cantidad de movimiento inicial, debido al efecto del impulso.
F
∆t
mv f
Figura 5.1. Al golpear una pelota con un palo de golf con una fuerza F durante un intervalo 
de tiempo tΔ se provoca un cambio en la cantidad de movimiento.
Para poder establecer la relación que existe entre impulso y cantidad de movimiento es necesario 
hacer un análisis cuantitativo de la siguiente situación: considérese una partícula de masa m que es 
sometida a la acción de una fuerza F, entonces, al aplicar la segunda ley de Newton a la partícula se 
obtiene la siguiente ecuación: = F ma (5.1)
Pero la aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo:
dv
F m
dt
=  (5.2)
Al multiplicar la ecuación anterior por el diferencial dt e integrar se obtiene el siguiente resultado:
2
1
f
i
vt
t v
Fdt mdv=∫ ∫  (5.3)
12�
Unidad 5
La integral del lado izquierdo representa el impulso y se denota con la letra I

:
2
1
t
t
I Fdt= ∫  (5.4)
El impulso I

 es una medida de la acción de una fuerza sobre un cuerpo durante el intervalo de 
tiempo t
2
 – t
1
. Si la fuerza F

 es constante, entonces la integral anterior puede ser resuelta:
2 1( )I F t t= −  (5.5)
La magnitud del impulso se puede determinar como:
2 1( )I F t t= − (5.6)
Si el intervalo t
2
 –t
1
 se denota mediante Δt entonces la expresión 5.6 se puede reescribir como:
= ΔI F t (5.7)
Esta ecuación resulta ser muy útil cuando se desea calcular el impulso de una fuerza constante que 
actúa sobre un cuerpo durante un intervalo de tiempo Δt.
Como la masa de una partícula no depende de su velocidad, entonces la siguiente integral se 
puede resolver:
f
i
v
f i
v
mdv mv mv= −∫    (5.8)
A la cantidad mvv

 se le denomina momento lineal y se denota con la letra p

.
p mv=  (5.9)
El momento lineal es una medida de la inercia que posee un cuerpo en movimiento; entre mayor 
velocidad o masa de la partícula, mayor será su momento lineal y tendrá mayor inercia. 
El impulso y la cantidad de movimiento lineal se relacionan de la siguiente manera (ecuaciones 5.3 
y 5.8):
I = 
2
1
t
f i
t
Fdt mv mv= −∫    (5.10)
La ecuación anterior establece que el impulso es igual al cambio en la cantidad de movimiento de 
la partícula:
I p= Δ  (5.11)
Nótese que tanto el impulso como el momento lineal son cantidades vectoriales, por lo que poseen 
magnitud y dirección; por otra parte, no hay una unidad de medida designada para el impulso o 
momento lineal, por lo que sus unidades son el producto de las unidades de fuerza por las unidades de 
tiempo:
[impulso] = [fuerza][tiempo] = N·s
126
C inemátiCa y dinámiCa
Ejemplo 1
Calcular la fuerza media que se ejerce sobre un escritorio cuando se golpea con un puño que viaja 
hacia abajo con una velocidad inicial de 10 m/s. La persona que golpea el escritorio lo hace durante un 
intervalo de 0.03 segundos. Considerar que la masa de la mano es de aproximadamente 200 gr.
Solución.
Datos:
m = 200 gr
Δt
 
=0.03 s
F = ?
v
i
 = 10 m/s
v
f
 = 0 m/s
Si consideramos que el puño viaja hacia abajo:
v
i
 = –10 m/s
De acuerdo con las ecuaciones 5.7 y 5.10 del impulso y el momento lineal.
(0.2 )( 10 )
0.03
66.67 Endirección vertical
f i
i
i
F t mv mv
F t mv
mv
F
t
mkg
sF
s
F N
⋅ Δ = −
⋅Δ = −
−= Δ
 − − =
=
  
 



 
Por lo tanto, la magnitud de la fuerza con la que el puño golpea el escritorio es 66.67 N.
127
Unidad 5
Ejemplo 2
Un samurái puede cortar con su katana manzanas de 120 gr que son arrojadas directamente hacia 
él. Para practicar, utiliza un palo de madera con el que golpea pelotas que tienen la misma masa que 
las manzanas y que su ayudante le lanza a una velocidad de 15 m/s a una distancia de 3 metros de él, 
como se muestra en la figura 5.2. Cuando el samurái golpea las pelotas, éstas son lanzadas en sentido 
contrario y al doble de su velocidad inicial. ¿Cuál es la magnitud del impulso y la fuerza media que el 
samurái ejerce sobre las pelotas, si el palo de práctica sólo está en contacto con las pelotas durante 0.02 
segundos?
Solución.
Lo primero que se debe establecer para poder solucionar este problema es un sistema de referencia, 
así que podemos considerar al movimiento inicial como negativo (porque se mueve de derecha a 
izquierda). 
–15 m/s
∆t
2v
i
F
Figura 5.2. Muestra el impacto de la katana con una pelota
Para calcular el impulso aplicamos la ecuación 5.10:
f iI mv mv= −   
De acuerdo con la figura 5.2 tanto las velocidades como la fuerza están en la misma dirección. Se puede 
obtener la magnitud del impulso de acuerdo con la siguiente ecuación:
0.12(30) 0.12( 15)
5.4
f iI mv mv
I
I
= −
= − −
= 
 
Por lo tanto, la magnitud del impulso es 5.4 Ns.
Para calcular la magnitud de fuerza media se usa la ecuación 5.7:
= ΔI F t
128
C inemátiCa y dinámiCa
En esta ecuación se despeja la fuerza y se sustituyen el valor del impulso previamente calculado y el 
intervalo de tiempo Δt = 0.02s:
5.4N
0.02
270N
I
F
t
s
F
s
F
= Δ
⋅=
=
Por lo tanto, la magnitud de fuerza media es: 270 N.
Ejercicios
1. Una partícula subatómica de 0.02 gr viaja en línea recta con una velocidad inicial de 5 m/s. Se ejerce 
sobre ella una fuerza en dirección contraria de 5 N durante un periodo de 1 segundo, ¿Cuál será la 
magnitud de la velocidad final?
Solución. v
f
 = –249995 m/s
2. Un boxeador golpea un costal de 75 kg con el puño durante 0.5 segundos. ¿Cuál es el valorde la 
fuerza media del deportista, si el costal se desplaza a 5 m/s por efectos del golpe?
Solución. F = 750 N
3. Un bateador golpea una pelota de 0.5 kg que se dirige hacia a él con una velocidad de 40 m/s. Si el 
bateador impacta a la pelota durante 0.03 segundos y la despide a una velocidad de 90 m/s, ¿qué fuerza 
aplica? ¿Cuál es el valor del impulso?
Solución. F = –2166.67 N; I = 65 N s
4. Un practicante de kung-fu desea saber cuál es la potencia de su patada más rápida (en términos 
coloquiales, desea saber con qué fuerza golpea). Para esto utiliza un aparato capaz de medir la velocidad 
de su pierna a partir del reposo y hasta que se impacta contra su objetivo de 100 kg. El aparato registra 
una velocidad de 12 m/s y la pierna del artista marcial toca durante 1.5 segundos el objetivo. ¿Cuál es 
la fuerza de la patada?
Solución. F = 800N
5. Un vehículo de 1.5 toneladas que viaja a 60 km/h choca contra una pared de metal y se detiene en 
0.03 segundos ¿Cuál es el valor de impulso? y ¿con qué fuerza media se impacta dicho automóvil?
Solución. I = 25kNs; F = 833.33kN
129
Unidad 5
5.2 Choques elásticos e inelásticos
Se debe entender por colisión o choque al impacto que ocurre entre dos cuerpos, ejerciendo fuerzas 
entre sí durante un tiempo muy corto. En las colisiones pueden presentarse dos casos: el de impacto 
central, si la línea imaginaria que pasa por los centros de masa de las partículas coincide con la línea 
de dirección del movimiento, y el de impacto oblicuo, si la línea de dirección del movimiento de una 
o ambas partículas forma un ángulo con la línea de impacto. En esta sección se abordará el caso de 
impacto central.
Para poder continuar con el estudio de colisiones o choques, es necesario considerar factores que se 
deben incluir en el análisis de una colisión, como por ejemplo, la plasticidad del material con que están 
hechos los cuerpos que se impactan. Debido a estas diferencias, después de la colisión las velocidades 
de las partículas pueden diferir de las velocidades que tenían previas al choque. Dependiendo de la 
deformación que ocurra durante el choque, se presentan dos clasificaciones importantes para los 
choques: choques elásticos y choques inelásticos.
Pero antes de definir y comprender estos dos tipos de choques necesitamos introducir una ley de 
suma importancia.
Ley de la conservación del momento.
Para poder establecer la conservación del momento consideremos la siguiente situación: se tienen 
dos cuerpos esféricos de masas m
1
 y m
2
, supóngase además, que estas dos masas colisionan de frente 
como se muestra en la figura 5.3. Sean v
i1
 y v
f1
 las velocidades inicial y final del cuerpo 1 y v
i2
 y v
f2
 las 
velocidades inicial y final del cuerpo 2.
m1m1 m1m2 m2m2
1iv

1iv

1fv

2fv

1
F

1 2F

Figura 5.3. Muestra la colisión de frente de las masas m
1
 y m
2
De la figura 5.3 y de acuerdo con las ecuaciones 5.7 y 5.10 se puede establecer que el impuso en el 
primer cuerpo será igual a:
1 1 1 1 1f iF t m v m vΔ = −   
De la misma manera el impuso en el segundo cuerpo será igual a:
2 2 2 2 2f iF t m v m vΔ = −  
130
C inemátiCa y dinámiCa
Observando nuevamente la figura, durante el tiempo en el que los cuerpos están en contacto (Δt) las 
fuerzas en ambos cuerpos son iguales y en sentidos diferentes, así que:
1 2= − F F (5.12)
Así que podemos a su vez igualar los impulsos como sigue empleando las ecuaciones 5.7 y 5.10:
1 2Δ = − Δ F t F t (5.13)
Es decir:
1 1 1 1 2 2 2 2( )− = − −   f i f im v m v m v m v
Acomodando términos:
1 1 2 2 1 1 2 2+ = +   i i f fm v m v m v m v (5.14)
La ecuación anterior establece la ley de la conservación del momento lineal, la cual afirma que: la 
cantidad de momento antes del impacto, es igual a la cantidad de momento después del impacto.
Se ha estudiado anteriormente que en toda colisión, tanto el momento lineal como la energía se 
conservan, pero no hay que olvidar que esta suposición es correcta sólo para cuerpos rígidos como 
pelotas de boliche. Sin embargo se trata de materiales más suaves durante las colisiones, los cuerpos 
sufren deformaciones que no se restituyen y por tanto existen pérdidas de energía por calor, fricción, 
energía lumínica o sonora.
Durante una colisión existe una fuerza impulsiva de deformación, un periodo de deformación 
máxima, una fuerza de restitución en donde las partículas pueden retornar a su forma original o quedar 
permanentemente deformadas y, finalmente, (después de la colisión) la separación de las partículas con 
los momentos lineales finales resultantes. A la relación de las velocidades finales entre las velocidades 
iniciales (antes del choque) se le conoce como coeficiente de restitución (e). Este coeficiente sirve para 
clasificar los choques en: choques elásticos y choques inelásticos.
 
Choques elásticos
Un choque elástico es aquel en el cual la energía cinética permanece constante, es decir, no se 
pierde energía por calor o deformación durante el choque. Puede considerarse que el coeficiente de 
deformación es igual al coeficiente de restitución, por lo que e = 1.
Un ejemplo de choque completamente elástico, es el que se presenta entre cuerpos rígidos como el 
acero o una roca.
131
Unidad 5
Choques inelásticos
Este tipo de choques se presenta cuando los cuerpos que se colisionan se adhieren entre sí, es decir, 
después del impacto se mueven como un solo cuerpo (e = 0).
Cuando una bala se incrusta en el material sobre el cual es impactada directamente, es un ejemplo 
perfecto de un choque completamente inelástico.
Existen choques que nos son totalmente elásticos ni completamente inelásticos, para estos casos el 
valor del coeficiente de restitución pertenece al siguiente intervalo 0 < e <1.
Es así que se hace necesario obtener una forma de calcular un valor que indique qué tan cerca de 
uno de los dos extremos se encuentra un tipo particular de choque.
El coeficiente de restitución e puede calcularse con la siguiente fórmula empleando las magnitudes 
de las velocidades antes y después del choque de los cuerpos que interactúan: 
2 1
1 2
f f
i i
v v
e
v v
−= − (5.15)
Donde:
1fv es la velocidad final de la partícula 1.
2fv

