Manual de Matemática Preuniversitaria-páginas-73

Vista previa del material en texto

3.2. Operaciones entre polinomios
Ejemplo 53. Multiplicando dos polinomios. Hallar el producto entre los poli-
nomios p(x) = 2x2 − 4x y q(x) = 3 + 5x.
Solución:
(2x2 − 4x)(3 + 5x) = (2x2) (3) + (2x2) (5x) + (−4x)(3) + (−4x)(5x)
= 6x2 + 10x3 − 12x − 20x2
= 10x3 − 14x2 − 12x. E
Ï De la definición y de las propiedades de la suma y el producto se deducen
los siguientes hechos:
El producto de polinomios satisface las propiedades conmutativa (es de-
cir, p ⋅ q = q ⋅ p) y asociativa (p ⋅ (q ⋅ r) = (p ⋅ q) ⋅ r).
El polinomio de grado cero p(x) = 1 es neutro multiplicativo: q ⋅ p = q.
El polinomio nulo es absorbente multiplicativo: q ⋅ 0 = 0.
Vale la propiedad distributiva respecto de la suma y la resta:
p ⋅ (q ± r) = p ⋅ q ± p ⋅ r.
Los únicos polinomios cuyo inverso multiplicativo es otro polinomio son
los polinomios constantes no nulos.
El grado del producto es la suma de los grados de los factores*:
gr(p ⋅ q) = gr(p) + gr(q).
La propiedad asociativa es fundamental ya que cuando tenemos un producto
de más de dos polinomios, la forma de realizarlo es asociando de a pares, como
se ilustra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 54. Multiplicando más de dos polinomios.
(x + 3)(2x3 + 2 − x)(1 − x2) = ((x + 3)(2x3 + 2 − x))(1 − x2)
= ((x + 3)(2x3 + 2 − x)) (1 − x2)
*Se diferencia de la suma y resta, donde no existe una regla para el grado del polinomio resul-
tante, como se vio en el Ejercicio 2 de la sección anterior.
63
	Botón1: