Unidad 4 Polinomios

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UNIDAD 4: 
POLINOMIOS Y 
ECUACIONES POLINÓMICAS
Universidad Nacional del Nordeste
Instituto de Ciencias Criminalísticas y Criminología
Se llama polinomio en una indeterminada x,
con coeficientes en R, de grado n, a toda
expresión de la forma:
POLINOMIOS
01
2
2
1
1 .....)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 


0Nn
Raaaa n ,.....,,, 210
0na
xDonde:
y se llaman coeficientes
es la indeterminada



n
i
i
i xaxP
0
)(En forma abreviada: 
Cada una de las expresiones se llama
término del polinomio, es el coeficiente
principal y es el término independiente.
POLINOMIOS
i
i xa
na
0a
Ejercicio: Determinar cuáles de las siguientes
expresiones son polinomios. Justificar.
123) 234  xxxa
322) 23  xxxc
523) 5  xxxb
x
xxxd
5
2) 45 
)1).(1()  xxe
Sea el polinomio:
POLINOMIOS
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 


Llamamos grado del polinomio a 0"" nasin
Polinomio Nulo: es aquel en el que todos sus
coeficientes son iguales a cero.
Notación:
000...0)( 12  xxxxP n
0)( xP
Polinomio Mónico: es aquel cuyo
coeficiente principal es 1.
POLINOMIOS
12)( 234  xxxxP
2)(  xxP es un polinomio mónico de grado 1
Por ejemplo:
Es un polinomio
mónico de grado 4
Según el número de términos, los
polinomios se llaman:
POLINOMIOS
Monomio: si tiene un único término.
Por ejemplo: P(x) = -3x2
Binomio: si tiene sólo dos términos.
Por ejemplo: P(x) = 2x2 + 3x3
Trinomio: si tiene sólo tres términos.
Por ejemplo: P(x) = 2x2 + 3x3 – 5
POLINOMIOS
Cuatrinomio: si tiene sólo cuatro términos.
Por ejemplo: P(x) = 2x2 + 3x3 – 5x + 1
Polinomio: si tiene más de cuatro
términos.
Sólo pueden sumarse dos monomios si
éstos son semejantes.
La suma es otro monomio semejante a ellos
que tiene por coeficiente la suma de los
coeficientes.
Monomios Semejantes:
Dos monomios son semejantes si tienen la
misma parte literal, es decir sólo se
diferencian en el coeficiente.
La suma de dos monomios semejantes es
otro monomio semejante a ellos que tiene
por coeficiente la suma de los coeficientes.
Por ejemplo: Sean
25)( xxP 
213)( xxQ 
222 18135)()( xxxxQxP 
222 8135)()( xxxxQxP 
El producto de dos monomios siempre es
otro monomio.
624 10)2.(5 xxx 
2
64
2
5
)2(:5)
x
xxb 
224 5)2(:10) xxxa 
Por ejemplo:
El resultado de la división de dos monomios
puede ser otro monomio o una expresión
algebraica fraccionaria.
Por ejemplo:
Para sumar dos polinomios, se agrupan los
términos semejantes y se suman sus
coeficientes.
107235)( 234  xxxxxP
475)( 23  xxxxQ
)()() xQxPa  )()() xQxPb Hallar:
Por ejemplo: Dados los polinomios,
Para multiplicar dos polinomios se aplica la
propiedad distributiva del producto con
respecto a la suma y a la resta.
Se multiplica cada término del primero por
cada término del segundo y se suman los
términos semejantes obtenidos.
47)( 2  xxxQ1025)( 24  xxxP
)().( xQxPHallar:
Por ejemplo: Dados los polinomios,
Algoritmo de la división:
Dados dos polinomios . Existen
y son únicos dos polinomios
tales que:
)()().()() xRxQxCxPa 
)()( xQyxP
)()( xRyxC
)()(0)() QgrRgrxRb 
Los polinomios P, Q, C y R se llaman,
respectivamente, dividendo, divisor, cociente
y resto.
La disposición usual de estos cuatro
polinomios es la conocida en la división
entera.
)()(
)()(
xCxR
xQxP
Dados dos polinomios .)()( xQyxP
nQgrymPgr  )()(
)()(
)()(
xCxR
xQxP
)()(0)( xPxRyxCnm 
1)()(  nRgrynmCgrnm
 Si
 Si
Sea
Por ejemplo
Dados dos polinomios:
xxxPa 23)() 2  1)(
3  xxQ
)(:)( xQxP
16435)() 234  xxxxxPc 2)(  xxQ
Hallar el cociente y el resto de:
23 334)() xxxPb  1)( 2  xxxQ
Caso Particular: Regla de Ruffini
Si el divisor Q es un polinomio mónico y
gr(Q) = 1, el proceso anterior puede
simplificarse utilizando la Regla de Ruffini.
Dados los polinomios:
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 


0)( bxxQ 
Observemos que:
a) El cociente C es un polinomio de grado n – 1
gr (C) = gr(P) – gr(Q) = n – 1
b) El resto R es un número.
gr (R) < gr (Q) = 1  gr (R) = 0
Sean
Para realizar la división se procede
de la siguiente manera:
01
1
1 ....)( axaxaxaxP
n
n
n
n 