 es la velocidad final de la partícula 2.
1iv

 es la velocidad inicial de la partícula 1.
2iv

 es la velocidad inicial de la partícula 2.
Como se observa en la ecuación, el coeficiente de restitución es la razón de la velocidad relativa 
después del choque entre la velocidad relativa antes del choque.
Algunas consideraciones de suma importancia para el coeficiente de restitución son:
•	 Si la colisión es perfectamente elástica, e = 1.
•	 Si la colisión es perfectamente inelástica, e = 0.
•	 En las colisiones inelásticas los cuerpos tienen la misma velocidad final 1 2f fv v= .•	 En general los coeficientes de restitución tienen valores entre 0 y 1.
Ejemplo 1
Dos cuerpos esféricos de masas m
1
= 4 kg y m
2
= 8 kg se impactan de frente a velocidades de 48 m/s 
y 16 m/s respectivamente. Calcula la velocidad final de estos cuerpos si:
a) Los dos cuerpos quedan pegados después del choque.
b) El coeficiente de restitución del choque es de 0.75.
132
C inemátiCa y dinámiCa
Solución.
Datos:
m
1
 = 4 kg
m
2
 = 8 kg
v
01 
= 48 m/s
v
02 
= 16 m/s
e = 0.75
Para solucionar este problema hay que establecer un sistema de referencia en el que se puedan 
considerar positivas las velocidades con dirección hacia la derecha y negativas las velocidades con 
dirección hacia la izquierda. Así, podemos considerar la velocidad del cuerpo 1 como positivo (viajando 
hacia la derecha) y a la velocidad del cuerpo 2 negativa (viajando hacia la izquierda) tal y como se 
muestra en la figura 5.4.
4 kg 8 kg
48 m/s -16 m/s
4 kg 8 kg
fv

Figura 5.4. Describe los cuerpos esféricos descritos en el problema para el caso a).
Para el caso del inciso a), los datos del problemanos sugieren que el coeficiente de restitución vale 0, 
(e = 0) y la velocidad final de ambos cuerpos es la misma los cuerpos se mueven en una sola dirección, 
por lo tanto la ecuación derivada de 5.14 que nos ayudará a resolver el problema es:
1 1 2 2 1 2( )i i fm v m v m m v+ = + 
De la ecuación anterior se despeja la velocidad final de ambos cuerpos:
1 1 2 2
1 2( )
i i
f
m v m v
v
m m
+= +
a continuación se sustituye el valor de las masas y las velocidades iniciales de los cuerpos:
(4 48 ) (8 16 )
(4 8)
5.33
f
f
m mkg kg
s sv
kg
mv
s
⋅ − ⋅= +
=
 
La velocidad final de ambos cuerpos es: 5.33 m/s en dirección horizontal por ser positiva, entonces 
su sentido es hacia la derecha, la misma que la del cuerpo 1, esto es así por que el momento del cuerpo 
1 es 192 kg m/s mayor que el momento del cuerpo 2: 128 kg m/s
133
Unidad 5
Para solucionar el caso del inciso b) hay que establecer el mismo sistema de referencia que en el inciso 
a) y dibujar la situación como se aprecia en la figura 5.5. El momento es en la dirección horizontal y se 
emplearán en los cálculos las magnitudes de las velocidades.
4 kg 8 kg
48 m/s 16 m/s
4 kg 8 kg
1fv

e = 0.75
2fv

Figura 5.5. Describe los cuerpos esféricos descritos en el problema para el caso b).
Dado que el coeficiente de restitución (e = 0.75) es diferente de cero, los cuerpos rebotaran después 
de la colisión. Las velocidades finales de los cuerpos son calculadas con la ecuación 5.15:
2 1
1 2
f f
i i
v v
e
v v
−= −
En la ecuación anterior se desconocen los valores de las velocidades finales, pero podemos sustituir 
el valor de las velocidades iniciales que si son conocidas:
2 1
1 2
2 1
2 1
2 1
0.75
m m48 ( 16 )
s s
m m[48 ( 16 )] 0.75
s
48
f f
i i
f f
f f
f f
v v
e
v v
v v
v v
s
v v
−= −
−= − −
− − ⋅ = −
= −
 
 
 
 
 
 
La ecuación anterior contiene dos variables y por lo tanto no puede ser resuelta; por otra parte, al 
aplicar la ley de la conservación del momento (ecuación 5.14):
1 1 2 2 1 1 2 2i i f fm v m v m v m v+ = + 
134
C inemátiCa y dinámiCa
Y al sustituir el valor de las velocidades iniciales obtenemos la siguiente ecuación:
1 1 2 2 1 1 2 2
1 2
1 2
m m(4 48 ) [8 ( 16 )] 4kg 8kg
s s
64 4 8
i i f f
f f
f f
m v m v m v m v
kg kg v v
v v
+ = +
⋅ + ⋅ − = ⋅ + ⋅
= ⋅ + ⋅
 
 
Esta última ecuación contiene dos variables y por si sola no se puede resolver, pero si podemos 
resolver el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables:
2 1 48f fv v− = 
1 24 8 64f fv v+ = 
cuya solución es:
1 26.67 /fv m s= − 
2 21.33 /fv m s= 
Como se puede observar, las velocidades finales de los cuerpos tienen sentidos opuestos a los de las 
velocidades iniciales, lo que significa que los cuerpos han rebotado después del choque
Ejemplo 2
Un proyectil de 0.5 kg se impacta directamente contra un cuerpo suave de 10 kg, el cual pende de 
un cable. El impacto del proyectil provoca que el cuerpo oscile hasta una altura de 20 cm por arriba de 
su posición original, como se muestra en la figura 5.6. Calcula la velocidad de impacto del proyectil.
h = 20 cm
1iv

, m1
m2
Figura 5.6. Muestra un proyectil de masa m
1
 que es disparado hacia cuerpo suave de masa m
2
.
13�
Unidad 5
Solución.
Dado que el proyectil es incrustado en el cuerpo suave, entonces se trata de un choque completamente 
inelástico. Por otra parte hay que realizar un análisis de energías: cuando el proyectil se impacta contra 
el cuerpo, los dos comienzan a moverse y se genera una energía cinética; pero conforme el cuerpo se 
eleva, esta energía cinética se convierte gradualmente en energía potencial. Para cuando los dos cuerpos 
alcanzan la altura de 20 cm, toda la energía es potencial y se puede establecer la siguiente relación:
2
1 2 1 2
1
( ) ( )
2
fm m v m m gh+ = + (5.15)
Para eliminar las masas podemos dividir la ecuación 5.16 entre (m
1+m2) y calcular la velocidad 
combinada justo después del impacto:
2 2
2
f
f
v gh
v gh
=
=
al sustituir el valor de la altura y de la aceleración gravitacional. Se puede determinar la magnitud de la 
velocidad final:
2(9.81)(0.2m)
m1.98
s
f
f
v
v
=
= 
También, al considerar la ley de la conservación del momento lineal, (ecuación 5.14) con el dato de 
que los cuerpos permanecen unidos después del impacto, se tiene:
1 1 2 2 1 2( )i i fm v m v m m v+ = + 
Pero como la velocidad inicial del cuerpo suave es cero entonces v
i2
 = 0
1 1 1 2
1 2
1
1
1
1
( )
( )
m[(0.5kg) (10kg)]1.98
s
0.5kg
m41.58
s
i f
f
i
i
i
m v m m v
m m v
v
m
v
v
= +
+=
+=
=
 