0)( bxxQy 
)(:)( xQxP
1°) En el primer renglón se escriben todos los
coeficientes del dividendo completo y
ordenado en forma decreciente según los
exponentes de la indeterminada.
0121 ... aaaaa nn 
2°) En el ángulo de las dos rectas se escribe
el opuesto del término independiente del
polinomio divisor.
0b
na
x
0ban

01 baa nn 
0121 ... aaaaa nn 
3°) El primer coeficiente del dividendo ( ) se
repite en el tercer renglón, debajo de la línea
horizontal, y luego se lo multiplica por el
opuesto del término independiente; se coloca
este resultado debajo del segundo coeficiente
del dividendo y se realiza la suma de los
números que quedaron alineados. El
resultado se escribe en el tercer renglón,
debajo de la línea horizontal.
na
4°) Se repite este proceso hasta el último
coeficiente del polinomio dividendo.
El último valor obtenido es el resto (R) de la
división y los valores que le preceden son los
coeficientes del cociente C.
0b
0121 .... aaaaa nn 
na
x
0ban

01 baa nn  R
2
16435 
5
x
14

7
10
Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de P:Q,
aplicando la regla de Ruffini.
16435)( 234  xxxxxP 2)(  xxQ

5110 26
20 52
261075)( 23  xxxxC
51:Resto
Si al dividir dos polinomios P y Q se obtiene
como resto el polinomio nulo, entonces se
dice que la división es exacta y que:
“P es múltiplo de Q”,
o bien que: “P es divisible por Q”
o que: “Q es un divisor de P”.
)().()( xCxQxP 
En este caso se cumple que:
Se llama especialización de la indeterminada
x por  al valor:
01
2
2
1
1 ...)( aaaaaP
n
n
n
n 

 
Es decir, es el valor numérico que toma el
polinomio cuando se sustituye la
indeterminada x, por el número  y se
realizan las operaciones indicadas en el
polinomio.
Por ejemplo: Sea
Si  = 2
16435)( 234  xxxxxP
51)2( P
12.62.42.32.5)2( 234 P
Si  = -1
1)1.(6)1.(4)1.(3)1.(5)1( 234 P
3)1( P
Hemos visto que al dividir un polinomio P(x)
por otro Q(x) mónico y de grado 1 el resto
R(x) es necesariamente, de grado cero.
Teorema: El resto de dividir un polinomio P(x)
por otro Q(x) = x - a, es la especialización de
P por a.
Es decir: R = P(a).
A partir del algoritmo de la división, se tiene:
RxCxQxP  )().()(
RxCaxxP  )().()(
RaCaaaP  )().()(
RRaP  0)(
Especializando P por a:
Por ejemplo:
Teorema del resto:
16435)( 234  xxxxxP 2)(  xxQ
12.62.42.32.5)2( 234 P
51)2( P
Sea P(x) un polinomio de grado n y α un
número cualquiera. Se dice que α es una raíz
de P si y sólo si la especialización de la
indeterminada x por α es cero.
RAÍCES DE UN POLINOMIO
0)()(   PxPderaízes
Propiedad: α es raíz de P sí y solo si (x-α) es 
divisor de P
Por ejemplo:
RAÍCES DE UN POLINOMIO
xxxxxP 22)( 234 
01.21.11.21)1( 234 P
16/9)2/1.(2)2/1.(1)2/1.(2)2/1()2/1( 234 P
02.22.12.22)2( 234 P
es raíz de P1
2/1 no es raíz de P
2 es raíz de P
1) Teorema Fundamental del Álgebra: Todo
polinomio P con coeficientes en R y de grado
mayor que cero, admite una raíz en C.
RAÍCES DE UN POLINOMIO: PROPIEDADES
2) Todo polinomio de grado n, admite n
raíces, no necesariamente distintas.
3) Si un polinomio admite una raíz compleja,
entonces admite a su conjugada. Es decir, si
un número complejo es raíz de un polinomio,
su conjugado también lo es.
TEOREMA DE GAUSS
Si un polinomio real P de grado n, con
coeficientes enteros, admite raíces
racionales, de la forma (siendo p y q
coprimos), entonces p es divisor del término
independiente a0 y q es divisor del
coeficiente principal an.
q
p
TEOREMA DE GAUSS
Hallar las raíces de los siguientes polinomios:
xxxxxPa 22)() 234 
81223)() 234  xxxxxPb652)() 23  xxxxPc
Teorema: Todo polinomio real P de grado
n  1, puede escribirse de manera única,
como un producto de la forma:
DESCOMPOSICIÓN FACTORIAL DE 
POLINOMIOS REALES
))()...()(()( 121 nnn xxxxaxP   
Donde y son las n
raíces, no necesariamente distintas, de P.
Cnn   ,,...,,, 1321
)()(
1



n
i
in xaxP 
En forma abreviada: 
Ejercicios
Realizar la descomposición factorial del
Polinomio real P:
12
2
3
2
1
) 23  xxxPb
1222122) 23  xxxPa
xxxxxPc 22)() 234 
81223)() 234  xxxxxPd
652)() 23  xxxxPe