Por lo tanto, la magnitud de la velocidad inicial del proyectil es 41.58 m/s.
136
C inemátiCa y dinámiCa
Ejercicios
1. El cuerpo 1 de masa 5 kg se mueve inicialmente hacia la derecha con una velocidad constante 
de v
1i
 = 2m/s. En el mismo sistema, un cuerpo 2 de 3 kg se mueve hacia la izquierda con velocidad 
constante v
2i
 = 2m/s. Si el choque de cuerpos es completamente inelástico, calcula la velocidad final 
del sistema.
Solución. v
f
 = 0.5 m/s
2. Una partícula subatómica A choca elásticamente y de frente con otra partícula subatómica B. Calcula 
las velocidades finales de las partículas subatómicas si los datos iniciales son los siguientes:
m
A
 = 2×10-15 kg v
A
 = 3000 m/s
m
B
 = 5×10-12 kg v
B
 = 0 m/s
Solución. v
Af
 = –2997.6 m/s v
Bf
 =2.4 m/s
3. Un jugador de rugby de 85 kg que se mueve a la velocidad de 7m/s realiza un choque inelástico con 
un defensa de 105 kg que está inicialmente en reposo. Calcula la velocidad de los jugadores después de 
la colisión.
Solución. 3.13 m/s
4. El coeficiente de restitución del acero sobre acero se mide dejando caer una bola de este material 
sobre una placa de acero rígida. Si la bola se deja caer desde una altura de 3m y rebota hasta una altura 
de 2.5m ¿Cuál es el coeficiente de restitución?
Solución. 0.913
137
Unidad 5
5.3 Centro de masa
En los ejemplos considerados en esta unidad se han considerado cuerpos con velocidades y masas 
determinadas, pero un cuerpo está constituido de varias partículas unidas unas con otras y que dan 
forma al cuerpo. Todas estas partículas que forman el cuerpo tienen masa propia, pero no siempre son 
iguales unas con otras, por lo que tienen masas diferentes; sin embargo en su totalidad conforman el 
cuerpo. Para analizar los ejemplos de esta unidad se ha supuesto implícitamente que el cuerpo no tiene 
volumen, o dicho de otra manera, que todo el cuerpo esta concentrado en un punto al que usualmente 
se le llama partícula. Este punto-partícula corresponde a un concepto que en física se le denomina centro 
de masa, el cual representa la concentración de las masas de todas las partículas que forman el cuerpo. 
Cerca de la superficie terrestre, el centro de masa generalmente coincide con el centro de gravedad 
de un cuerpo; sin embargo, fuera del campo gravitacional, un cuerpo sigue teniendo masa pero su 
peso puede cambiar, por lo tanto la consideración señalada sólo será referente a la superficie terrestre.
Si consideramos que un cuerpo esta constituido por una agrupación de partículas, entonces podemos 
considerar el momento de cada partícula p
i
, además la suma de los momentos de cada partícula debe 
ser el momento del cuerpo = = + + +   tv P en sí:
1 2 3 ...= + + +
= + + +
   
   
P p p p (5.17)
De acuerdo con la ecuación 5.9:
1 1 2 2 3 3 ...
= + + +
= + + +
   
   
P m v m v m v (5.18)
De igual manera, la masa total del cuerpo (m
t
) estará formada por la suma de todas las masas de las 
partículas m
i
:
1 2 3 ...= + + +tm m m m (5.19)
Así pues, lo que queremos definir es el punto (centro de masa) cuyo movimiento es el que representa 
al movimiento de todo el cuerpo, así que cuando su velocidad tv

 se multiplica por la masa total, da 
como resultado la magnitud del momento total 

P , es decir:
11 2 2 3 3 ...= = + + +   t tm v P m v m v m v (5.20)
Despejando a la velocidad del centro de masa se obtiene la siguiente relación:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
t
m v m v m v
v
m m m
⋅ + ⋅ + ⋅ += + + +
  
 
Esta ecuación define la velocidad del centro de masa, pero si recordamos que las velocidades 
individuales de las partículas son las derivadas respecto al tiempo de las posiciones, podremos definir 
un vector de posición para el centro de masa:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
⋅ + ⋅ + ⋅ += + + +
   m r m r m r
R
m m m
 (5.21)
138
C inemátiCa y dinámiCa
Las componentes rectangulares del vector centro de masa son:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
⋅ + ⋅ + ⋅ += + + +
⋅ + ⋅ + ⋅ += + + +
  
  
m x m x m x
X
m m m (5.22)
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
⋅ + ⋅ + ⋅ += + + +
⋅ + ⋅ + ⋅ += + + +
  
   m y m y m y
Y
m m m
 (5.23)
Ejemplo
Dos cuerpos de 4 y 6 kg se mueven a lo largo del eje y en un instante preciso, el primer cuerpo se 
encuentra a 1.5 m del origen con una velocidad de 4 m/s, mientras que el segundo cuerpo se encuentra 
a 2 m del origen moviéndose a una velocidad de 8 m/s. Encuentra la ubicación y la velocidad del centro 
de masa que forman estos dos cuerpos.
Solución.
Como se puede observar en este problema, no existe componente en el eje de las “x”, por lo tanto y de 
acuerdo con la ecuación 5.23:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
4 kg 1.5 6 kg 2
4kg 6kg
1.8
m y m y m y
Y
m m m
m m
Y
Y m
⋅ + ⋅ + ⋅ += + + +
⋅ + ⋅= +
=
 Lo cual indica que el centro de masa se encuentra a 1.8 m por encima del origen.
Mientras que la velocidad de dicho punto se puede determinar la ecuación 5.20:
1 1 2 2 3 3
1 2 3
...
...
m m4kg 4 6kg 8
s s
4kg 6kg
m.4
s
t
t
t
m v m v m v
v
m m m
v
v
⋅ + ⋅ + ⋅ += + + +
⋅ + ⋅= +
= 6
  


 
139
Unidad 5
Ejercicios
1. La siguiente tabla muestra la masa y las coordenadas de posición de cuatro cuerpos:
Cuerpo Masa kg Coordenadas m
1 5 (–7, 10)
2 7.3 (3, 2)
3 6.5 (5, 6)
4 15 (4, –2)
Calcula el centro de masa del sistema anterior.
Solución. (2.35 m, 2.18 m).
2. Considera el sistema de cuerpos expuesto en el ejercicio 1. Si los cuerpos 1, 2 y 3 permanecen en 
reposo, mientras que el cuerpo 4 se mueve a 7 m/s sobre una recta que forma 30° con el eje x, calcula 
la velocidad del centro de masa.
Solución. El centro de masa se mueve a 3.1 m/s sobre la misma recta sobre la que se mueve el cuerpo 4.
3. Una persona cuya masa es de 80 kg está de pie y sostiene un rifle de cacería de masa de 3 kg. Esta 
persona apunta con el rifle hacia una diana que se encuentra varios metros enfrente. Cuando la persona 
dispara el rifle, expulsa una bala que pesa 45 g con una velocidad de 190 m/s. A manera de reacción 
la persona camina hacia atrás a una velocidad de 2 m/s. Calcula la velocidad del centro de masa del 
sistema persona-bala.
Solución. –1.89 m/s
4. El uranio y el plutonio son átomos radioactivos, es decir, son átomos muy inestables que se desintegran 
de manera natural dando como resultado emisiones radioactivas de magnitud considerable. En un 
momento dado, una muestra de uranio de masa 5×10-21 kg emite dos partículas alfa: una en la dirección 
x a una velocidad de 300 m/s y la otra en la dirección y con la misma velocidad. Si cada partícula alfa 
pesa 2×10-35 kg y la muestra de uranio permanece en reposo mientras se desintegra, calcula la velocidad 
del centro de masa de:
a) El sistema conformado por las dos partículas alfa y la muestra de uranio.
b) El sistema conformado sólo por las dos partículas alfa.
Solución. a) 0 m/s 
 b) (150, 150) m/s
140
C inemátiCa y dinámiCa
5. Una masa de 3 kg se mueve en la dirección de x con una velocidad de 2 m/s. Otra masa de 4 kg se 
mueve en la dirección de y con una velocidad de 1 m/s. ¿Con qué velocidad se debe mover una masa de 
5 kg para que la velocidad del centro de masa de los tres cuerpos permanezca en reposo?
Solución. (–1.2, –0.8) m/s